高考真题数学分项详解-专题23-空间点线面的位置关系（解析版）.pdf

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1、专题专题 2323 空间点线面的位置关系空间点线面的位置关系年份年份题号题号考点考点考查内容考查内容2011文 18空间垂直问题及其应用线面垂直的性质、线面垂直的判断、三棱锥高的计算，空间想象能力、逻辑推理能力2013卷 2理 4空间平行问题空间垂直问题及其应用空间线线、线面、面面平行、垂直判定与性质及异面直线的知识，空间想象能力2014卷 1文 19来源:Z。xx。k.Com空间垂直问题及其应用空间线线、线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，空间想象能力、推理论证能力2015卷 2理 19空间几何体的截面问题截面问题及利用空间向量计算线面角，逻辑推理能力与运算求解能力卷3来源:Zx

2、xk.Com文 19来源:Z,xx,k.Com来源:Zxxk.Com空间平行问题来源:Zxxk.Com来源:Z|xx|k.Com以四棱锥为载体线面平行的判定与性质与简单几何体体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力来源:学|科|网来源:Zxxk.Com来源:学#科#网Z#X#X#K卷 2文 19空间垂直问题及其应用折叠问题中的线线垂直的判定、简单几何体的体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力2016卷 2理 14空间平行问题空间垂直问题及其应用线性、线面、面面平行与垂直的判定与性质，逻辑推理能力卷 3文 19空间垂直问题及其应用主要以三棱锥为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质及简单几何

3、体的体积的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3文 10空间垂直问题及其应用主要以正方体为载体线性垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力2017卷 2文 18空间平行问题线面平行的判定与性质、简单几何体的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 1文 6空间平行问题线面平行的判定与性质，逻辑推理能力与运算求解能力卷 2文 19空间垂直问题及其应用空间线线垂直、线面垂直的判定与性质、点到平面距离的计算，逻辑推理能力与运算求解能力卷 1文 18空间垂直问题及其应用折叠问题中的空间面面的判定与性质及简单几何体的体积，逻辑推理能力及运算求解能力2018卷 1理 16空间几何体的截面

4、问题本题线面角及截面的最大值，逻辑推理能力及运算求解能力卷 1文 19空间平行问题空间线面平面的判定及利用等体积法求点到面的距离，逻辑推理能力及运算求解能力卷 1文 16空间垂直问题及其应用线面垂直的判定与性质及点到面的距离，逻辑推理能力与运算求解能力卷 3理 8 文8空间位置关系判定空间两直线的位置关系及空间想象能力卷 2理 7 文7空间平行问题面面平行的判定及充要条件卷 1文 19空间垂直关系，面积、体积面面垂直的证明，考查锥体的体积公式卷 2文 20空间位置关系判定线线平行和面面垂直的证明，四棱锥体积的计算2019卷 3文 19空间位置关系判定线线垂直的证明，点与平面位置关系的证明大数据

5、分析大数据分析*预测高考预测高考考点考点出现频率出现频率20212021 年预测年预测考点 78 空间位置关系的判定1/19考点 79 空间平行问题7/19考点 80 空间垂直问题及其应用11/19考点 81 空间几何体的截面问题2/192021 年高考仍将小题重点考查平行与垂直的判定与性质，为基础题，若为截面问题，则为中档题，题型为选择填空题解答题，第一小题，多为证明线线、线面、面面垂直与平行的判定与性质，第二小题，文科多为计算体积和表面积的计算或点到面的距离，难度为中档题十年试题分类十年试题分类*探求规律探求规律考点考点 7878 空间位置关系的判定空间位置关系的判定1（2019新课标，理

6、 8 文 8）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平NABCDECDECD 面，是线段的中点，则 ABCDMED()A，且直线，是相交直线BMENBMENB，且直线，是相交直线BMENBMENC，且直线，是异面直线BMENBMEND，且直线，是异面直线BMENBMEN【答案】B【解析】点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的NABCDECDECD ABCDMED中点，平面，平面，是中边上的中线，是中边上BMBDEEN BDEBMBDEDEENBDEBD的中线，直线，是相交直线，设，则，BMENDEa2BDa2235244BEaaa，故选62BMa223144ENaaaBMENB2（

