经济数学泰勒级数与幂级数精选文档.ppt

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1、经济数学泰勒级数与幂级数本讲稿第一页，共四十页一、泰勒级数的概念一、泰勒级数的概念由泰勒公式知由泰勒公式知,如果函数如果函数在点在点 的某领域内的某领域内有有 阶导数阶导数,则对于该领域内的任意一点则对于该领域内的任意一点,有有其中其中介于介于 与与之间之间.本讲稿第二页，共四十页定理定理 1设设在区间在区间 内存在任意阶内存在任意阶的导数的导数,幂级数幂级数的收敛区间的收敛区间为为则在区间则在区间 内内成立的充分必要条件是成立的充分必要条件是:在该区间内在该区间内式右边的级数称为式右边的级数称为在点在点 处的处的泰勒泰勒级数级数.本讲稿第三页，共四十页麦克劳林级数麦克劳林级数时的泰勒级数时的

2、泰勒级数称为称为 的的麦克劳林级数麦克劳林级数.注注:由上节定理由上节定理 可知可知,如果函数如果函数 能在某个能在某个区间内展开成幂级数区间内展开成幂级数,则它必定在这个区间内的每则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数一点处具有任意阶的导数.即即没有任意阶导数的函没有任意阶导数的函函数的麦克劳林级数函数的麦克劳林级数数是不可能展开成幂级数的数是不可能展开成幂级数的.是是 的幂级数的幂级数,可以证明可以证明,如果如果 能展开成能展开成 的的本讲稿第四页，共四十页是是 的幂级数的幂级数,可以证明可以证明,如果如果 能展开成能展开成 的的幂级数幂级数,则这种展开式是唯一的则这种展开式是唯一

3、的,的麦克劳林级数的麦克劳林级数.它一定等于它一定等于 由函数由函数 的展开式的唯一性可知的展开式的唯一性可知,展开成展开成的幂级数的幂级数,克劳林级数克劳林级数.但是但是,反过来如果反过来如果 的麦克劳林级的麦克劳林级它却不一定收敛于它却不一定收敛于数在点数在点 的某领域内收敛的某领域内收敛,如果如果能能则这个幂级数就是则这个幂级数就是的麦的麦本讲稿第五页，共四十页例如例如,函数函数在在 点任意阶可导点任意阶可导,所以所以 的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为该级数在该级数在内和函数内和函数显然显然,的麦氏级数处处不收敛于的麦氏级数处处不收敛于且且除除 外外,本讲稿第六页，共四十页因此因此,虽然

4、虽然当当 在在 处具有各阶导数时处具有各阶导数时,的麦克劳林级数能被作出来的麦克劳林级数能被作出来,是否能在某个区间内收敛是否能在某个区间内收敛,却需要进一步考虑却需要进一步考虑.但这个级数但这个级数以及是否收敛于以及是否收敛于本讲稿第七页，共四十页二、将函数展开成幂级数的方法步骤步骤:(一一)直接法直接法本讲稿第八页，共四十页既：既：把函数把函数 展开成泰勒级数展开成泰勒级数,可按下列步骤进行可按下列步骤进行:计算计算写出对应的泰勒级数写出对应的泰勒级数并求出该级数的收敛区间并求出该级数的收敛区间验证在验证在 内内,写出所求函数写出所求函数 的泰勒级数及其收敛区间的泰勒级数及其收敛区间.完完

5、本讲稿第九页，共四十页例例1解解（麦克劳林麦克劳林级数）级数）本讲稿第十页，共四十页本讲稿第十一页，共四十页例例2解解本讲稿第十二页，共四十页本讲稿第十三页，共四十页例例3级数级数.解解所以所以于是于是的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为将函数将函数展开成展开成的幂的幂本讲稿第十四页，共四十页该级数相邻两项的系数之比的绝对值该级数相邻两项的系数之比的绝对值因此因此,该级数的收敛半径该级数的收敛半径收域区间为收域区间为本讲稿第十五页，共四十页牛顿二项展开式牛顿二项展开式注意注意:本讲稿第十六页，共四十页双阶乘双阶乘本讲稿第十七页，共四十页（二）间接法（二）间接法根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利

6、用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则四则运算运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展求展开式开式.例如例如本讲稿第十八页，共四十页例例1解解而而在上式两端从在上式两端从 0 到到逐项积分逐项积分,得得因因为为上上式式右右端端的的幂幂级级数数当当将函数将函数展成展成的幂级数的幂级数.因为因为上式对上式对也成立也成立.时时 收收 敛敛,在在而而上上式式左左端端的的函函数数处有定义且连续处有定义且连续.本讲稿第十九页，共四十页例例2解解所以所以将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.当当时时,级数级数收敛收敛;当当时时,级数级数收敛收敛.且当且当时时,函

7、数函数连续连续,本讲稿第二十页，共四十页本讲稿第二十一页，共四十页例例3解解由于由于所以所以将函数将函数且且成成的幂级数的幂级数.展开展开本讲稿第二十二页，共四十页例例4解解将函数将函数展开成展开成的幂级数的幂级数.而而本讲稿第二十三页，共四十页所以所以本讲稿第二十四页，共四十页掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后,转化成转化成 的表达式的表达式,把把 看成变量看成变量要把函数展开成要把函数展开成 的幂级数时的幂级数时,即得即得 的幂级数的幂级数.对于较复杂的对于较复杂的可作变量替换可作变量替换于是于是当当只需把只需把展开展开的幂级数的幂级数,成成函数函数,

8、本讲稿第二十五页，共四十页本讲稿第二十六页，共四十页例例5解解本讲稿第二十七页，共四十页本讲稿第二十八页，共四十页例例6解解本讲稿第二十九页，共四十页本讲稿第三十页，共四十页例例7解解本讲稿第三十一页，共四十页本讲稿第三十二页，共四十页注：常用函数的麦克劳林级数注：常用函数的麦克劳林级数本讲稿第三十三页，共四十页本讲稿第三十四页，共四十页二、小结函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法.1.1.将函数展开成将函数展开成 的幂级数的幂级数2.2.将函数展开成将函数展开成 的幂级数的幂级数3.3.常用函数的麦克劳林级数常用函数的麦克劳林级数本讲稿第三十五页，共四十页思考题思考题什么叫幂级数的间接展开法？什么叫幂级数的间接展开法？本讲稿第三十六页，共四十页思考题解答思考题解答 从已知的展开式出发从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数的展开式求出给定函数的展开式的方法，称为间接展开法的方法，称为间接展开法.本讲稿第三十七页，共四十页练练 习习 题题本讲稿第三十八页，共四十页练习题答案练习题答案本讲稿第三十九页，共四十页本讲稿第四十页，共四十页