第36讲　基本不等式.doc

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1、1高考理科数学第一轮复习讲义第第 36 讲讲基本不等式基本不等式考试大纲考试大纲1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识聚焦知识聚焦 1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：_(2)等号成立的条件：当且仅当_2几个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)(2)baab_(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)ab22a2b22(a，bR)3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则_为 a，b 的算术平均，ab为 a，b 的几何平均，于是，基本不等式可以表述为：_4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果 xy 是定值 p，

2、那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是_(简记：积定和最小)(2)如果 xy 是定值 q，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是_(简记：和定积最大)正本清源正本清源 链接教材链接教材1教材改编 函数 yx1x(x0)的值域为_2教材改编 一段长为 40 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是_3教材改编 已知 x，yR，且 x4y1，则 xy 的最大值为_4教材改编 若正数 a，b 满足 abab3，则 ab 的取值范围是_ 易错易混易错易混5基本不等式的应用：注意字母的正负以及取等号的条件给出下列函数：yx1x；ylg x1lg x；y x211x21.当 x 取正数时，y 的最小

3、值为 2 的是_(填序号)通性通法通性通法6应用基本不等式的技巧：配凑成“和为常数”或“积为常数”(1)已知 0 x1，则 x4x1的最小值为_2高考理科数学第一轮复习讲义 探究点一探究点一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值例 1(1)函数 yx22x1(x1)的最小值是()A232B232C23D2(2)已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，24，)B(，42，)C(2，4)D(4，2)思路点拨(1)转化为 xpx的形式求解；(2)x2y 转化为(x2y)(2x1y)的形式后，再展开求解总结反思 利用基本不等式求最值时，一定要注意

4、“一正、二定、三相等”，以及条件的转化和应用【配例 1 使用】(1)若 lg xlg y2，则1x1y的最小值是()A120B15C12D2(2)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是()A3B4C92D112变式题(1)2014福建质检 若直线 axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在 x轴、y 轴上的截距之和的最小值为()A1B2C4D8(2)2014天津河东区一模 已知 x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数列，则 xy()A有最大值 eB有最大值 eC有最小值 eD有最小值 e3高考理科数学第一轮复习讲义 探究点二探究点二不等式与函数的综合问

5、题不等式与函数的综合问题例 2设函数 f(x)xax1，x0，)(1)当 a2 时，求函数 f(x)的最小值；(2)当 0a0)(1)求 f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数 a，b，恒有 f(a)b23b214.变式题已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围为_ 探究点三探究点三基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用例 32014湖北卷 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为

6、 F76 000vv218v20l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时总结反思(1)解实际应用题的基本思路是：设变量时，一般把要求的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数的解析式后，再利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【配例 3 使用】桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一4高考理科数学第一轮复习讲义个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块 1800 m2的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土

7、堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为 2 m，如图所示，设池塘所占的总面积为 S m2.(1)试用 x 表示 S.(2)当 x 取何值时，S 最大？并求出 S 的最大值变式题 2014福建卷 要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元B120 元C160 元D240 元误区警示误区警示15.忽视基本不等式等号成立的条件错误忽视基本不等式等号成立的条件错误【典例】已知 a0，b0，且 ab1，则1a2b的最小值是_易错点析处误由 ab1，得 abab2214.处由1a2b22ab，而导致两次应用基本不等式致误，误由1a2b2842，得1a2b的最小值为 42，或者不能将 ab1 与1a2b有效结合，得出1a2b1a2b(ab).【跟踪练习】(1)下列各函数中，最小值为 4 的个数为()yx4x；ysin x4sin x(0 x)；yex4ex；ylog3x4logx3.A4B3C2D1(2)函数 y9sin2x4sin2x 的最小值是_