高中数学第三章指数函数和对数函数第6节指数函数幂函数对数函数增长的比较基础知识素材北师大版必修1.doc

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1、6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1了解指数增长、幂增长、对数增长的意义2能够解决相应的实际问题三种增长函数模型的比较在区间(0，)上尽管yax(a1)，yxn(x0，n1)和ylogax(a1)都是_，但它们增长的速度不同，而且不在一个“档次”上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会越来越_，会超过并远远大于yxn(x0，n0)和ylogax(a1)的增长速度由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“_”【做一做11】 当a1时，下列结论：指数函数yax，当a越大时，其函数值的增长越快；指数函数yax，当a越小时，其函数值的增长越快；对数函数ylogax，当a越大时，其函数值的

2、增长越快；对数函数ylogax，当a越小时，其函数值的增长越快其中正确的结论是( )A B C D【做一做12】 当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )Ay2x Byx10 Cylg x Dy10x2【做一做13】 当x0，n1时，幂函数yxn是_函数，并且当x1时，n越大其函数值的增长就_答案：增函数快指数爆炸【做一做11】 B【做一做12】 A【做一做13】 增越快如何选择增长型函数描述实际问题？剖析：选择的标准是：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律题型

3、一 比较函数增长的差异【例1】 分析指数函数y2x与对数函数ylog2x在区间1，)上函数的增长情况分析：解答本题时，应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异反思：在同一坐标系内作出y2x和ylog2x的图像，从图像上可观察出函数的增减变化情况如图所示：题型二 比较大小问题【例2】 比较下列各组数的大小(1)，；(2)0.32，log20.3,20.3.分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用函数的性质或图像进行求解反思：解决这类题目的关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也

4、不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像题型三 实际应用【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司要求？分析：奖励模型符合公司要求，即当x10，1 000时，能够满足y5，且25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果反思：从这个例题可以看到，底数大于1的指数

5、函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长要快，从而我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义答案：【例1】 解：指数函数y2x，当x由x11增加到x23时，x2，y23216；对数函数ylog2x，当x由x11增加到x23时，x2，而ylog23log211.585 0.由此可知，在区间1，)内，指数函数y2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数ylog2x的增长速度缓慢【例2】 解：(1)函数y1x为减函数，又，.又函数y2在(0，)上是增函数，且，.(2)令函数y1x2，y2log2x，y32x.在同一坐

6、标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作x0.3，此直线必与上述三个函数图像相交由图像知log20.30.3220.3.【例3】 解：借助计算器或计算机作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图像如图所示：观察图像发现，在区间10,1 000上模型y0.25x，y1.002x的图像都有一部分在y5的上方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元对于模型y0.25x，它在区间10,1 000上是单调递增的，当x(20,1 000时，y5，因此该模型不符合要求对于模型y1.002x，利用计算器，可知1

7、.0028065.005，由于y1.002x是增函数，故当x(806，1 000时，y5，因此，也不符合题意对于模型ylog7x1，它在区间10,1 000上单调递增且当x1 000时，ylog71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求再计算按模型ylog7x1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x10,1 000时，利用计算器或计算机作f(x)log7x10.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)f(10)0.316 70，即log7x10.25x.所以当x10,1 000时，y0.25x.这说明，按模型ylog7x1奖励不超过利润的25%.综上所述，

8、模型ylog7x1确实符合公司要求1 下列所给函数，增长最快的是( )Ay5x Byx5 Cylog5x Dy5x2函数y2x与yx2的图像的交点个数是( )A0 B1 C2 D33当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A2xx2log2x Bx22xlog2xC2xlog2xx2 Dx2log2x2x4若a1，n0，那么当x足够大时，ax，xn，logax中最大的是_5汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车制动后，还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速为100 km/h的高速公路上，甲车的刹车距离y(m)与刹车速度

9、x(km/h)的关系可用模型yax2来描述，在限速为100 km/h的高速公路上，甲车在速度为50km/h时，刹车距离为10 m，则甲车刹车距离为多少米时，交通部门可以判定此车超速？答案：1D2.D3B思路一：在同一平面直角坐标系中画出函数ylog2x，yx2，y2x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图像，所以x22xlog2x.思路二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取x3，经检验容易知道选B.4ax由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知axxnlogax.5解：本题函数模型已经给出，但是a的值需要先求出，利用给定的速度为50 km/h时，刹车距离为10 m这一条件，把数值代入yax2，即10502a，就可以求出参数a；交通部门判定此车超速的依据是此车车速超过100 km/h的限速，因为函数yax2在x0时是单调递增的，所以可以把x100代入确定的解析式，求出刹车距离y100240(米)故当刹车距离超过40米时，可以判定此车超速4