7、2019新课标，文 16）已知，为平面外一点，点到两边，90ACBPABC2PC PACBAC的距离均为，那么到平面的距离为BC3PABC【答案】2【解析】因为，为平面外一点，点到两边，的距离均为，90ACBPABC2PC PACBACBC3过点作，交于，作，交于，过作平面，交平面于，PPDACACDPEBCBCEPPO ABCABCO连结，则，ODOC3PDPE222(3)1CDCEODOE，到平面的距离为223 12POPDODPABC2考点考点 7979 空间平行问题空间平行问题1（2019新课标，理 7 文 7）设，为两个平面，则的充要条件是/()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直

8、线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于，内有无数条直线与平行，或；A/对于，内有两条相交直线与平行，；B/对于，平行于同一条直线，或；C/对于，垂直于同一平面，或故选D/B2（2017新课标，文 6）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所ABMNQ在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是 ABMNQ()ABCD【答案】A【解析】对于选项，由于，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于B/ABMQBC，结合线面平行判定定理可知不满足题意；对于选项，由于，结合线面平行判定/ABMQCD/ABNQ定理可知不满足题意；所以选项满足题意，故

9、选DAA3(2018 浙江)已知平面，直线，满足，则“”是“”的（）mnmnmnmA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，由线面平行的判定定理知若mnmnm，不一定推出，直线与可能异面，故“”是“”的mmnmnmnmnm充分不必要条件故选 A4（2019新课标，文 19）如图，直四棱柱的底面是菱形，1111ABCDABC D14AA 2AB，分别是，的中点60BADEMNBC1BB1AD（1）证明：平面；/MN1C DE（2）求点到平面的距离C1C DE【解析】证明：（1）连结，分别是，的中点，1BCMEME1BBBC，又为的中点，1/MEBC

10、N1AD112NDAD由题设知，11/ABDC11/BCAD/MEND四边形是平行四边形，MNDE，/MNED又平面，平面MN 1C DE/MN1C DE解：（2）过作的垂线，垂足为，C1C EH由已知可得，DEBC1DEC C平面，故，DE1C CEDECH平面，故的长即为到时平面的距离，CH1C DECHC1C DE由已知可得，1CE 14CC，故，117C E4 1717CH 点到平面的距离为C1C DE4 17175（2017新课标，文 18）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，PABCDPADABCD，12ABBCAD90BADABC（1）证明：直线平面；/BCPAD（2）

11、若面积为，求四棱锥的体积PCD2 7PABCD【解析】（1）证明：四棱锥中，平面，PABCD90BADABC/BCADAD PAD平面，BC PAD直线平面；/BCPAD（2）解：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，PABCDPADABCD12ABBCAD设，90BADABC 2ADx则，是的中点，ABBCx2CDxOAD连接，的中点为：，连接，POOCCDEOE则，22OEx3POx2272xPEPOOE面积为，可得：，PCD2 712 72PE CD 即：，解得，1722 722xx2x 2 3PO 则1111()(24)22 34 33232P ABCDVBCADABPO 6（201

12、6新课标，文 19）如图，四棱锥中，底面，PABCDPA ABCD/ADBC，为线段上一点，为的中点3ABADAC4PABCMAD2AMMDNPC（）证明平面；/MNPAB（）求四面体的体积NBCM【解析】证明：（）取中点，连结，BCEENEM为的中点，是的中位线NPCNEPBC，/NEPB又，/ADBC/BEAD，为线段上一点，3ABADAC4PABCMAD2AMMD，122BEBCAM四边形是平行四边形，ABEM，平面平面，/EMAB/NEMPAB平面，平面MN NEM/MNPAB（）取中点，连结，ACFNF是的中位线，NFPAC，/NFPA122NFPA又面，面，PA ABCDNFABC

13、D如图，延长至，使得，连结，BCGCGAMGM，四边形是平行四边形，/AMCGAGCM，3ACMG又，3ME 2ECCG的高，MEG5h，11452 522BCMSBCh 四面体的体积NBCM114 52 52333NBCMBCMVSNF7（2013 辽宁）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点ABOPAOCO（）求证：BCPAC 平面；（）设为的中点，为的重心，求证：平面QPAGAOCQGPBC【解析】（）由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC，又 PAAC=A,PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC（）连 O

