完整第四章答案.doc

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1、线性代数王远清主编第四章习题解答1.2.3.4.(1)令不克不迭由A线性表示。2解线性方程组，此中，表示行初等变卦解得：5，因为与成比例B可由A线性表示，A不克不迭由B线性表示。61，A与B等价。2，A与B等价。71错。线性有关的定义：假定，那么必有2错。设线性有关，那么都不克不迭够由其他向量线性表示。3对。4错。8.，是线性有关的。注，也可以将为列作成矩阵，再作行初等变卦线性有关。之因此可以以列为矩阵求秩，是因为矩阵行秩即是列秩，而以列为矩阵除了揣摸相关、有关外，对相关者还能求出各向量间的线性关系，如2小题，为添加阅历，可分歧应用后一种方法。2.()=线性相关的.设,从看出:此方程组解为:.

2、故,不妨取c=1,因此得之间的关系为:.假定题目还恳求用表示,从上式便可得:.(3)()=线性有关的.9.()=10.()=,事前,线性相关的,解得.事前,线性有关的.11.设,取,上式总成破,总是线性相关的.12.设,而为线性有关的,上式总成破,总是线性有关的.13.()=线性相关的.行最简形(行初等变卦变成的路径形)中,首非0元所在列对应的原列向量为极大年夜有关组,这里为.说明:什么缘故说首非0元对应的向量是极大年夜有关组呢?因为向量为列做成的矩阵行初等变卦时,不修改列间的线性关系.因此,间的线性关系同于间的关系,不雅观看可觉察,能由线性表示,不克不迭由线性表示,中极大年夜有关组为,因此中

3、极大年夜有关组为.(2).()=为极大年夜有关组.(3).()=线性相关。极大年夜有关组为首非0元对应列向量.14.(1),极大年夜有关组为,因为线性关系与行最简形中各列线性关系一样,而行最简形中第3列即是第1列加第2列的倍,因此.(2).,为极大年夜有关组,不雅观看最后一个矩阵各列关系知:.15.设,B由A线性表示,而,.即是线性有关的.16.证:假定线性有关,那么,因此对任意n维向量b,有唯一解.即任意n维向量能由线性表示.假定任意n维向量b能由线性表示,那么也能由线性表示,由上题知,线性有关.17.,线性有关,可生成.18.,因此,A是的一个基,B能由A线性表示.之间的线性关系与矩阵C中

4、名列的线性关系一样(行初等变卦不修改列的线性关系.)不管三七二十八,我们再作行初等变卦,把A变成单位矩阵从最后的矩阵看出,.19.首非0元在第1、2列取得，为自由变量，令，可求出基础解系：通解。此中为常数2.首非0元在第1、2、3列取得，为自由变量，令，解得可求出基础解系：通解为。此中为常数3首非0元在第1、3列取得，为自由变量，令，令，因此基础解系是：通解。4.首非0元在第1、2列取得，为自由变量，令，得,故基础解系为：通解。(5).首非0元在第1列取得，为自由变量，令，得,故基础解系为：通解。20.设为的解,即,.那么A的行向量都有与正交,我们不妨求出与正交的所有向量,再以这些向量为横向量

5、作成A.那么的解为,设,解谁人方程组:得解为那么符合原题恳求.21.令自由变量,得非齐次方程的一个特解,考察对应的齐次方程,从看出,令,得基础解系,原方程组通解为.(2).，令自由变量,得非齐次方程的一个特解,考察对应的齐次方程,从看出,令,得齐次方程的基础解系,原方程组通解为.22.齐次方程的基础解系只需一个向量，为非齐次的解，亦为非齐次方程解，命题：设为非齐次的解，那么对，亦为的解，见本章25习题。为齐次方程的解，又的确是基础解系，故非齐次方程通解为。23齐次方程的基础解系只需2线性有关向量，为非齐次的解，为齐次方程的解，线性有关，取为基础解系，故非齐次方程通解为。241基础解系必线性有关，假定线性相关，那么且表达唯一，而，与冲突。2.设那么由(1)知线性有关.线性有关.25.设为非齐线性方程组的解,即为的解.