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1、章末综合检测(一) (时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1下列各式正确的是()A(sin a)cos a(a为常数)B(cos x)sin xC(sin x)cos xD(x5)x6解析:选C.由导数公式知选项A中(sin a)0;选项B中(cos x)sin x;选项D中(x5)5x6.2若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程是xy10,则()Aa1,b1Ba1,b1Ca1,b1 Da1,b1解析:选A.y2xa,所以y|x0a1.将点(0,b)代入切线方程,得b1.3已知某物体运动的路程与时间的
2、关系为st3ln t,则该物体在t4时的速度为()A. B.C. D.解析:选C.由st3ln t,得st2,所以s|t442.4设x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点,则常数ab的值为()A21 B21C27 D27解析:选A.因为f(x)3x22axb,所以所以ab32421.故选A.5函数f(x)x2ln 2x的单调递减区间是()A. B.C., D.,解析:选A.因为f(x)2x,所以f(x)0解得0x.6f(x)是一次函数,过点(2,3),且f(x)dx0,则函数f(x)的图象与坐标轴围成的三角形的面积为()A1 BC D解析:选C.设f(x)kxb(k0)由题意得2k
3、b3,(kxb)dx0,0,即kb0.联立得,k2,b1.所以f(x)2x1.直线yf(x)与坐标轴的交点分别为与(0,1),所以所求的面积为1.7设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x,则a()A0 B1C2 D3解析:选D.令f(x)axln(x1),则f(x)a .由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x,则有a12,所以a3.8设函数f(x)ln x,则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析:选D.因为f(x)ln x,所以f(x),令f(x)0,即0,解
4、得x2.当x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0,所以x2为f(x)的极小值点9曲线ysin x,ycos x与直线x0,x所围成的平面区域的面积为()A(sin xcos x)dx B2(sin xcos x)dxC(cos xsin x)dx D2(cos xsin x)dx解析:选D.如图所示,两阴影部分面积相等,所以两阴影面积之和等于0x阴影部分面积的2倍故选D.10内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2RCR DR解析:选C.设圆锥高为h,底面半径为r,则R2(hR)2r2,所以r22Rhh2.所以Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3,VRhh2.令V0得hR.当0h
5、0;当h2R时,V,则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析:选B.令g(x)2f(x)x1.因为f(x),所以g(x)2f(x)10.所以g(x)为单调增函数因为f(1)1,所以g(1)2f(1)110.所以当x1时,g(x)0,即2f(x)0)恒成立,即a2ln xx(x0)恒成立,设h(x)2ln xx(x0),则h(x).当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(,4二、填空题:本题共4小题,每小题5分13设f(x)若f(f(1)1,则a_解析:显然f(1)l
6、g 10,f(0)03t2dtt3|1,得a1.答案:114要做一个容积为256的底面为正方形的无盖水箱,它的高为_时用料最省解析:设水箱高为h,底面边长为a,则a2h256,由题意知表面积最小时,用料最省表面积为Sa24aha2,S2a,令S0,得a8.当0a8时,S8时,S0,所以当a8时,S取得最小值,此时h4.答案:415若函数f(x)xaln x不是单调函数,则实数a的取值范围是_解析:由题意知x0,f(x)1,要使函数f(x)xaln x不是单调函数,则需方程10在x0上有解,即xa,所以a0.答案:(,0)16若关于x的方程x33xm0在0,2上有根,则实数m的取值范围是_解析:
7、令f(x)x33xm,则f(x)3x233(x1)(x1)显然,当x1时,f(x)0,f(x)单调递增;当1x1时,f(x)1)(1)F(x)x24x,由F(x)0,即x24x0,得1x4;由F(x)0,即x24x0,得0x1,即p1时,f(p)3p3p20,解得0p1.综上可知,0p1.20(本小题满分12分)设f(x)ln x,g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)讨论g(x)与g的大小关系解:(1)由题设知g(x)ln x,所以g(x).令g(x)0,得x1.当x(0,1)时,g(x)0,故(1,)是g(x)的单调递增区间,因此,x1是g(x)的唯一极值点,且
8、为极小值点,从而是最小值点所以最小值为g(1)1.(2)gln xx.设h(x)g(x)g2 ln xx,则h(x).当x1时,h(1)0,即g(x)g.当x(0,1)(1,)时,h(x)0,h(1)0.因此,h(x)在(0,)内单调递减当0xh(1)0,即g(x)g.当x1时,h(x)h(1)0,即g(x)400时,Q(x)210x114 00030 000.综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该公司生产400件产品,其最大利润为30 000元22(本小题满分12分)已知函数f(x)ax3cxd(a0)是R上的奇函数,当x1时,f(x)取得极值2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数
9、f(x)的单调区间和极大值;(3)证明:对任意x1,x2(1,1),不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x)f(x),即ax3cxdax3cxd.所以dd.所以d0(或由f(0)0得d0)所以f(x)ax3cx,f(x)3ax2c.又当x1时,f(x)取得极值2,所以即解得所以f(x)x33x.(2)f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0,得x1.当1x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递增所以函数f(x)的递增区间是(,1),(1,),递减区间为(1,1)因此,f(x)在x1处取得极大值,且极大值为f(1)2.(3)证明:由第二问知,函数f(x)在区间1,1上单调递减,且f(x)在区间1,1上的最大值为Mf(1)2,最小值为mf(1)2.所以对任意x1,x2(1,1),|f(x1)f(x2)|Mm4成立即对任意x1,x2(1,1),不等式|f(x1)f(x2)|4恒成立10