将军饮马模型(3页).doc

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1、-将军饮马模型-第 3 页将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题 眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离 是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样 的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。 1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？ AB模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L

2、上求一点P，使得PA+PB值最小。一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 AB，AB 与直线交点即为所求点。AB即为最短距离 。理由：A为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=AP。所以 PA+PB=PA+PB。这样问题就化成了求 A到 B 的最短距离，直接相连就可以了。 例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短

3、线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ A B B A A B A BLL模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L和定点A，在直线K上找一点M，在直线L上找一点P，使得AP+PB值最小。模型三：一定点，两条定直线如图，在OAB 内有一点 P，在 OA 和 OB 各找一个点 M、N，使得PMN 周长最短（题 眼）。 一般做法：作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。连接 P1P2。P1P2 与 OA、OB 的交点即为所求点。P1P2 即为最短周长。 理由：对

4、称过后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求 P1 到 P2 的最短距离，直接相连就可以了。 模型四：两定点，两条定直线如图，点P，Q为MON内的两点，分别在OM，ON上做点A，B，是四边形PAQB的周长最小。练习题：1.如图，点P是AOB内一点，点M，N分别在OA，OB上运动，若AOB=30度，OP=4，则三角形周长的最小值为多少。2.如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ABCDMN3.如图所示，在边长为6的菱形ABCD中,DAB=600，E为AB的中点，F是ACABCDEF上一动点，则EF+BF的最小值是多少？4.如图， 中，BC4， ，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时， APD 面积最大？