大学全册高等数学知识点(全).pdf

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1、大学高等数学知识点整理大学高等数学知识点整理 公式，用法合集公式，用法合集 极限与连续极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1) 数列: *an f(n); *an 1 f(a n ) (2) 初等函数: f 1(x) x x 0 f(x) xx 0 (3) 分段函数: *F (x); *F (x);* , xxf (x)xxa 020 (4) 复合(含f)函数:yf(u), u(x) (5) 隐式(方程):F (x,y)0 xx(t) (6) 参式(数一, 二): yy(t) (7) 变限积分函数: F (x) x a f(x,t)dt (8) 级数和函数(数一, 三): S(x)

2、2. 特征(几何): a x n n 0 n,x (1) 单调性与有界性(判别); (f(x)单调 x 0 ,(xx 0 )(f(x)f(x 0 )定号) (2) 奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: yf(x)xf 二. 极限性质: 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x); *lim f(x)(含x x 0 ) 1(y)yf1(x) nxxx0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 0 ,1 , 0, 00, 0 0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: an n1,a (a0)1,(abc )max(a,b,c),

3、a00 n! nn 1 n 1 n 1 n n 1 xnlnnx1 x0,x1,lim x 0,lim(x0) , lim xx x0 exx xxln x0lim ,e x0 n 0 x , x 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当u(x)0时, sinu(x) eu(x) u(x);tanu(x)u(x);1 cosu(x) 1 2u (x); 2 1u(x);ln(1 u(x) u(x);(1 u(x)1u(x); arcsin u(x) 2. 泰勒公式: u(x);arctan u(x)u(x) 1 2xo(x2); 2! 1 22 (2)ln(1 x)xxo(x ); 2 1 3

4、4 (3)sinxxxo(x ); 3! 1 2 1 45 (4)cosx1xxo(x ); 2!4! (1) 2 (5)(1 x) 1xxo(x2). 2! (1)e1x x 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断 , 1. 抓大弃小( 01 ,1 , M (其它如: ,0,00, 0); (2) 变量代换(如:t) 0 x ), 1 1,x ) x 2. 无穷小与有界量乘积 (M)(注:sin 3.1处理(其它如:0 ,) 00 4. 左右极限(包括x): 1 1 x (1) (x0); (2)e (x );ex(x0); (3) 分段函数: x,x,max f(x) x 5. 无穷小等

5、价替换(因式中的无穷小)( 注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1) 先” 处理” , 后法则(0 xlnxxlnx 最后方法); (注意对比:lim与lim) x1x0 01x1x 2 11111 (2) 幂指型处理: u(x)v(x)ev(x)lnu(x)(如:ex 1exex(ex 1 x1) (3) 含变限积分; (4) 不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数:f(x)lim n F (x,n)( 分段函数) 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1)a n f(n) x lim f(x) (2) 双边夹: *bn a n c n ?, *b

6、 n ,c n a? (3) 单边挤: a n 1 f(a n ) *a2 a 1 ? *an M ? *f( x)0? 2. 导数定义(洛必达?):lim f x0 x f( x 0 ) 3. 积分和:lim1 n n f(1 n )f(2 n )f(n n ) 1 0 f(x)dx, 4. 中值定理: x limf(xa)f(x) a x lim f() 5. 级数和(数一三): (1) a 2nn! n 收敛liman0, ( 如lim n )(2)lim( a 1 a 2 a n )a n , n 1 nn n n n 1 (3)an与 (a n a n 1)同敛散 n 1 七. 常见

7、应用: 1. 无穷小比较(等价, 阶): *f(x) kxn,( x0)? (1)f(0) f(0)f(n 1)(0) 0,f(n)(0) af(x) a xn( a n! xn) n!x n (2) x 0 f(t)dt x 0 ktndt 2. 渐近线(含斜): (1)a lim f(x) x x ,blim x f(x) axf(x)axb (2)f(x) axb ,( 1 x 0) 3. 连续性:(1) 间断点判别(个数);(2) 分段函数连续性(附: 极限函数,f( x)连续性) 八.a,b上连续函数性质 3 1. 连通性:f( a,b) m ,M (注:01,“ 平均” 值: f(