14、G 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QOMQOPABCG由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，由 G 为 PA 中点，得 QM/PC又 O 为 AB 中点，得 OM/BC因为 QMMO=M,QM平面 QMO所以 QG/平面 PBC8（2012 江苏）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点D不同111ABCABC1111ABACDE，1BCCC，于点C），且为的中点ADDEF，11BCEDFA1ABCC1B1求证：（）平面平面；ADE11BCC B（）直线平面1/AFADE【解析】（）因为是直三棱柱，所以平面ABC,111ABCABC1CC又平面,所以，ADABC1CCAD又因为

15、平面，AD1,DE CCDE 11BCC B1CC,DEE所以平面,AD11BCC B又AD平面ADE,所以平面ADE平面11BCC B（）因为，为的中点，1111ABACF11CB所以因为平面，111AFBC1CC111ABC且平面，1AF111ABC所以1CC1.AF又因为，平面，1CC11BC 11BCC B1CC111BCC所以平面，1AF 11BCC B所以AD1/AF又 AD平面，平面，ADE1AF ADE所以平面1/AFADE考点考点 8080 空空间垂直问题间垂直问题1（2017新课标，文 10）在正方体中，为棱的中点，则 1111ABCDABC DECD()ABCD11AED

16、C1AEBD11AEBC1AEAC【答案】C【解析】连，由题意得，平面，且平面，1BC11BCBC11AB 11B BCC1BC 11B BCC，平面，平面，111ABBC1111ABBCB1BC11AECB1AE 11AECB11AEBC故选C2（2013 新课标，理 4）已知，为异面直线，平面，平面，直线 满足，mnmnllml，则nllA且 B且 llC与相交，且交线垂直于 D与相交，且交线平行于ll【答案】D【解析】若，又平面，则平面，又平面，与与异面矛盾，mmnmnmn故 A 错；若，平面，与 矛盾；lnlnln若与相交，设交线为，过上一点作直线，设与确定的平面为，anbmbn，又平

17、面，平面，mlbllnlmn，则，故选 Dmanabaaal3（2011 辽宁）如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是BCASDAACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【答案】D【解析】选项 A 正确，平面，而在平面内，所以因为为SD ABCDACABCDACSDABCD正方形，所以，而与相交，所以平面，所以；选项 B 正确，因ACBDBDSDAC SBDACSB为，而在平面内，不在平面内，所以平面；选项 C 正确，设ABCDCDSCDABSCDABSCD与的交点为，连结，

18、则与平面所成的角，与平面所成的角ACBDOSOSASBDASOSCSBD，易知这两个角相等；选项 D 错误，与所成的角等于，而与所成的角等于CSOABSCSCDDCSA，易知这两个角不相等，故选 DSAB4（2015 福建）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的,l mmlmlA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“且”推出“或”，但由“且”可推出“”，所mlmllmllm以“”是“”的必要而不充分条件，故选 Blml5（2014 广东）若空间中四条两两不同的直线1234,l l l l，满足122334,ll ll ll，则下

19、面结论一定正确的是A14llB14/llC14,l l既不垂直也不平行 D14,l l的位置关系不确定【答案】D【解析】利用正方体模型可以看出，与的位置关系不确定选 D1l4l6（2014 浙江）设是两条不同的直线，是两个不同的平面,m n,A若，则B若，则mn/nm/mmC若则D若，则,mnnmmnnm【答案】C【解析】选项中均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选,A B DmC7（2014 辽宁）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是mnA若则B若，则/,/,mn/mnmnmnC若，则D若，则mmn/n/mmnn【答案】B【解析】对于选项 A，若，则与可能相交、平行或异面

20、，A 错误；显然选项 B 正确；对/,/,mnmn于选项 C，若，则或，C 错误；对于选项 D，若，则mmnn/n/mmn或或与相交，D 错误故选 B/nnn8（2013 广东）设，是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中正确的是mnA若,m,n,则mnB若/,m,n,则/mnC若mn,m,n,则D若m,/mn,/n,则【答案】D【解析】A 中可能平行、垂直、也可能为异面；B 中还可能为异面；C 中应与中两条相交直,m n,m nm线垂直时结论才成立，选 D9（2012 浙江）设l是直线，是两个不同的平面,A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若,l，则l【答案】B【解析】利用排除

