大学物理课件-波动部分.ppt

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1、5.5 波动的基本特征 平面简谐波的波函数 (The basic character of wave motion and wave function of simple harmonic plane wave),5.5.1 波的产生与传播 5.5.2 波动的几何描述 5.5.3 描述波动的物理量 5.5.4 平面简谐波的波函数,(1),5.5.1 波的产生与传播 (The form and propagation of wave),1.机械波的产生与传播,机械波产生与传播的条件: 波源(source of waves) 媒质(medium),(2),所谓波动就是振动在空间的传播, 波传播到的

2、空间称为波场(wave field), 波场中任意点的物理状态随时间作周期性的变化。,弹性媒质中，机械振动由近及远地传播出去，形成机械波。,横波 质点振动方向 波的传播方向(仅在固体中),注意,波的传播是振动状态或相位、能量(而不是质点)的迁移,横波与纵波(transverse and longitudinal waves ),(3),纵波 质点振动方向 / 波的传播方向 （固液气中）,1.波面(wave surface)和波前(wave front): 在波场中某一时刻, 振动相位相同的点形成的曲面称 为波面, 最前面的波面称为波前(也叫波阵面)。,2.波线(wave line): 波的传播

3、方向称为波射线, 简称波线。,各向同性均匀媒质中波线总是垂直于波面,5.5.2 波动的几何描述 (Geometrical description of wave motion),(4),平面波,波线,球面波,柱面波,波面,波线,波面,波线,波面,1.波长(wavelength): 同一波线上相位差为 2 的两点 之间的距离。,2.周期T: 波传播一个波长距离所需的时间 或一个完整波通过波线上某一点所用时间,(5),5.5.3 描述波动的物理量 (The physical quantum of describing wave motion),3.频率 :单位时间内波所传播距离中所含完整波的数目

4、或单位时间内通过波线上某一点完整波的数目,4.波的传播速度(velocity of wave) : u,波速:振动状态在空间中传播速度或相速(phase velocity),机械波的波速决定于媒质特性: 惯性: 弹性: 弹性模量(线变,切变等),线变模量(又叫杨氏模量)(Y),(6),l/l: 线应变,F/S: 应力,固体中纵波的波速:,胡克定律,2) 波速 u 与振动速度 dy/dt 的区别。,3) 波速 u 仅与媒质的性质有关, 而与波源无关。,4) 频率 与波源的性质有关, 而与媒质无关。,5) 波长 = u/ 与波源和媒质有关。,注意,(7),1) 波长反映了波的空间周期性。 周期表征

5、了波的时间周期性。,(8),5.5.4 平面简谐波的波函数(重点) (The wave function of simple harmonic plane wave),1.平面简谐波的波函数,空间中任意点的位移随时间的变化称为波函数。,其数学函数为,波线,波线,简谐振动在空间的传播所形成的波， 称为简谐波(simple harmonic wave) 。,波面为平面的简谐波称为平面简谐波。,(2) 平面简谐波各处振幅相同。,说明,(1) 复杂的波可分解为一系列简谐波；,u,P(x),(1)沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数:,y波射线上某质元离开平衡位置的位移,设己知O点振动方程,P点振动方程:

6、,(9),约定:,O点振动状态传到P点,需时间:,波函数或波动表达式,或,角波数(angular wave number),角波数的意义:1)2长度内所含完整波长的数目; 2)相间单位长度的二个质元的相位差。,或,(10),波函数中, 和 kx + 的物理意义?,时间周期性的量,空间周期性的量,每经过一个周期T, 波就向前推进一个波长 。,形象地说:波动是许多质元以一定的相位关系进行 的集体振动。,(2)沿x轴负方向传播平面简谐波的波函数:,设己知O点振动方程,P(x),u,(11),或,或,P点振动方程:,P点振动状态比O点超前时间：,波函数或波动表达式,波函数给出x = x0位置的质元振动

