专题1：铅垂法求面积最值问题探究.docx

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1、专题一：铅垂法求面积最值问题探究 专题导入导例：抛物线y=-13x2+233x+3交x轴正半轴于点A（33，0），交y轴于点B（0，3），且这个抛物线的顶点为C连接AB、AC、BC，则抛物线的对称轴为直线 ，线段CD的长为 ，ABC的面积为 方法点睛如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：12SABC12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 根据上述方法，我们来得到求三角形的面积的最值问题的方法：SPAB12PQx

2、A-xB，根据二次函数解析式设出点P的坐标，结合一次函数解析式从而得到点Q的坐标，从而转化为S与点P横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅垂线段PQ最大时，SPAB取得最大值导例答案：x=3 2 33典例精讲来源:Zxxk.Com类型一：抛物线上动点产生的三角形面积的最值例1 在平面直角坐标系中，直线y=12x2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上（1）求二次函数的解析式；（2）如图，连接DC，DB，设BCD的面积为S，求S的最大值.来源:学科网ZXX

3、K【分析】（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为y=12（x-4）（x-m），将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DFx轴，交BC与点F，设D（x，12x2-32x-2），则DF=-12x2+2x，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可类型二：抛物线上动点产生的四边形的面积例2. 如图，抛物线yax2bx3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴L为直线x1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)(1)直接写出抛物线的解析式；(2)探究:当动点N在对称轴L上时，j是否存在PBNB，且PBNB的关系，若存在，请求出此

4、时点P的坐标，若不不存，请说明理由；(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值，若不存在，请说明理由【分析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PMx轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q可证明BPMNBQ，则可求得PM=BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值专题过关1如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A（1，0），B（3，0），C（0，2），作直线BC（1

5、）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PDx轴于点D，设点P的横坐标为t（0t3），求ABP的面积S与t的函数关系式2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似，求点D的坐标；(3)如图，CEx轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积3如图，已知二次函数y=ax

6、2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当BMN是等腰三角形时，直接写出m的值 备用图4.如图，在平面直角坐标系中，A，B为x轴上两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点C的坐标为（0，32），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求A,B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点

7、P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值5已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A，B两点，抛物线y=12x2+mx2经过点A，和x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（4，1）的直线交抛物线于点P，Q，连接CP，CQ分别交y轴于点E，F，求OEOF的值专题一：二次函数中的三角形面积最值问题 答案例1 （1）把x=0代y=12x2得y=2，C（0，2）把y=0代y=12x2得x=4，B（4，0）设抛物线的解析式为y=

8、12（x4）（xm），将C（0，2）代入，得2m=2解得m=1A（1，0）抛物线的解析式y=12（x4）（x+1），即y=12x232x2（2）如图所示：过点D作DFx轴，交BC与点F设D（x，12x2-32x-2），则F（x，12x-2），DF=（12x-2）-（12x2-32x-2）=-12x2+2xSBCD=12OBDF=124（-12x2+2x）=-x2+4x=-（x2-4x+4-4）=-（x-2）2+4当x=2时，S有最大值，最大值为4此时点Q为线段AB的中点.例2.(1)yx22x3；A(1，0)，对称轴L为直线x1，B(3，0)，将AB两点坐标代入得，a+b-3=0，9a-3b-

9、3=0.，解得a=1，b=2.抛物线的解析式为yx22x3.(2)如解图，过点P作PMx轴于点M，连接BP，过点B作BNPB交直线L于点N，设抛物线的对称轴与x轴交于点Q，第6题解图来源:学科网ZXXKPBNB，PBN90，PBMNBQ90.PMB90，PBMBPM90.BPMNBQ.又PBNB，BPMNBQ.PMBQ.由(1)得yx22x3，Q(1，0)，B(3，0)BQ2，PMBQ2.点P是抛物线yx22x3上B、C之间的一个动点，且点P的纵坐标为2，将y2代入yx22x3，得2x22x3，解得x112，x212 (不合题意，舍去) 点P的坐标为(12，2)；(3)存在如解图，连接AC，B

10、C，CP，PB，过点P作PDy轴交BC于点D，图A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，SABC12346直线BC的解析式为yx3.设P(t，t22t3)，则D(t，t3)，SBPC123(t3t 22 t 3)32t292t，S四边形PBAC32t292t632 (t32)2758，当t32时，S四边形PBAC存在最大值，最大值为758.此时点P的坐标为(32，154)专题过关2（1）把A（1，0），B（3，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=2.解得a=23，b=43，c=2抛物线的解析式为y=23x2+43x+2（2）设点P的坐标为（t