21、法可得选项 B 是正确的，l，l，则如选项 A：l，l时，或；选项 C：若，l，l或l；选项 D：若,l，l或l10（2012 浙江）已知矩形，将沿矩形的对角线所在的直线进行ABCD1AB 2BC ABDBD翻折，在翻折过程中，A存在某个位置，使得直线与直线垂直ACBDB存在某个位置，使得直线与直线垂直ABCDC存在某个位置，使得直线与直线垂直ADBCD对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直ACBDABCDADBC【答案】B【解析】过点作，若存在某个位置，使得，则面，从而有，AAEBDACBDBD ACEBDCE计算可得与不垂直，则 A 不正确；当翻折到时，因为，所以面，BDCEA

22、CCDBCCDCD ABC从而可得；若，因为，所以面，从而可得，而ABCDADBCBCCDBC ACDBCAC，所以这样的位置不存在，故 C 不正确；同理，D 也不正确，故选 B12ABBC 11（2011 浙江）下列命题中错误的是A如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面，平面，那么 平面 平面=ll 平面D如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 平面【答案】D【解析】对于 D，若平面平面，则平面内的某些直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其余选项易知均是正确的，故选 D12（2016

23、新课标，理 14），是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：mn如果，那么mnm/n如果，那么m/nmn如果，那么/m/m如果，那么与所成的角和与所成的角相等/mn/mn其中正确的命题是（填序号）【答案】【解析】如果，不能得出，故错误；mnm/n如果，则存在直线，使，由，可得，那么故正确；/nl/nlmmlmn如果，那么与无公共点，则，故正确/mm/m如果，那么，与所成的角和，与所成的角均相等，故正确；/mn/mnmn13（2019 北京理 12）已知l，m是平面a外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；maP；la以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案

24、】若llm，则mP或mP，l，则lm【解析】由l，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若llm，则mP由线面平行、垂直的性质定理得mP，l，则lm14（2020 全国 I 文 19）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，DOABC为上一点，PDO90APC（1）证明：平面平面；PABPAC（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积2DO 3PABC【答案】（1）证明见解析；（2）68【思路导引】（1）根据已知可得，进而有，可得，PAPBPCPACPBC90APCBPC 即，从而证得平面，即可证得结论；PBPCPC PAB（2）将已知条件转化为母线 和底面半

25、径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形lr边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论ABCAPCAPRt APOPO【解析】（1）为圆锥顶点，为底面圆心，平面，DQOODABC在上，PDO,OAOBOCPAPBPC是圆内接正三角形，ABCACBCPACPBC，即，90APCBPC,PBPC PAPC平面平面，平面平面；,PAPBPPC,PAB PC PACPAB PAC（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，lr3,3rlrl，解得，2222ODlr1,3rl2 sin603ACr在等腰直角三角形中，APC2622APAC在中，Rt PAO2262142PO

26、APOA三棱锥的体积为PABC11236333248P ABCABCVPO S15（2020 全国文 20）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，111ABCABC11BBC C分别为的中点，为上一点过和的平面交于，交于,MN11,BC BCPAM11BCPABEACF（1）证明：/，且平面平面；1AAMN1A AMN 11EBC F（2）设为的中心，若，/平面，且，求四棱锥O111ABC6AOABAO11EBC F3MPN的体积11BEBC F【答案】（1）证明见解析；（2）24【思路导引】（1）由分别为，的中点，根据条件可得，可证,M NBC11BC1/MN CC11/AABB，要

27、证平面平面，只需证明平面即可；1MN AA/11EBC F1A AMNEF 1A AMN（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得1 1EB C FS四边形MPN1 1B EB C FV【解析】（1）分别为，的中点，又，,M NBC11BC1/MN BB11/AABB1/MN AA在等边中，为中点，则，又侧面为矩形，ABCMBCBCAM11BBC C1BCBB，由，平面，平面，1/MN BBMNBCMNAMM,MN AM 1A AMNBC1A AMN又，且平面，平面，平面，11/BCBC11BC ABCBC ABC11/BCABC又平面，且平面平面，11BC 11EBC F1

28、1EBC F ABCEF11/BCEF/EF BC又平面，平面，平面，平面平面BC 1A AMNEF 1A AMNEF 11EBC F11EBC F1A AMN（2）过作垂线，交点为，画出图形，如图MPNH/平面，平面，平面平面，AO11EBC FAO 1A AMN1A AMN 11EBC FNP/AO NP又，为的中心，/NO AP6AONPO111A BC，故：，则1111sin606 sin60333ONAC 3ONAP33 3AMAP平面平面，平面平面，平面，11EBC F 1A AMN11EBC F 1A AMNNPMH 1A AMN平面，又在等边中，即MH 11EBC FABCEF