7、方程 , 即 y = y(x0 , t),(2)当 t = t0 取一定值时,已知任意点 x0 的振动方程 y = Acos(t + ), 波函数为,波函数给出波线上任意 x 处质元在t = t0时刻的位移, 即y = y(x, t0) 波形方程, 可绘出波形图(y-x图)。,2.讨论波函数的意义: (1)当 x = x0 取一确定的值时,(12),(3)更一般的平面简谐波的波函数,(3) x, t 均为变量时,波函数给出波线上任一质元在任一时刻的位移。,t 时刻x处相位:,t + t 时刻 x + x 处相位:,说明经历 t 某相位从 x 处传到 x + x 处。,可见振动状态(相位)沿波线

8、在向前传播, 所以称为行波(traveling wave),(13),1.己知波函数1)求: A、u; 2)画任一时刻波形图; 3)画任一质元振动图。,2.己知某时刻波形图 1)能写出波函数; 2)画出另一时刻波形图。,3.己知某质元振动图 1)可写出该质元振动方程; 2)写出波函数。,(14),4.求相位差,熟练掌握,(15),例1:己知x = 1m处质元的振动方程: y = Acos(t + /2) 波速为u, 求:沿x轴正(负)方向传播的波的波函数?,解:用相位传播和相位差概念写出任意质元的振动方程,1,P,u,P点比x=1m点的相位落后(x1)/u,即1P=(x1)/u,2)波沿x轴负

9、方向传播,1,P,P点比x=1m点的相位超前(x1)/u,u,波源在什么位置? 若波源在 x=1m处, 如何?,1)沿x轴正方向传播的波,1 P,例2: 一根很长的弦线中传播的横波,波函数为: y = 6.0cos(0.02x + 4t)式中x , y 单位:cm t 单位:s 求1) A, , , u; 2) t = 4.2s时各波峰位置的坐标, 计算此时离原点最近一个波峰的位置, 该波峰何时通过原点? 3)写出质元振动速度表达式; 4) t = 2s 时的波形图。,解: 1) 与y = Acos(t + 2x/)比较,得,(16),A=6.0cm, 2/= 0.02 = 100cm =/2

10、 =2Hz u = = 200cm/s,2) t = 4.2s时各波峰位置由位移y = 6.0cm决定,即,0.02x + 44.2= 2k,x =100k840 k=0,1,2,k = 8时, x = 40cm离原点最近。,设此波峰在t 时通过原点, 即 0.020 + 4t = 28,t=4s,3)位于x处的质元的振动速度为,4) t = 2s时,(17),t=2s,或用旋转矢量法:, = 0,由y = 6.0cos(0.02x),例3: 一列波, = 500Hz, u = 350m/s 求1)同一时刻相位差为/2的二个质元最近距离; 2)同一质元相间10-3s的二个位移的相位差是多少?,

11、2),(18),解:1),例4:平面简谐波沿x轴负向传播,图为 t = 0 时的波形图 己知u=12m/s,求1)A, , T; 2)波函数; 3) t = 1/60s 波形图,解:1) A= 5cm,2),y,(19),x = 0的振动方程:,波函数:,(20),3) t = 1/60 s时波形图:,t = 0,t =1/60s,或利用行波的概念, 波形曲线向左移动的距离为,x = u t = 20 cm,例5:一简谐波沿x轴正向传播, T = 4s, = 4m, x = 0 处 质元振动曲线如右图, 求: (1)写出x = 0处质元振动方程 (2)写出波动表达式 (3)画出t = 1s时刻

12、波形图,y,解:(1),(2),(3) t = 1s时方程,(21),5.6 波的能量(energy of wave),目的: 讨论波是如何传播能量的?,5.6.1 波的能量传播特征 5.6.2 波的能流与能流密度,(22),棒上取小质元ab:长 dx (小质元的自然长度),某时刻 t , a离开其平衡位置 x 处的位移: y b离开其平衡位置 x + dx 处的位移: y + dy,ab质元的伸长量: dy; ab质元的线应变: y/x,1.波的能量(wave energy),以平面简谐纵波为例,细棒:截面: S 质量密度: ,纵波沿棒长度方向传播,(23),5.6.1 波的能量传播特征 (

