高中数学第2章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面教材梳理素材新人教A版必修2.doc

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1、2.1.1 平面疱丁巧解牛知识巧学一、几何中平面的特点 几何里所说的平面是从生活中的平面抽象出来的，是向空间无限延展的，是理想化的平面，而生活中的平面，是有大小的.现实生活中如桌面、黑板面、表面等都是有大有小，不是几何中所说的平面. 平面是无限延伸的，可根据研究问题的需要随时延伸.方法点拨 平面是不加定义的基本概念.平面没有厚薄，它向四周无限延展，无“边”无“沿”，也就是说，它把整个空间（指我们生活着的空间）分成互不连通的两部分.二、几何中平面的表示方法1.图形表示：用平行四边形等封闭曲线表示平面.2.文字语言表示：把希腊字母、等字母写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四

2、边形的四个顶点或者用对角线上的两个顶点字母表示.3.一个平面被另一个平面所遮住时图形的画法：为增加立体感，通常被遮住的部分画成虚线.方法点拨 平面可以用平行四边形表示，也可以用三角形表示，还可以用梯形表示，表示方法不唯一. 当平面用希腊字母表示时，在角上不要画弧，那样，会表示角的.三、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理1是判定直线在平面内的依据. 图形表示:如图2-1-1.图2-1-1 符号语言表示:Ab，Bb，A，B，则b. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.方法点拨 公理1是证明线在面内的最基本的方法，要证明线在面内，只

3、需证明线上的两点在面内即可. 公理2的作用是确定平面，它是把空间问题化归成平面问题的重要依据，并可证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件. “有且只有”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同一.方法点拨 公理2注意三点不能在一条直线上,体现了平面的稳定性. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 图形表示:如图2-1-2.图2-1-2 符号语言表示：P()，则=b且Pb. 公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上.方法点

4、拨 公理3说明平面是向空间无限延展的，同时它也是证明点共线、线共点最重要的一种方法. 公理3经常与公理1合用，由公理3确定平面，然后由公理1证明线在面内.四、平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 图形表示:如图2-1-3.图2-1-3方法点拨 推论1、推论2、推论3在课本中没有体现出来，它实际上是由公理2推出的，通常用公理2、推论1、推论2、推论3来确定平面，再用公理1证明线在面内，它们之间联系比较密切.问题探究问题1 三个公理的作用是什么？探究:公理1的作用是既可判

5、断直线是否在平面内，又可用直线检验平面；公理2的作用一是确定平面，二是证明点、线共面；公理3的作用一是可以判断两个平面是否相交，二是可以判定点共线.问题2 试用符号语言表示三个公理.探究:公理1：Ab，Bb，A，B，则b；公理2：略；公理3：P()，则=b且Pb.刻画平面性质的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础，应熟练掌握其符号语言并能灵活应用.典题热题例1 用符号表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面、交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC;(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.思路解

6、析：利用空间想象画出图形，注意使用正确的空间图形符号.答案：(1)符号语言表示：=P，=PA，=PB，=PC； 图形表示:如图2-1-4.图2-1-4(2)符号语言表示： 平面ABD平面BCD=BD, 平面ABC平面ACD=AC； 图形表示:如图2-1-5.图2-1-5深化升华 图形语言、符号语言、文字语言间可以相互转化，要注意点是元素，直线、平面都是点的集合.例2 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.如图2-1-6.已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C.求证：直线AB、BC、AC共面.图2-1-6思路解析：证明点、线共面问题，一般做法是：先由某些点、线确定一个平面，然后

7、证明其余的点、线也在这个平面内.解：证法一：因为ACAB=A， 所以直线AB、AC确定一个平面. 因为BAB，CAC，所以B，C.故BC. 因此直线AB、BC、CA都在平面内，即它们共面. 证法二：因为A不在直线BC上， 所以过点A和直线BC确定平面. 因为A，BBC，所以B. 故AB.同理,AC.所以AB、AC、BC共面. 证法三：因为A、B、C三点不在一条直线上， 所以过A、B、C三点可以确定平面. 因为A，B，所以AB. 同理,BC，AC. 所以AB、BC、CA三直线共面.方法归纳 证明点线共面问题还可以用同一法，即由其中某些点线确定一个平面，再由另一些直线确定另一个平面，然后证明两个平

8、面重合.证明两个平面重合用公理及推论的唯一性.例3 如图2-1-7，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.图2-1-7思路解析：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条直线，也只有这一条直线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定.解：在平面AA1D1D内，延长D1F，D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1,PAD. 又D1F平面BED1F，DA平面ABCD,P平面BED1F,P平面ABCD.P平面BED1F平面ABCD，即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连结PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线.误区警示 公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线.要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线，同时要注意，找到两个平面的一个公共点，交线的具体位置还无法判定，只有找到两个公共点，才能确定这两个平面的交线.这是作几何体截面时确定交线经常用到的方法.4