29、APBCAM3623 3AP BCEFAM由（1）知，四边形为梯形，四边形的面积为：11EBC F11EBC F，1 11126=62422EB C FEFBCSNP四边形1 11 113B EB C FEB C FVSh四边形为到的距离，hMPN2 3 sin603MH 124 3243V 16（2020 全国文 19）如图，在长方体中，点分别在棱上，且1111ABCDABC D,E F11,DDBB证明：112,2DEEDBFFB（1）当时，；ABBCEFAC（2）证明：点在平面内1CAEF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【思路导引】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得，进而

30、可证平面ACBD1ACBBAC，即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得，再通过平行四11BB D D1/ECAF1CCM12CMMC边形性质进行证明即可【解析】（1）因为长方体，所以平面，1111ABCDABC D1BBABCD1ACBB因为长方体，所以四边形为正方形，1111,ABCDABC D ABBCABCDACBD因为平面，因此平面，11,BBBDB BBBDI、11BB D DAC 11BB D D因为平面，所以EF 11BB D DACEF（2）在上取点使得，连，1CCM12CMMC,DM MF因为，所以所以四边形为平行四边形，111112,/,=D EED DDCC DDCC

31、11,/,EDMC ED MC1DMC E，因为所以四边形为平行四边形，因1/DM EC/,=,MF DA MF DAMFAD1/,/DM AFECAF此在平面内1CAEF17（2020 江苏 15）在三棱柱中，平面，分别是，111ABCABCABAC1BC ABC,E F AC的中点1BC（1）求证：平面；/EF11ABC（2）求证：平面平面1ABC 1ABB【答案】见解析【解析】（1）分别是，的中点，,E FAC1BC1/EFAB平面，平面，平面EF 11ABC1AB 11ABC/EF11ABC（2）平面，面，1BC ABCAB 1ABB1BCAB又，面，面，ABAC1ACBCCAC 1A

32、BC1BC 1ABC面，面，平面平面AB 1ABCAB 1ABB1ABC 1ABB18（2018新课标，文 18）如图，在平行四边形中，以为折ABCM3ABAC90ACMAC痕将折起，使点到达点的位置，且ACMMDABDA（1）证明：平面平面；ACD ABC（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积QADPBC23BPDQDAQABP【解析】（1）证明：在平行四边形中，ABCM90ACMABAC又且，ABDAADACA面，面，ABADCABABC平面平面；ACD ABC（2），3ABAC90ACM3 2ADAM，22 23BPDQDA由（1）得，又，面，DCABDCCADCABC三棱

33、锥的体积QABP1133ABPVSDC12112113 3313333323ABCSDC 19（2018新课标，文 19）如图，在三棱锥中，PABC2 2ABBC4PAPBPCAC为的中点OAC（1）证明：平面；PO ABC（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离MBC2MCMBCPOM【解析】（1）证明：，即是直角三角形，2 2ABBC4AC 222ABBCACABC又为的中点，OACOAOBOC，PAPBPCPOAPOBPOC 90POAPOBPOC ，平面；POACPOOB0OBAC POABC（2）由（1）得平面，PO ABC222 3POPAAO在中，COM2202 52cos453O

34、MOCCMOC CM，112 52 152 32233POMSPOOM124233COMABCSS设点到平面的距离为由，CPOMdP OMCC POMVV1133POMOCMSdSPO解得，4 55d 点到平面的距离为CPOM4 5520（2017新课标，文 19）如图四面体中，是正三角形，ABCDABCADCD（1）证明：；ACBD（2）已知是直角三角形，若为棱上与不重合的点，且，求四面体ACDABBDEBDDAEEC与四面体的体积比ABCEACDE【解析】证明：（1）取中点，连结、，ACODOBO是正三角形，ABCADCD，DOACBOAC，平面，DOBOOACBDO平面，BD BDOAC

