【名师导学】2015年春高中数学 第二章 数列（含解析）苏教版必修5.doc

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1、第1课时数列(1) 教学过程一、 问题情境如图1,某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位,那么各排的座位数依次为20,22,24,26,28,.(图1)某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为1,2,4,8,16,.从1984年到2004年,我国共参加了6次奥运会,各次参赛获得的金牌总数依次为15,5,16,16,28,32.这些问题有什么共同的特点?二、 数学建构1. 数列定义:像这样按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每个数都叫做这个数列的项.问题1你能举出学习与生活中相关的例子吗?1师生共同点评,找几个

2、有代表性的例子进行分析.例如: 学生的学号由小到大为:1,2,3,4,5,50. “一尺之棰,日取其半,万世不竭”,依次写出每次得到的数:1,. 堆放的钢管如图2所示,各层的钢管数从下至上为:9,8,7,6,5,4.(图2) 某人2011年112月份的工资依次为:2500,2500,2500. (-1)n,n=1,2,3,取到的值为:-1,1,-1,1,.2问题2下列说法是否正确?为什么?(1) 数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列;(2) 数列1,2,3与数列1,2,3,是同一数列;(3) 数列a,b,c与数列c,b,a一定不是同一数列.(都不对,对于(2),前一个数列只有3项,后一个数

3、列不止3项;对于(3),可举反例,如:a=b=c=1)问题3观察所举例子,请你分析各数列项的个数.32. 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.问题4数的所有不足近似值按从小到大依次排列得到一个数列,你能写出它的前7项吗?原数列是有穷数列还是无穷数列?(前7项分别为3,3.1,3.14,3.141,3.1415,3.14159,3.141592.原数列是无穷数列)数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为,其中a1称为数列的第1项(或称为首项),a2称为第2项,an称为第n项.探讨活动:体会数列与函数概念的联系.教师将序号写在举例数列相应项的上面,引导学生说出上下两

4、行分别是两组变量,并体会项与序号的关系.(让学生自主思考或交流讨论,通过联想函数变量之间的关系,进而认识数列是函数.然后师生共同找出数列的定义域)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2,3,4,k)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列:f(1),f(2),f(3),f(n),.三、 数学运用【例1】(根据教材P32例1改编)已知数列的第n项an为2n-1,写出这个数列的首项、第2项、第3项、第n-1项和an+1.(见学生用书课堂本P17)处

5、理意见教师可以提出以下问题: 数列的第n项an为2n-1,这里的n可以是哪些数?如何求第1项?(答案:n可以是1,2,3,等任意的正整数.只需用1代换2n-1中的n就可以求出第1项) 如何求数列中的第n-1项?(答案:与求第1项的方法相同,只需用n-1代换2n-1中的n即可) (本问可在学生解完例1后再提问,本问的目的是引出数列与函数的关系)求第1项即用1代换2n-1中的n,求第2项即用2代换2n-1中的n,求第n+1项即用n+1代换2n-1中的n,这种方法你在哪个知识里曾遇到过?(答案:在函数中遇到过,如已知函数解析式f(x),求f(1),f(2),f(x+1)规范板书解首项为a1=21-1

6、=1;第2项为a2=22-1=3;第3项为a3=23-1=5;第n-1项为an-1=2(n-1)-1=2n-3;an+1即数列的第n+1项,an+1=2(n+1)-1=2n+1.题后反思 如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 数列的通项公式反映了第n项与序号n之间的关系.变式已知数列的通项公式为an=,那么5是否为该数列中的项?如果是,是第几项?规范板书解令=5,解得n=7,所以5是该数列中的第7项.【例2】某家庭记录了2011年内每月的用电量如下:月份123456789101112用电量(kWh)110120908062801

7、0311584658195将用电量按月份排列得到一个12项的数列,试写出该数列的最大项、最小项、首项、末项;并以月份作为横坐标,用电量作为纵坐标,在平面直角坐标系中标出该家庭这一年中每月用电量的大致情况.(见学生用书课堂本P18)处理意见由学生自主思考或交流讨论.规范板书解每一个月的用电量依次记为a1,a2,a12,最大项为a2=120,最小项为a5=62,首项为a1=110,末项为a12=95.它们的图象如图所示.(例2)题后反思(1) 数列可以用通项公式、列表或图象表示.(2) 数列的图象是一个个孤立的点.【例3】写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:(1) -3,0,3,6

