高中数学必修四第一章知识点梳理-1.pdf

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1、高中数学必修四第一章知识点梳理高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广一、角的概念的推广任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限终边的端点除外，就说这个角是第几象限角。当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上

2、的角叫做轴线角。终边相同角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合 S=|=+k360,kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。二、弧度制二、弧度制角度定义制规定周角的1为一度的角，记做 1，360这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60 进制。弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1 弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1 弧度记做 1rad。2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角有关的常数，故可以取为度量标准。弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个

3、负数，零角的弧度数是 0.如果半径为 r 的圆的圆心角所对的弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|的正负由角的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。l。r三、任意角的三角函数三、任意角的三角函数任意角的三角函数的定义设是一个任意大小的角，的终边上任意点 P 的坐标是 x,y，它与原点的距离rr，那么x2 y2 01、比值yy叫做的正弦，记做sin，即sin。rrxx叫做的余弦，记做cos，即cos。rryy3、比值叫做的正切，记做tan，即tan。xx2、比值另外，我们把比值xxr叫做的余切，记做cot，即cot；把比值叫做的正割，yyxrrr；把比值叫做的余割，记做csc，即

4、csc。yyx记做sec，即sec对于一个确定的角，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。诱导公式一终边相同角的同一个三角函数的值相等。sin(k 2)sin，cos(k 2)cos，tan(k 2)tan，以上 kZ。利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0 到 2角的三角函数值。正弦线、余弦线、正切线y1、如下图，设任意角的终边与单位圆交于点Px,y，那么yy y，r1xxcos x。r1sinPoMx过点 Px,y作 PMx 轴于 M，我们把线段 MP，OM 都看做规定了方向的有

5、向线段：当MP 的方向与 y 轴的正方向一致时，MP 是正的；当MP 的方向与y 轴的负方向一致时，MP 是负的。因此，有向线段MP 的符号与点 P 纵坐标的符号总是一致的，且|MP|=|y|，即总有MP=y。同理也有OM=x成立。从而sin y MP，cos x OM。我们把单位圆中规定了方向的线段MP，OM 分别叫做角的正弦线、余弦线。2、如下图，过 A1,0作 x 轴的垂线，交的终边 OP 的y延长线当为第一、四象限角时或这条终边的反向延长线当为第二、三象限角时于点T，借助于有向线PT段 OA，AT，我们有tanyATA AT。于是，我们xOAOM把规定了方向的线段 AT叫做的正切线。特

6、别地，当的终边在 x 轴上时，点 A 与点 T 重合，tan AT 0；当的终边落在 y 轴上时，OP 与垂线平行，正切线不存在。x四、同角三角函数的基本关系四、同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。由三角函数定义有sin22yxy，cos，tan。rrxy2x2x2 y2r221，即sin2 cos21。sin cos()()2rrrr当 ksin即同一个角的正弦、(k Z)时，tan(k,k Z)，2cos2余弦的平方和等于 1，商等于角的正切其中 k关于公式sin2 cos21的深化2。,k Z1sinsincos2；1sin

7、 sincos；1 sin sin2 cos2如：1sin8 sin4cos4 sin4cos4；1sin8 sin4cos4五、正弦、余弦的诱导公式五、正弦、余弦的诱导公式诱导公式二sin()sin，cos()cos，tan()tan。诱导公式三sin()sin，cos()cos，tan()tan。诱导公式四sin()sin，cos()cos，tan()tan。以上几个诱导公式可以表达为：对于 k 2(k Z)，则，的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原三角函数值的符号。也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。诱导公式五sin cos，cos sin。22诱导公式六si

8、n cos，cos sin。22可以概括为：2的正弦余弦函数值，分别等于的余弦正弦函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。六、两角和与差的正弦、余弦、正切六、两角和与差的正弦、余弦、正切两角和的正弦、余弦、正切sin sincoscossin，cos coscossinsin，tantan tan1 tantan。两角差的正弦、余弦、正切sin sincoscossin，cos coscossinsin，tantan tan1 tantan。此处公式较多，可熟记两角和的三个公式，两角的差可以看做()，进行推导。积化和差公式1sin()sin(

9、)，21cossinsin()sin()，21coscoscos()cos()，21sinsin cos()cos()。2sincos和差化积公式sinsin 2sin22sinsin 2cos，sin22cos cos 2cos，cos22coscos 2sin。sin22cos，课后练习题课后练习题1.将300o化为弧度为A4577BCD；33642.如果点P(sincos,2cos)位于第三象限，那么角所在象限是.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3以下选项中表达正确的选项是A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B锐角是第一象限的角C第二象限的角比第一象限的角大D终边不同的角同

10、一三角函数值不相等4以下函数中为偶函数的是Ay sin|x|By sin2xCy sin xDy sin x15.1 2sin(2)cos(2)等于Dsin2+cos2Asin2cos2Bcos2sin2Csin2cos26假设角的终边落在直线 y=2x 上，则 sin的值为A.B.1552 51C.D.5527.假设点P在角的终边的反向延长线上，且OP 1，则点P的坐标为(A)(cos,sin);(B)(cos,sin);(C)(cos,sin);(D)(cos,sin);8.已知角的终边经过点p0-3，-4，则cos()的值为2 A.4343 B.C.D.55553.已知、是第二象限的角，且cos cos，则 A.;B.sin sin；C.tan tan；D.以上都不对9.已知角的终边经过点P(3，3)，则与终边相同的角的集合是_cos()sin()210.已知角终边上一点 P4，3，求的值。119cos()sin()22