35、BD（2）法一：连结，由（1）知平面，OEAC OBD平面，OE OBDOEAC设，则，2ADCD1OCOAECEA，AECE2AC 222ECEAAC，2ECEACD是线段垂直平分线上的点，EAC2ECEACD由余弦定理得：，222222cos22BCBDCDBCBECECBDBC BDBC BE即，解得或，24424222222BEBE 1BE 2BE，2BEBD1BEBEED四面体与四面体的高都是点到平面的高，ABCEACDEABCDh，BEEDDCEBCESS四面体与四面体的体积比为 1ABCEACDE21（2016新课标，文 19）如图，菱形的对角线与交于点，点、分别在，ABCDAC

36、BDOEFAD上，交于点，将沿折到的位置CDAECFEFBDHDEFEFD EF（）证明：；ACHD（）若，求五棱锥体积5AB 6AC 54AE 2 2OD DABCFE【解析】（）证明：菱形的对角线与交于点，点、分别在，上，ABCDACBDOEFADCD，AECF，且/EFACEFBD将沿折到的位置，DEFEFD EF则，D HEF，/EFAC；ACHD（）若，则，5AB 6AC 3AO 04BOD，54AE 5ADAB，515544DE，/EFAC，153454DEEHDHADAOOD，94EH922EFEH3DH 431OH，3HDDH 2 2OD 满足，222HDODOH 则为直角三角

37、形，且，OHDODOH 又，ODAC ACOHO即底面，OD ABCD即是五棱锥的高ODDABCFE底面五边形的面积，9(6)11()1216926412222244EFAC OHSAC OB 则五棱锥体积DABCFE116923 22 23342VS OD 22（2014新课标 I，文19）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为111CBAABC CCBB11CB1，且平面OAOCCBB11（I）证明：;1ABCB（II）若,求三棱柱的高1ABAC,1,601BCCBB111CBAABC【解析】（I）连结，则是与的交点，侧面为菱形，1BCO1BC1BC11BBC C1BC1BC又平面，平面，平

38、面，AO11BBC C1BCAO1BCABOABABO6分1BCAB（II）作，垂直为 D，连结 AD，作 OHAD，垂足为 H，ODBCBCAO，BCOD，BC平面 AOD，OHBC，OHAD，OH平面 ABC=，为正三角形，BC=1，可得 OD=1CBB0601CBB34ACAB，OA=112BC12，且=，得=，OHADOD OAAD22ODOA74OH2114又O 是的中点，点到平面的距离为，1BC1BABC217故三棱锥的高为12分111CBAABC 21723（2011新课标，文 18）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，=，PABCDABCDDAB060=,底面AB2ADPDABC

39、D()证明：；PABD（）若=1，求棱锥的高PDADDPBC【解析】（）因为，由余弦定理得60,2DABABAD3BDAD从而 BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD（）如图，作 DEPB，垂足为 E已知 PD底面 ABCD，则 PDBC由（）知 BDAD，又 BC/AD，所以 BCBD故 BC平面 PBD，BCDE则 DE平面 PBC由题设知，PD=1，则 BD=，PB=2，3根据 BEPB=PDBD，得 DE=，23即棱锥 DPBC 的高为.2324（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的

40、中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E证明证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC又因为BE平面ABC，所以CC1BE因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E25（2018 江苏）在平行六面体中，1111ABCDABC

41、 D1AAAB111ABBCD1C1B1A1DCBA求证：(1)平面；AB11ABC(2)平面平面11ABB A1ABC【证明】(1)在平行六面体中，1111ABCDABC DAB11AB因为平面，平面，AB11ABC11AB11ABC所以平面AB11ABCD1C1B1A1DCBA(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形1111ABCDABC D11ABB A又因为，所以四边形为菱形，1AAAB11ABB A因此1AB1AB又因为，1AB11BCBC11BC所以1ABBC又因为=，平面，平面，1ABBCB1AB1ABCBC1ABC所以平面1AB1ABC因为平面，1AB11ABB A所以平面平面

42、11ABB A1ABC26（2017 江苏）如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与ABCDA、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC；（2）ADACFABCDE【解析】证明：（1）在平面内，因为，ABDABADEFAD所以EFAB又因为平面，平面，EF ABCAB ABC所以平面EFABC（2）因为平面平面，ABDBCD平面平面=，ABDBCDBD平面，BC BCDBCBD所以平面BC ABD因为平面，所以AD ABDBC AD又，平面，平面，ABADBCABBAB ABCBC ABC所以平面，ADABC又因为平面，ACABC所