11、，23t2+43t+2）A（1，0），B（3，0），AB=4S=12ABPD=124（23t2+43t+2）=43t2+83t+4（0t3）3.(1)抛物线过点A(1，0)和点B(5，0)，a-b-b=0，25a+5b-5=0.a=1，b=-4.，抛物线的函数解析式为yx24x5；(2)OBOC5，ABCOCB45以B，C，D三点为顶点的三角形要与ABC相似，必须要有一个角等于45.()当点D在点C的下方时，BCD18045135，不会出现45角，此种情况不存在；()当点D在点C的上方时，BCD45，易得BC2OB52，ABOAOB156，存在两种情况：当BCDABC时，BCABCDBC，即5

12、26CD52CD253，ODCDOC2535103D(0，103)；当DCBABC时，DCAB=CBBC，即CD65252CD6，ODCDOC651点D(0，1) 综上所述，点D的坐标为(0，1)或(0，103)时，以B，C，D为顶点的三角形与ABC相似；(3)由yx24x5，当y5时，x24x55，解得x10，x24E(4，5) CE4设H(a，a24a5) 点H是在直线CE下方抛物线上的动点，0a4.设直线BC的解析式为ykxb，把点B(5，0)，C(0，5)代入得5K+b=0，b=-5.解得k=1，b=-5.直线BC的解析式为yx5设点F(a，a5)，FHa5(a24a5)a25aCEF

13、H，S四边形CHEF12CEFH2a210a2(a52)22520a4，当a52时，四边形CHEF面积有最大值，最大值是252，此时H(52，354)4（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得a+b+3=0，9a+3b+3=0.解得a=1，b=-4.这个二次函数的解析式为y=x24x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3）设BC的解析式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得3k+b=0，b=3.解这个方程组，得k=-1，b=3.直线BC的解析是为y=x+3过点P作PEy轴，设交直线BC于点E坐标为（t，t+3）PE=t+3（t4t+3）=t2+3t

14、SBCP=SBPE+SCPE=12（t2+3t）3=32（t32）2+278320，当t=32时，SBCP最大=278（3）设M（m，m+3），N（m，m24m+3）MN=m23m，BM=2|m3|当MN=BM时，m23m=2（m3），解得m=2m23m=2（m3），解得m=2当BN=MN时，NBM=BMN=45m24m+3=0，解得m=1或m=3（舍去）；当BM=BN时，BMN=BNM=45，（m24m+3）=m+3，解得m=2或m=3（舍去）；当BMN是等腰三角形时，m的值为2，2，1，25.（1）y=mx22mx3m=m（x3）（x+1），m0，当y=0时，x1=1，x2=3A（1，0）

15、，B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A，B，C三点的坐标代入得：a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=-32.解得a=12，b=-1，c=-32.故C1：y=12x2x32如图：过点P作PQy轴，交BC于Q由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=12x32，设P（x，12x2x32），则Q（x，12x32），PQ=12x32（12x2x32）=12x2+32x，来源:Zxxk.ComSPBC=12PQOB=12（12x2+32x）3=34（x32）2+2716，当x=32时，SPBC有最大值，Smax=2716此时y=12（32）23232=158，P（32，158）；（

16、3）y=mx22mx3m=m（x1）24m，顶点M坐标（1，4m）,当x=0时，y=3mD（0，3m），B（3，0）DM2=（01）2+（3m+4m）2=m2+1，MB2=（31）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（30）2+（0+3m）2=9m2+9当BDM为Rt时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=1（m0，m=1舍去）；DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=19m2+9，解得m=22（m=22舍去）综上，m=1或22时，BDM为直角三角形1（1）把y=0代入y=12x+2得：0=1

17、2x+2，解得：x=4，A（4，0）把点A的坐标代入y=12x2+mx2得：m=32，抛物线的解析式为y=12x2+32x2（2）过点D作DHy轴，交AB于点H，设D（n，12n2+32n2），H（n，12n+2）DH=（12n+2）（12n2+32n2）=12（n+1）2+92当n=1时，DH最大，最大值为92，此时ABD面积最大，最大值为12924=9（3）把y=0代入 y=12x2+32x2，得：x2+3x4=0，解得x=1或x=4C（1,0）.设直线CQ的解析式为y=ax-a，CP的解析式为y=bx-b.则y=ax-a，y=12x2+32x2.解得x=1，y=0或x=2a-4，y=2a2-3a.xQ=2a-4.同理xP=2b-4.设直线PQ的解析式为y=kx+b，把M（4，1）代入得：y=kx+4k+1来源:学科网y=kx+4k+1，y=12x2+32x-2.x2+（32k）x8k6=0xQ+xP=2a4+2b4=2k3，xQxP=（2a4）（2b4）=8k6解得ab=12又OE=b，OF=a，OEOF=ab=12