8、,9;(2) 3,5,9,17,33;(3) ,;(4) -1,1,-1,1.(见学生用书课堂本P18)处理意见由学生先自主思考并交流讨论,教师进行适当引导.观察各项与序号之间的关系:(1) 后一项均等于前一项加3,那么第n项就是第一项加n-1个3.(2) 每一项减1为2的幂.(3) 各项是分式,且分子是2的幂,分母加1是偶数的平方.(4) 各项是-1的幂;奇数项为-1,偶数项为1.(其中第(4)小题答案较多,可让学生分组讨论交流)规范板书解(1) an=3n-6;(2) an=2n+1;(3) an=;(4) an=(-1)n或an=cosn或an=题后反思(1) 同一数列的通项公式可以不同

9、;(2) 数列是个特殊的函数,它的通项公式也可以和分段函数一样表示成分段的形式;(3) 有一类数列叫周期数列(说明:对于周期数列不用下严格定义,只要让学生了解即可).思考数列都有通项公式吗?(答案:不是,如例2中的数列没有通项公式)变式(教材P33例3)写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1) ,-,-;(2) 0,2,0,2.规范板书解(1) an=.(2) an=1+(-1)n或an=1+cosn或an=*【例4】已知数列的通项公式an=.(1) 写出该数列的前5项;(2) 判断并证明该数列的单调性.处理意见第(1)题及第(2)题中判断该数列的单调性比较简单,可由学生自己

10、作答.第(2)题中证明该数列的单调性可先让学生回忆函数单调性的定义及数列与函数的关系,再引导学生得出数列单调性的定义.规范板书解(1) 前5项分别是1,.(2) 数列是单调递减数列.因为an+1-an=-=0,所以an+1an,所以数列是单调递减数列.题后反思对于数列来说: 若anan+1,则称数列an是单调递减数列.变式已知数列的通项公式为an=n2-5n+4.(1) 该数列中有多少项是负数?(2) n为何值时,an有最小值?并求出最小值.处理意见第(1)题让学生自主思考或交流讨论;第(2)题要引导学生注意数列是个特殊的函数,那么函数如何求最值呢?规范板书解(1) 由an=n2-5n+40,

11、解得1n0,得n3,所以a1a2=a3,a2=a3a4a50时,数列是单调递增数列;当d0时,数列是单调递减数列;当d=0时,数列是常数数列.(三) 巩固概念问题5请说出上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是多少.(上面问题情境中的几个等差数列的公差分别是2,4,0.1,16.5)三、 数学运用【例1】判断下列数列是否为等差数列:(1) 0,-3,-6,-9,-12;(2) 1,-1,1,-1,1,-1;(3) 6,6,6,6,6;(4) 6,5,3,1,-1,-3.3(见学生用书课堂本P21)处理建议引导学生从定义思考,可以让学生个别回答,也可以是集体回答,对于不成立的情形,要求学生说明不

12、成立的理由.规范板书解(1) 是首项为0,公差为-3的等差数列.(2) 不是等差数列,因为-1-1=-2,1-(-1)=2,它们不等于同一个常数.(3) 是首项为6,公差为0的等差数列.(4) 不是等差数列,因为5-6=-1,而从第三项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2.题后反思判断一个数列是否是等差数列,关键看它是否符合定义.变式判断数列m,m+n,m+2n,2m+n是否是等差数列.处理建议学生讨论、判断,并且由学生给出理由.规范板书解(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n,(2m+n)-(m+2n)=m-n.若m=2n,则该数列是等差数列;若m2n,则该数列不是等差数列.【

13、例2】已知数列的通项公式为an=2n+5,求证:数列是等差数列.4(见学生用书课堂本P21)处理建议 围绕等差数列的定义,关键是用什么方法表示“从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数”; 先由学生讨论,尝试运用等差数列定义进行证明;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的证明过程,纠正出现的错误.规范板书证明因为an=2n+5,所以an-1=2(n-1)+5=2n+3(n2).所以an-an-1=(2n+5)-(2n+3)=2.所以数列是等差数列.题后反思根据定义证明(或判断)等差数列时,要紧扣定义:从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-an-1=