8、a) (1)f(b)f(x 0 ) 2. 介值定理: ( 附: 达布定理) (1) 零点存在定理:f(a)f(b)0 f(x 0 )0(根的个数); (2)f(x) 0( x a f(x)dx) 0. 第二讲第二讲: :导数及应用导数及应用( (一元一元)()( 含中值定理含中值定理) ) 一. 基本概念: 1. 差商与导数:f( x)lim x0 f(x)f(x 0 )f(xx)f(x) ; f( x 0 )lim xx0 xx 0 x (1)f(0) lim x0 f(x)f(0)f(x) (注:limA(f连续)f(0) 0,f(0) A) x0 xx (2) 左右导: f (x 0 )

9、, f (x 0 ); (3) 可导与连续; (在x0处, x连续不可导;x x可导) 2. 微分与导数:ff(xx)f(x)f( x) xo( x)dff( x)dx (1) 可微可导;(2) 比较f,df与0的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注:(f(x) 2. 法则: (1) 四则运算; (2) 复合法则; (3) 反函数 三. 各类求导(方法步骤): dx1 dyy 1. 定义导: (1)f( a)与f( x) x a ; (2) 分段函数左右导; (3)lim h0 f(xh)f(xh) h F (x) xx 0 (注:f(x), 求:f( x

10、0 ),f( x)及f( x)的连续性), xxa 0 2. 初等导(公式加法则): (1)ufg(x), 求:u( x 0 )(图形题); (2)F (x) (3)y x a f(t)dt, 求:F ( x) (注:( f(x,t)dt),(f(x,t)dt),(f(t)dt) aaa xbb f 1(x) x x 0 , , 求f (x 0 ),f (x 0 )及f( x 0 ) (待定系数) f 2 (x) xx 0 4 dy d2y , 3. 隐式(f(x,y)0)导: dx dx2 (1) 存在定理; (2) 微分法(一阶微分的形式不变性). (3) 对数求导法. xx(t) dy

11、d2y , 2 4. 参式导(数一, 二):, 求:dx dx yy(t) 5. 高阶导f (e ) ax(n) (n)(x)公式: 1 (n) bnn! )a e ; ( ; abx(abx)n 1 nax (sin ax)(n)ansin( ax 2 n);(cos ax)(n)ancos( ax 2 n) (n)(n)1(n 1)2(n 2)v C n uv(uv)uvC nu 注: f(n)(0)与泰勒展式:f(x)a 0 a 1x a 2 x2a n xn f(n)(0) a n n! 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线);(区别:yf(x)上点M 0 和过点M 0 的切线)

12、2. 物理: ( 相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): f( x) ( 1f(x) 23 (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点f( x 0 )0): (1) f( x)0f(x) (2) 分段函数的单调性 (3)f( x)0零点唯一;f( x)0驻点唯一(必为极值, 最值). 2. 极值点: (1) 表格(f( x)变号); (由lim ; f( x)0f(x) ; xx0 f( x)f( x)f(x) 0,lim0,lim0 x0的特点) 2 xxxx 00 xxx (2)

13、 二阶导(f( x 0 )0) 注(1)f与f, f的匹配(f图形中包含的信息); 5 (2) 实例: 由f( x)(x)f(x)g(x)确定点“x x 0 ” 的特点. (3) 闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(f(x)0) (1) 区别: *单变量与双变量?*xa,b与xa,),x(,)? (2) 类型: *f 0,f(a)0;*f 0,f(b)0 *f0,f(a),f(b)0;*f(x) 0,f( x 0 )0,f(x 0 )0 (3) 注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: f(x)Mf max (x)M ) 4. 函数的零点个数: 单调介值

14、 六. 凹凸与拐点(必求导!): 1.y表格; (f(x 0 )0) 2. 应用: (1)泰勒估计;(2)f单调;(3) 凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论:F (b)F (a)F ()f( )0 2. 辅助函数构造实例: (1)f( ) F (x) x a f(t) dt (2)f()g( )f( )g()0F (x)f(x)g(x) (3)f()g( ) f( )g()0F (x) (4)f()( )f( )0 F (x)e 3. f(n) f(x) g(x) (x)dx f(x); ( )0f(x)有n 1个零点f(n 1)(x)有2个零点 (n)