13、The transmitting character of wave energy),(1),(2),(3),由(1)得:,由(2)得:,由(3)得:,(24),因质元ab很小,ab上各点振动速度视为相等(设为v),ab质元中能量:,代入上式得:,(25),注意: 质元的势能由质元的线应变决定,1)波动过程中,质元中的动能与势能总是“相等且同相”, 即同时达到最大, 又同时达到最小。,定量分析:,速度最大时:,质点过平衡位置时动能最大!,此时的线应变(决定势能):,也最大!,同理可证: 质元动能最小时, 势能也最小。,注意,(26),2)质元中的机械能(是否守恒?),每个质元不断地从前方吸收能

14、量, 向后方放出能量, 随波形的传播伴随着能量传播。,质元中的能量随时间周期性变化;,注意:波动中质元的动能和势能的这种关系不同 于孤立的振动系统。,(27),2.波的能量密度(energy density of wave),波的能量密度: 波场中单位体积内的能量,平均能量密度:,弹性波均成立,(28),(29),5.6.2 波的能流与能流密度 (The energy flow and energy flow density of wave),(u与S垂直),平均能流 :,能流在一个周期内平均值,波的能流P: 单位时间内通过媒质中某面积(S)的能量称为通过该 面积的能流。,1.波的能流与平均能

15、流 (energy flow and average energy flow of wave),2.波的能流密度与平均能流密度(energy flow density and average energy flow density of wave),能流密度:通过垂直于波动传播方向单位面积的能流,平均能流密度或波的强度(wave intensity) I,定义:能流密度在一个周期内的平均值,(30),各类波都适用(如机械波,电磁波等),波的强度为通过垂直波动传播方向单位面积的功率,单位: W/m,例6: 试证明在均匀无吸收的媒质中传播,球面波的振幅 满足: A1r1= A2r2 ; 其中A1表

16、示离波源的距离为r1处的 振幅, A2表示离波源的距离为r2处的振幅。,证: 由能量守恒,可知在一个周期内通过S1和S2面的能量相等。,设I1为r1处的平均能流密度, I2为r2处的平均能流密度, 则,I1S1T = I2S2T,(31),说明: 均匀无吸收媒质中,平面波振幅满足: A1=A2,设r1=1m时，振幅为A1,则球面简谐波的波函数为,5.7 波的叠加(superposition of waves),(32),5.7.1 惠更斯原理 5.7.2 波的叠加原理 5.7.3 波的干涉 5.7.4 驻波 5.7.5 半波损失,(33),5.7.1 惠更斯原理(Huygens princip

17、le),惠更斯(C.Huygens, 1629-1695)荷兰人,球面波,平面波,惠更斯原理: 波的传播过程中,波阵面(波前)上的每一点 都可看作是发射子波的波源, 在其后的任一时刻, 这些 子波的包迹面(即子波的共切面)就成为新的波阵面。,t+t 波面,t+t 波面,t 时刻波面,t 时刻波面,(34),用惠更斯原理解释波的衍射,波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物边缘而传播的现象称为波的衍射(diffraction of wave)。,5.7.2 波的叠加原理 (superposition principle of waves),波的独立性: 一列波的振幅、频率、波长、振动方向和传播

18、方向, 不因其它波的存在而有所改变。,波的叠加原理: 几列波在传播过程中相遇时, 相遇点的振动位移为各波单独引起振动位移的矢量和。,波的叠加原理对强度很大的波不适用。,注意,(35),5.7.3 波的干涉(interference of wave),(36),1.干涉现象: 两列波在空间相遇处合振动出现 稳定的加强或减弱的现象,2.相干波源(coherent wave sources):,相干波源s1,s2振动方程:,(37),3.相长干涉和相消干涉:,二列波单独在P点引起的振动分别为:,P点合振动:,(38),注意,1),最大, 相长干涉(constructive interference)