14、d(nN,n2)或an+1-an=d(nN,n1).变式若数列a1,a2,an,为等差数列,证明:数列a2,a4,a6,a2n,是等差数列.处理建议先由学生讨论,再让学生尝试模仿例2进行证明.规范板书证明设等差数列a1,a2,an的公差为d,即an-an-1=d(nN*,n2),则a2n-a2(n-1)=2d,所以数列a2,a4,a6,a2n,是等差数列.【例3】(教材P36例2)求出下列等差数列中的未知项:(1) 3,a,5;(2) 3,b,c,-9.5(见学生用书课堂本P22)处理建议求值题,需要列出等量关系式,那么怎样利用等差数列的定义建立关系式是关键.规范板书解(1) 根据题意得a-3

15、=5-a,解得a=4.(2) 根据题意得解得题后反思 根据等差数列的定义列出关系式,然后进行解方程或方程组; 第(1)题中三项成等差数列,称a是3与5的等差中项,即若a,A,b成等差数列,则称A是a与b的等差中项,那么有2A=a+b.变式求2和16的等差中项.规范板书解设A是2和16的等差中项,则2A=18,所以A=9.四、 课堂练习 1. 判断下列数列是否为等差数列:(1) -2,-2,-2,-2,-2;(2) ,;(3) 0,2,0,2,0,2;(4) -2,0,2,4,6;(5) 8,13,18,23,28.解(1) 是;(2) 不是;(3) 不是;(4) 是;(5) 是. 2. 已知a

16、是与a+的等差中项,则a=2.提示由题意得2a=+,解得a=2. 3. 已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:(1) (),6,13,();(2) 1,(),();(3) 21,(),(),3.解(1) -1,20;(2) 2-1,3-2;(3) 15,9. 4. 若数列a1,a2,an-1,an是等差数列,则数列an,an-1,a2,a1是等差数列吗?为什么?解数列an,an-1,a2,a1是等差数列,它的首项为an,公差为数列a1,a2,an-1,an的公差的相反数.五、 课堂小结 1. 等差数列的概念,利用定义作简单的判定和证明. 2. 等差中项的概念.第4课时等差数列的通项公

17、式 教学过程一、 问题情境引入“即时体验”中的问题,观察数列:4,7,10,13,16,如何写出它的第100项a100呢?二、 数学建构(一) 生成概念问题1说出该数列的通项公式.(结合前面所学知识,引导学生进行归纳)问题2这个数列是等差数列吗?为什么?如果是等差数列,它的公差是多少?(引导学生看到连续两项的差是定值,即a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,这一串式子要给出板书)问题3对于这个数列,我们已经知道了它是等差数列,那么现在不用归纳的方法,你能求出它的通项公式吗?(让学生观察a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,引导学生进行叠加,进而求出该数列的通项公式)问题4设

18、数列是一个首项为a1,公差为d的等差数列,你能求出它的通项公式吗?(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)通过讨论,结合前面的具体问题,给出等差数列通项公式的推导过程以及通项公式.证明:因为数列是等差数列,所以当n2时,有a2-a1=d,a3-a2=d,an-an-1=d.将上面n-1个等式的两边分别相加,得an-a1=(n-1)d,所以an=a1+(n-1)d.当n=1时,上面的等式也成立.(二) 理解概念 1. 强化推导方法中“叠加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是以后求等差数列通项公式的重要思想. 2. 等差数列通项公式an中的n是取值于从1开始的正整数,而在等差数列通项公式的

19、证明过程中,n是取大于或等于2的正整数,所以要独立验证n=1时的情形.(三) 巩固概念问题5利用推导的公式,写出“问题情境”中问题的通项公式.(首项a1=4,公差d=3,所以an=a1+(n-1)d=4+(n-1)3=3n+1)问题6(根据教材P39练习第2题改编)求等差数列8,5,2,的第20项;-25,-30是不是这个数列的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.(首项a1=8,公差d=-3,则an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11,所以a20=-320+11=-49.令-3n+11=-25,解得n=12,所以-25是这个数列的第12项.令-3n+11=-30,

20、解得n=,而nN*,所以-30不是这个数列中的项)三、 数学运用【例1】(教材P38例2)在等差数列中,已知a3=10,a9=28,求a12.3(见学生用书课堂本P23)处理建议分析确定一个等差数列的两个基本量是a1,d,则条件可以用来建立二元方程.规范板书解由题意得解得所以a12=4+(12-1)3=37.题后反思 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式; 知道了等差数列的首项和公差可以求数列的任意一项; 知道等差数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项.变式1从上面的求解过程可以看到:a3比a1多2个d,a9比a1多8个d,则a9比a