43、以ADAC27（2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线的长为 10cm，容器的两底面对角线，的长分别为 14cm 和 62cm分别AC7EG11EG在容器和容器中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒，其长度为 40cm（容器厚度、玻璃棒粗l细均忽略不计）（1）将 放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求 没入水中部分的长度；llA1CCl（2）将 放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求 没入水中部分的长度llE1GGl【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，1CCABCD所以平面平面，11A ACCABCD1

44、CCAC记玻璃棒的另一端落在上点处1CCM因为，10 7AC 40AM 所以，从而2240(10 7)30MN 3sin4MAC记与水平的交点为，过作，为垂足，AM1P1P11PQAC1Q则平面，故，11PQABCD1112PQ 从而11116sinPQAPMAC答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 16cml(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 24cm)（2）如图，是正棱台的两底面中心O1O由正棱台的定义，平面，1OOEFGH所以平面平面，11E EGGEFGH1OOEG同理，平面平面，11E EGG1111E FG H1OO11EG记玻璃棒的另一端落在上点处1GGN过作，

45、为垂足，则=32GGK11EGKGK1OO因为=14，=62，EG11EG所以=，从而1KG62 14242222211 243240GGKGGK设则1,EGGENG114sinsin()cos25KGGKGG因为，所以2 3cos5 在中，由正弦定理可得，解得ENG4014sinsin7sin25因为，所以0224cos25于是sinsin()sin()sincoscossinNEG42473(35)525255 记与水面的交点为，过作，为垂足，则平面，故=12，从而EN2P2P22PQEG2Q22PQEFGH22PQ=2EP2220sinPNEGQ答：玻璃棒 没入水中部分的长度为 20cm

46、l(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)28（2014 山东）如图，四棱锥中，PABCDAPPCD 平面ADBC分别为线段的中点1,2ABBCAD E F,AD PC（）求证：；APBEF平面（）求证：BEPAC 平面【解析】（）设，连结 OF，EC，ACBEO由于 E 为 AD 的中点，1,/2ABBCAD ADBC所以,/,AEBC AEABBC因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，因此在中，可得PAC/APOF又平面，平面，所以平面OF BEFAP BEFAPBEF（）由题意知，所以四边形为平行四边形，/,EDBC EDBCBCDE因

47、此又平面PCD，所以，因此/BECDAP APCDAPBE因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC又，AP，AC平面PAC，所以平面APACABEPAC29(2014 江苏)如图，在三棱锥ABCP 中，D，E，F分别为棱ABACPC,的中点已知ACPA，,6PA.5,8DFBCPABCFDE求证：（）直线平面DEF；PA（）平面平面ABCBDE【解析】（）为中点，DEPAD E，PCAC，平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEFPA（）为中点，D E，PCAC，132DEPA为中点，E F，ACAB，142EFBC，DEEF222DEEFDF90DEF，/DE PA PAAC，DEAC，DE平

48、面ABCACEFEDE平面BDE，平面BDE平面ABC30(2012 广东)如图所示，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，/,ABCD PDAD，E是PB中点，F是DC上的点，且12DFAB，PH为PAD中AD边上的高PABCDHFE（）证明：PH 平面ABCD；（）若，求三棱锥EBCF的体积；1,2,1PHADFC（）证明：EF 平面PAB【解析】（）AB 平面PAD，PH 面PADPHAB又,PHAD ADABAPH面ABCD（）E是PB中点点E到面BCF的距离1122hPH三棱锥EBCF的体积111112123326212BCFVShFCADh（）取PA的中点为G，连接,DG EG，

49、PDADDGPA，又AB 平面PAD面PAD 面PABDG面PAB，点,E G是棱,PB PA的中点11/,/22EGAB DFABEGDFDGEF，得：EF 平面PAB31（2011 江苏）如图，在四棱锥中，平面平面，ABCDP PADABCDABAD=60，、分别是、的中点BADEFAPADABCDFE求证：（）直线平面；EFPCD（）平面平面BEFPAD【证明】：（）在PAD 中，因为 E、F 分别为 AP，AD 的中点，所以 EF/PD又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF/平面 PCDPABCDFE（）连结 DB，因为 AB=AD，BAD=60，所以ABD 为正三

50、角形，因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，所以 BF平面 PAD又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD32（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E证明证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1（2）因为AB=BC，E为AC的中点，