八年级数学下册《勾股定理》知识点总结.docx

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1、八年级数学下册勾股定理知识点总结八年级数学上册学问点：勾股定理 八年级数学上册学问点：勾股定理 一、勾股定理：1.勾股定理内容：假如直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更；（2）依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边

2、就不具有这一特征。二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：假如三角形三边长a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满意a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理推断一个三角形

3、是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满意“两个较小面积和等于较大面积”。五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常干脆间接运用勾股定理及其逆定理的应用。常见考法（1）干脆考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。误区提示（1）忽视勾股定理的适用范围；（

4、2）误以为直角三角形中的肯定是斜边。【典型例题】（2022湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有许多种证明方法，我国汉代数学家赵爽依据弦图，利用面积法进行证明，闻名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你依据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；学问拓展 勾股定理一、勾股定理概述直角三角形中，两直边的平方和等于斜边的平方。即令直角三角形ABC中，其中角C=90，

5、直边BC的长度为a，AC的长度为b，斜边AB的长度为c,则有a+b=c勾股定理应用的前提是这个三角函数必需是直角三角形，解题时，只能是同始终角三角形中时，才能利用它求第三边边长在式子a+b=c中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，它们之间的关系不能弄错遇到直角三角形中线段求值问题（学问点详解见解直角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“数”与“形”有机结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是属性结合思想方法的典型。勾股定理的变式在RtABC中，其中角C=90，直边BC的长度为a，AC的长度为b，斜边AB的长度为c，则c=a+ba=c-b=（c-b）(c+

6、b)b=c-a=(c-a)(c=a)c=根号下（a+b）a=根号下（c-b）b=根号下（c-a）二、勾股定理证明方法1.面积法一个直角梯形由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成。因为三个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化简c2=a2+b22.赵爽证明法以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形态.RtDAHRtABE,HDA=EAB.HAD+HAD=90，EAB+HAD=90，ABCD是一个

7、边长为c的正方形，它的面积等于c2.EF=FG=GH=HE=ba,HEF=90.EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于(b-a)2.4*1/2ab+(b-a)2=c2a2+b2=c2三、勾股定理的逆定理假如三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。勾股定理的逆定理是识别一个三角形是直角三角形的一种理论依据，它通过数形结合来确定三角形的形态，在运用这肯定理时，可以用两短边的平方和a+b与较长边的平方c做比较，假如a+b=c，则此三角形为直角三角形，若a+bc，此三角形为锐角三角形，若a+bc，则此三角形为钝角三角形 八年级上册简析勾股定理学

8、问点总结 八年级上册简析勾股定理学问点总结 1.勾股定理的内容：假如直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：假如三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。3.勾股数：满意a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。4.勾股定理经常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个

9、直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种状况：当直角边为3和4时，则斜边为5其次种状况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7点评此题是一道易错题目，同学们应当仔细审题!例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是()A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：依据勾股定理，可知斜边长度为5，

10、选择C初二的数学学习任务是很重的，对于数学公式的驾驭也是很必要的，上文是人教版初二数学简析勾股定理学问点，希望大家驾驭。 八年级数学上册学问点归纳：勾股定理的逆定理 八年级数学上册学问点归纳：勾股定理的逆定理 学问点总结一、勾股定理：1.勾股定理内容：假如直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更；（2）依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。4.勾股

11、定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：假如三角形三边长a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如若三角形三边长a，b

12、，c满意a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理推断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满意“两个较小面积和等于较大面积”。五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常干脆间接运用勾股定理及其逆定理的应用。常见考法（1）干脆考查勾股

13、定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。误区提示（1）忽视勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的肯定是斜边。【典型例题】（2022湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有许多种证明方法，我国汉代数学家赵爽依据弦图，利用面积法进行证明，闻名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你依据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股

14、定理；学问拓展 一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1.ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是()A.a=41，b=40，c=9B.a=1.2，b=1.6，c=2C.a=12，b=13，c=14D.a=35，b=45，c=12.以下列数组为三角形的边长：(1)5，12，13;(2)10，12，13;(3)7，24，25;(4)6，8，10，其中能构成直角三角形的有()A.4组B.3组C.2组D.1组3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()A.B.C.D.4.下列命题中，真命题是()A.假如三角形三个

15、角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形;B.假如直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2;C.若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形;D.假如直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为abc显示解析5.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b，则a2=b2B.全等三角形的周长相等C.若a=0，则ab=0D.有两边相等的三角形是等腰三角形显示解析6.ABC中A、B、C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是()A.假如C-B=A，则ABC是直角三角形B.假如c2=b2-a2，则ABC是直角三角形，且C=90C.假如(

16、c+a)(c-a)=b2，则ABC是直角三角形D.假如A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形7.下列四条线段不能组成直角三角形的是()A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15C.a=5，b=3，c=2D.a：b：c=2：3：48.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A.5cm，12cm，13cmB.5cm，8cm，11cmC.5cm，13cm，11cmD.8cm，13cm，11cm9.ABC中，假如三边满意关系BC2=AB2+AC2，则ABC的直角是()A.CB.AC.BD.不能确定10.三角形的三边长为a，b，c，且满意(a+b)2=c2+2a

17、b，则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形二、填空题(共16小题，满分40分)11.已知ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则ABC(请填“是”或“不是”)直角三角形.显示解析12.ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则A=度.显示解析13.ABC中，BC=n2-1，AC=2n，AB=n2+1(n1)，则这个三角形是三角形.显示解析14.假如三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短的高为.显示解析15.已知一个三角形的三边长分别为k+1，k+2，k+3，那么当k=时，此三角形是直角三角形.显示解析16.在ABC中，若a2+b2=

18、25，a2-b2=7，c=5，则最大边上的高为.显示解析17.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2.显示解析18.三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为.显示解析19.假如一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角等于度.显示解析三、解答题(共8小题，满分0分)27.如图所示，四边形ABCD中，BADA，AB=2，AD=23，CD=3，BC=5，则ADC=度.显示解析28.如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A起先沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C

19、以每秒2cm的速度移动，假如同时动身，则过3秒时，BPQ的面积为cm2.显示解析29.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且ABBC.则四边形ABCD的面积为.显示解析30.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90度.那么这块土地的面积为平方米.显示解析31.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点构成直角三角形(请填“能”或“不能”)显示

20、解析32.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇马上从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，则甲巡逻艇的航向为北偏东度.33.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，视察下列表格所给出的三个数a，b，c，a(1)试找出它们的共同点，并证明你的结论;(2)写出当a=17时，b，c的值.3，4，532+42=525，12，13，52+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=41217，b，c172+b2=c234.已知：在ABC中，CDAB于D，且CD2=ADBD.求证：ABC总是直角三角形. 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页