数学公式集锦.doc

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1、1数学公式集锦数学公式集锦1 1和差倍问题和差倍问题和差问题：和差问题：(和差)2=较小数较小数差=较大数和较小数=较大数(和差)2=较大数较大数差=较小数和较大数=较小数和倍问题和倍问题和(倍数1)=小数小数倍数=大数和小数=大数差倍问题差倍问题差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数差=大数22 2年龄问题的三个基本特征：年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3 3归一问题的基本特点：归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：关键问题：根据题

2、目中的条件确定并求出单一量；根据题目中的条件确定并求出单一量；4 4 植树问题植树问题两大基本类型：两大基本类型：（1 1）非封闭线上植树）非封闭线上植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树；棵数=段数1棵距段数=总长在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树；棵数=段数1棵距段数=总长在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树；棵数=段数棵距段数=总长3（2 2）封闭线上植树）封闭线上植树棵数=段数棵距段数=总长关键问题关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5 5 鸡兔同笼问题鸡兔同笼问题基本概念：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基

3、本思路：基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。4基本公式：基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：关键问题：找出总量的差与单位量的差。6 6盈亏问题盈亏问题基本概念基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数

4、或对象的总量。基本思路：基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。5基本题型：基本题型：一次有余数，另一次不足；一次有余数，另一次不足；基本公式：基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；当两次都有余数；基本公式：基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；当两次都不足；基本公式：基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：关键问题：确定对象总量和总的组数。67 7 周期循环与数表规律周期循环与数表

5、规律周期现象：周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：关键问题：确定循环周期。闰闰 年：年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除；平平 年：年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；78牛吃草问题牛吃草问题基本思路：基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题

6、：关键问题：确定两个不变的量。基本公式：基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；89 9平均数平均数基本公式：基本公式：平均数=总数量总份数总数量=平均数总份数总份数=总数量平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：基本算法：求总数量以及总份数求总数量以及总份数：利用基本公式进行计算.基准数法基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和

7、基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。91010抽屉原理抽屉原理抽屉原则一：抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情 况：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二：抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m+1 个物体：当

8、n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点：理解知识点：X表示不超过 X 的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；10关键问题关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。1111定义新运算定义新运算基本概念基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：注意事项：新的运算不一定符合运算规律，

9、特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。111212数列求和数列求和等差数列：等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：基本概念：首项：首项：等差数列的第一个数；项数：项数：等差数列的所有数的个数；公差：公差：数列中任意相邻两个数的差；通项：通项：表示数列中每一个数的公式；数列的和数列的和：这一数列全部数字的和12基本思路：基本思路：等差数列中涉及五个量：等差数列中涉及五个量：首项，末项，公差，项数，总和,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：基

10、本公式：项数=（末项-首项）公差1；数列和（首项末项）项数2；公差=（末项首项）（项数1）；通项（末项）首项（项数一 1)公差；首项=末项-公差（项数-1）关键问题：关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；1313二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢 10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2 表 示 20，百 位 上 的 2 表 示 200。所 以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意：N0=；N

11、=N（其中 N 是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意：An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点14即可写出。14加法乘法原理和几何计数加法原理

12、：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.+mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1m2.mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。15基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线

13、或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+（点数一 1）；数角规律=1+2+3+（射线数一 1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：16数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数15质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个

14、数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、a3an 都 是 合 数 N 的 质 因 数，且a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)17互质数：如果两个数的最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b的倍数，b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个

15、数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以18m。例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有：1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有：1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够

16、整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有：12、24、36、48；18 的倍数有：18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作12，1918=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b

17、，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数20能被 4、25 整除。3.能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被 8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、9 整除。5.能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2倍后能被 7 整除

18、。6.能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 11 整除。7.能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9倍后能被 13 整除。三、整除的性质：211.如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b）也能被 c 整除。2.如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以c 也能被 b 整除。3.如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么a 也

19、能被 c 整除。4.如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和c 的最小公倍数整除。18余数及其应用基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且 0rb,那么 r 叫做 a 除以b 的余数，q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。19余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数 a、b

20、 除以 m 的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余。22已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m 同余，记作 ab(mod m)，读作 a同余于 b 模 m。二、同余的性质：自身性：aa(mod m)；对称性：若 ab(mod m)，则 ba(mod m)；传递性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，则a c(mod m)和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若 a b(mod m)，cd(mod m)，则 ac bd(mod m)；乘方性：若 ab(mod m)，则 anb

21、n(mod m)；同倍性:若 a b(mod m)，整数 c，则 acbc(mod mc)；三、关于乘方的预备知识：若 A=ab，则 MA=Mab=（Ma）b若 B=c+d 则 MB=Mc+d=McMd四、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位上数字的和，则 Mn(mod 9)或（mod 3）；一个自然数 M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，23则 MY-X 或 M11-（X-Y）(mod 11)；五、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(modp)。20分

22、数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一24倍量。

23、假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子

24、相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据25同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确

25、定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22分数拆分一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：=+；26=+（d 为自然数）；23完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2完全平方差

26、公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y224比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。27比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也扩大或缩小几倍（AB 的商不变时），则 A 与 B 成正比。反比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB 的积不变时），则 A 与 B 成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分

27、配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间28逆水行程=（船速-水速）逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）2水 速=（顺水速度-逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的

28、路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题基本公式：工作总量=工作效率工作时间工作效率=工作总量工作时间工作时间=工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率29及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，

29、然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认

30、30识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1.连辅助线方法2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解

31、题时可把任意点设置在特殊位置上）。4.利用特殊规律等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出31面积。（斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。29立体图形长 方 体8 个顶点；6 个面；相对的面相等；12 条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正 方 体8 个顶点；6 个面；所有面相等；12 条棱；所有棱相等；S=6a2 V=a3圆柱体上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S 侧+2S 底 S 侧=Ch V=Sh圆锥体下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；S=S 侧+S 底S 侧=rl V=Sh球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2 V=r330时钟问题快慢表问题基本思路：1、按照行程问题中的思维方法解题；322、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为 60 分格）；4、时间是标准表所经过的时间；合理利用行程问题中的比例关系；