19、,最小, 相消干涉(destructive interference),如: A1 = A2 则 A = 0,(39),相位差是波强分布的关键,2)如1 = 2,波程差(wave path difference),最大,最小,(40),例7:s1,s2为均匀无吸收的同一媒质中的二个平面简谐相 干波源1=2=100Hz, A1=A2=10cm, 波速均为u=20m/s , s1较s2超前/2 求: 1)两列波在p1点的分振动方程及合振 幅; 2)两列波在p2点的分振动方程及合振幅。,解:=2=200, 设: 1=/2, 2=0,1)s1:,s2:,(41),2)s1:,(42),s2:,(43)

20、,例8: 有二个相干波源s1和s2,振幅相等且不随距离变化, 频率均为100Hz , 相位差为 , 二者相距30m, 波速均为 400m/s, 求:s1、s2连线之间静止各点的位置?,解: 设s1 、s2之间静止的点为x,首先写出s1和s2的波函数:,Example: What is the smallest radius r that results in an intensity minimum at the detector.,Solution:,For r = rmin,we have D = p, which is the smallest phase difference for

21、a destructive interference to occur. Thus,(44),5.7.4 驻波(standing wave),1.何谓驻波,两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇叠加而形成的波。,(47),演示1,演示2,驻波表达式,2.驻波分析,合成波:,(48),驻波的振幅随x作空间周期性变化, 但不随时间而变。,3.驻波的特征,1)驻波各点的振幅特征:,波腹坐标:,波节坐标:,2)驻波各点的相位特征:,相邻两节点间的所有质点同相,节点两侧质点反相。,(49),3)驻波各点的能量特征:,(50),当介质中质点的位移最大时,质点的能量都是势能。,势能曲线,动能

22、曲线,当质点到达平衡位置时,质点的能量都是动能。,势能集中在波节附近,动能集中在波腹附近,驻波能量转化,(51),5.7.5 半波损失 (half-wave loss),对于机械波, 设、u分别为介质的密度和波在介质中传播的速度, u 的大小决定是波密还是波疏介质。,对于电磁波, 设n为介质的折射率, n 的大小决定是波密还是波疏介质。,一般言之, 当波在两种媒质界面上反射时,设1、2、u1和u2分别为两种媒质的密度和波在两种媒质中传播的速度。,若1u12u2(从波疏介质进入波密介质),且垂直入射或 掠入射时, 反射波中产生“半波损失”(half-wave loss), 界面出现节点, 称为半

23、波反射。,若1u12u2(从波密介质进入波疏介质), 且垂直入射 或掠入射时, 反射波中无“半波损失”, 界面出现腹点, 称为全波反射。,(52),两端固定拉紧的弦线上的驻波:,驻波频率:,解: 1),入射波的波函数:,反射波在反射点c处(有半波损失)的振动方程:,(53),反射波的波函数:,(54),2)利用相位差求合振动的极大值与极小值,波节位置:,波腹位置:,波动基本要求,1.理解机械波产生的条件和相位传播的概念;了解波 长、波速和波频率的意义、相互关系和决定因素。 2.理解波函数及波形曲线的意义,熟练掌握用相位传播 的概念写出平面简谐波的波函数。 3.理解平面简谐波中质元动能与弹性势能的关系;理解 波的能量密度、能流、能流密度及波的强度的概念。 4.了解惠更斯原理及其对波的传播方向的说明。 5.理解波的叠加原理和相干条件,理解干涉现象;熟练掌 握干涉强弱的计算及其分布规律。 6.理解驻波特点和形成条件; 知道半波损失。,(55),(56),(57),