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1、3.5.2简单的线性规划一、学习目标:了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;掌握线性规划问题的图解法,准确求得线性规划问题的最优解。二、自主学习:1画出不等式(组)表示的平面区域: 4x-3y9 2设z = 2x + y,式中变量x、y满足条件 x有无最大(小)值?有无最大(小)值?z有无最大(小)值?怎样求z的最值呢?为此请你思考下列问题。(1)画出不等式组所表示的平面区域:(2)原问题可以转化为在不等式组所表示的平面区域内找两点,把它们的坐标代入式子2x + y时,使该式取的最值,那么,怎样找到这样特殊的两点?你能想到几种方法?(3)令z=0,得直线
2、,则2x + y -z= 0(z R)可看作什么?方法1:截距法把z=2x+y变形为,这是斜率为_,在y轴上的截距为_的直线。当z变化时,可以得到一组互相_的直线,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给定一点,(如(0,0),就能确定一条直线(),这说明,截距z可由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线与不等式组的区域的交点满足不等式组,而且当截距z最大(小)时,z取得最大(小)值。因此,问题转化为当直线与不等式组确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个点P,使直线经过点P时截距_.在经过不等式组表示的公共区域内的点且平行于 的直线中,经过点_的直线 所对应的截距最大 , 故 _ 经过_
3、的直线所对应的截距最小,故_ 方法2:距离法 不等式组所表示的平面区域内有。则该区域内任意点p(x,y)到的距离d=_,则p(x,y)到的距离越大,z=2x+y就越大;p(x,y)到的距离越小,z=2x+y就越小。在经过不等式组表示的公共区域内的点且平行于 的直线中,以经过点_的直线 所对应的d最大 , 故 _ 以经过_的直线所对应的d最小,故 _ 3、线性规划的有关概念:线性约束条件:在上述问题中,_是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件线性目标函数:关于x、y的一次式_是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数线性规划问
4、题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的_的问题,统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的_叫可行解由所有_组成的集合叫做可行域使目标函数取得_可行解叫线性规划问题的最优解三典例例1已知x、y满足 ,试求z = 300x + 900y的最大值。 变式1:在例1中,若目标函数设为z = 400x + 300y,则z的最大值在哪点处取得? 变式2:若目标函数设为z = 300x + 600y,约束条件不变,则z的最大值?例2:设z2xy,式中变量x、y满足下列条件求的最大值和最小值。四.快乐体验1 设变量x,y满足则2x+3y的最大值为()A20B35C45D552 设变量满足约束条件,则目标函数的最小值()A B C D33