21、3多6个d,即a9=a3+6d.能不能不需要求出a1,也能求出a12呢?处理建议引导学生从项与项的关系进行思考.规范板书解由a9=a3+6d,得d=3,所以a12=a3+9d=37(或a12=a9+3d=37).题后反思 通过等差数列的任意两项的关系,可以获得更具一般性的等差数列的通项公式:由(m,nN*,mn)得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d. 将an=am+(n-m)d变形为d=,这和我们学过的什么知识很相似?(让学生先思考,不要急于让学生回答)变式2(教材P41习题2.2(1)第16题)在等差数列中,已知ap=q,aq=p(pq),求ap+q.规范板书解法一两式相

22、减得(p-q)d=q-p,因为pq,所以d=-1.则ap=a1+(p-1)(-1)=q,所以a1=p+q-1,所以ap+q=a1+(p+q-1)d=(p+q-1)+(p+q-1)(-1)=0.解法二ap=aq+(p-q)d,即q=p+(p-q)d,得(p-q)d=q-p,因为pq,所以d=-1.所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.【例2】已知等差数列an的通项公式为an=3n+1,请你作出它的图象.4(见学生用书课堂本P24)处理建议此数列的通项公式an=3n+1是从“问题情境”得到,可先由学生讨论,尝试进行作图;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生所作图象

23、,纠正可能出现的错误.规范板书解如图:(例2)题后反思等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的一次式,但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值;一次函数的定义域是实数集R,图象是一条直线,等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点.变式已知数列的通项公式an=kn+b,其中k,b是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?处理建议先由学生回忆,讨论判定数列是不是等差数列的方法,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.规范板书解当n2时,an-an-1=(kn+b)-k(n-1)+b=kn+b-(kn-k+b)=k,它为常数,所以

24、数列是等差数列.它的首项为a1=k+b,公差为k.题后反思 若k=0,则数列是公差为0的等差数列,即为常数列b,b,b,; 若k0,则数列是关于n的一次式,一次项的系数k即为公差d.(回头看例1变式1题后反思中的d=,可问学生感悟到什么)*【例3】在等差数列中,若a1+a9=32,a4=13,求a6,a5.5处理建议可先由学生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.本题的关键是引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,d的关系,找出项的和之间的关系式.规范板书解因为a1+a9=2a1+8d,而a4+a6=2a1+8d=a1+a9=32,a4=13,所以a

25、6=19.而a5=a1+4d=(a4+a6)=16.题后反思 在处理等差数列的计算时,有时候可以用整体的思想来解题. 在等差数列中,首项为a1,公差为d,若m,n,p,q,sN*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.(证明:am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,as=a1+(s-1)d,因为m+n=p+q=2s,所以am+an=ap+aq=2as)也可理解成:as是am与an(或ap与aq)的等差中项.变式已知等差数列中,a3+a4+a5+a6+a7=4

26、50,求a2+a8.规范板书解因为a3+a7=2a5,a4+a6=2a5.所以由a3+a4+a5+a6+a7=450,得5a5=450,所以a5=90.所以a2+a8=2a5=180.四、 课堂练习 1. -30是不是等差数列0,-,-11,的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.解由题意得an=-n+.令-n+=-30,解得n=,而nN*,所以-30不是这个数列的项. 2. 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=-2,公差d=3.提示由题可得解得a1=-2,d=3. 3. 在等差数列中,若a5=a,a10=b,则a15=2b-a.提示2a10=a5+a15,即2b=a

27、+a15,所以a15=2b-a. 4. 某货运公司的一种计费标准是:1km以内收费5元,以后每千米加收2.5元.如果运输某批物资80km,那么需支付多少元运费?解需支付运费5+(80-1)2.5=202.5(元).五、 课堂小结 1. 要会推导等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d,掌握其基本应用,并掌握更具一般性的通项公式形式:an=am+(n-m)d. 2. 理解等差数列与一次函数的关系. 3. 理解并掌握等差数列的重要性质:在等差数列中,若m,n,p,q,sN*,且m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.第5课时等差数列的前n项和(1) 教学过程一、 问题情境数学

28、家高斯10岁时,有一次老师出了一道题目:“计算:1+2+3+100.”正当大家在一个一个相加时,高斯给出了答案:“5050.”老师问高斯:“你是如何算出答案的?”高斯回答:“因为1+100=101,2+99=101,50+51=101,所以10150=5050.”二、 数学建构(一) 生成概念问题1高斯的老师提出计算这一串数的和本质上是什么数列求和?(结合已学知识,引导学生说出:本质上是等差数列求和)问题2高斯使用的方法,其实是发现了这个数列哪些项的和具有特殊性?(引导学生看到:a1+a100=a2+a99=a3+a98=)问题3在一般的等差数列中,当满足什么条件时,这种两项和相等的关系仍然存

29、在?(引导学生说出等差数列的性质:若m+n=p+q,则有am+an=ap+aq)问题4设等差数列的前n项和为Sn,你能用高斯的方法求出等差数列的前n项和吗?(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)通过讨论,结合前面具体问题,给出等差数列前n项和公式的推导过程以及前n项和公式.因为Sn=a1+a2+a3+an,把各项的次序反过来,Sn又可以写成Sn=an+an-1+an-2+a1,两式相加,得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1).因为1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=n+1,所以a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1,所以2S

30、n=n(a1+an),即有Sn=.(二) 理解概念 1. 强化推导方法“倒序相加法”的使用,同时,指出这一推导思想也是两项和性质的应用. 2. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,又可以得到Sn=na1+.(围绕基本量a1和d) 3. 整理Sn=na1+,又可以得到Sn=n2+n,所以等差数列的前n项和公式是一个无常数项的一元二次函数形式.(三) 巩固概念问题5请说出高斯的老师需要计算的这个数列的前n项和.这个数列的前n项和Sn=或Sn=n1+=问题6(根据教材P44练习第2题改编)(1) 已知等差数列中,a1=7,a10=-43,则S10=-180;(2) 已知等差数列中,a1=

31、100,d=-2,则S50=2550.三、 数学运用【例1】(教材P43例2)在等差数列中,已知d=,an=,Sn=-,求a1及n.3(见学生用书课堂本P25)处理建议利用等差数列的通项公式及前n项和公式建立等量关系,让学生应用公式进行计算,其中体现了方程的思想.规范板书解由题意得由得a1=-n+2,代入后化简得n2-7n-30=0,所以n=10或n=-3(舍去),从而a1=-3.题后反思 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等差数列的基本运算方式; 在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有a1,d,n,an,Sn五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余

32、下的两个量.变式在等差数列中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10,S10.处理建议让学生先讨论,运用公式进行计算,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的计算过程,纠正可能出现的错误.规范板书解设这个等差数列的首项为a1,公差为d,由已知得解得a1=2,d=3.所以a10=a1+9d=29,S10=10a1+d=155.【例2】若等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求该等差数列的前110项和.4(见学生用书课堂本P26)处理建议处理等差数列的问题,找到基本量就能解决,两个条件刚好可以提供求解基本量的二元方程;讲解时,可以先由学生讨论,尝试进行计算;教师在学生中交流

33、,了解学生的思考过程,投影学生的不同的计算方法及过程,纠正可能出现的错误.规范板书解法一设等差数列的首项为a1,公差为d,由已知得10-,整理得d=-,代入解得a1=.所以S110=110a1+d=110+=-110.题后反思在与等差数列相关的计算问题中,a1,d,n,an,Sn这五个量可知三求二,其中a1,d是基本量,利用它们列方程或方程组是处理问题的最基础的手段.解法二设等差数列的前n项和为Sn=an2+bn,则由已知得解得a=-,b=.所以Sn=-n2+n,所以S110=-1102+110=-110.题后反思等差数列前n项和公式Sn是关于n的无常数项的一元二次函数式,利用这个公式特征进行

34、代定系数法求解,比解法一中用基本量公式计算简洁,简化了计算.解法三设等差数列的前n项和为Sn,则显然数列S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D.这个新数列的前10项和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S100-S90)=10S10+D,即S100=10S10+45D,解得D=-22.S110-S100是这个新等差数列中的第11项,所以S110-S100=S10+(11-1)D=-120.所以S110=-120+S100=-110.题后反思 利用等差数列前n项和公式Sn的性质,整体考虑数列,回避了数列内部基本量的求解,直接就Sn本身解决问题; 思考:在等差数列中,其前n项和为Sn,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列吗?(成等差数列,且公差为n2d,证明略)解法四设等差数列的