15、4. 特例: 证明f ( )a的常规方法: 令F (x)f(x) P n (x)有n 1个零点(P n (x)待定) 5. 注: 含 1,2 时, 分家!( 柯西定理) 6. 附(达布定理):f(x)在a,b可导,cf( a),f( b),a,b, 使:f()c 八. 拉格朗日中值定理 1. 结论:f(b)f(a)f()( ba); (a)(b),()0) 6 2. 估计:ff() x 九. 泰勒公式(连接f,f, f之间的桥梁) 11 1. 结论:f(x)f(x 0 )f( x 0 )( xx 0 ) 2! f( x 0 )( xx 0 )2 3! f()( xx 3 0 ); 2. 应用:

16、 在已知f(a)或f(b)值时进行积分估计 十. 积分中值定理(附: 广义): 注: 有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲第三讲: : 一元积分学一元积分学 一. 基本概念: 1. 原函数F (x): (1)F ( x)f(x);(2)f(x)dxdF (x);(3)f(x)dxF (x) c 注(1)F (x) x a f(t)dt(连续不一定可导); (2) x(x t)f(t)dt x aa f(t)dtf(x) (f(x)连续) 2. 不定积分性质: (1)( f(x)dx) f(x);d( f(x)dx)f(x)dx (2)f( x)dxf(x) c;df(x)f(x) c 二.

17、不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性) (k 1 f(x) k 2 g(x) dxk 1 f(x)dxk 2 g(x)dx 3. 凑微法(基础): 要求巧, 简, 活(1 sin2xcos2x) 如:dx 1dx a d(axb), xdx 1dx 2 dx2, x d lnx, x 2dx x 1x2 dxd 1x2,(1 lnx)dxd(xlnx) 4. 变量代换: (1) 常用(三角代换, 根式代换, 倒代换): xsint,axbt, 1 x t,ex1t (2) 作用与引伸(化简): x21xt 7 5. 分部积分(巧用): (1) 含需求导的被积函

18、数(如lnx,arctan x, (2) “ 反对幂三指” : (3) 特别: naxx e dx, x a f(t)dt); nx lnxdx, xf(x)dx (*已知f(x)的原函数为F (x); *已知f( x)F (x) 6. 特例: (1) v(x)a 1 sinxb 1 cosx kx ; (2)快速法; (3)dxp(x)e dx, p(x)sin axdx un(x) dx asinxbcosx 三. 定积分: 1. 概念性质: (1) 积分和式(可积的必要条件: 有界, 充分条件: 连续) (2) 几何意义(面积, 对称性, 周期性, 积分中值) * (3) 附: a a

19、0 axx dx(a0) 2 8 a ;*(x a 2 b ab )dx0 2 b f(x)dxM (ba), b a f(x)g(x)dxMg(x)dx) a b (4) 定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分 (x) x a f(t)dt的处理(重点) (1)f可积连续,f连续可导 (2)( x a f(t)dt)f(x);(xt)f(t) dt)f(t)dt; aa xxx a f(x) dt(xa)f(x) (3) 由函数F (x) 3.NL公式: x a f(t)dt参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 b a f(x)dxF (b) F (a)(F

20、(x)在a,b上必须连续!) 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶),周期性 (2) 有理式, 三角式, 根式 (3) 含 b a f(t)dt的方程. 4. 变量代换: (1) b a f(x)dxf(u(t) u( t)dt a 0 a 0 a f(x)dxf(ax)dx(xat), f(x)dxf( x)dx(xt)f(x)f( x) dx (如:4 a0 aa (2) a 1 dx) 1 sinx 4 (3)I n 2 0 sinnxdx n 1 I n 2 , n 8 (4)2 0 f(sin x)dx2 0 f(cosx)dx; 0 f(sin x)dx22 0 f(sin x)d

21、x, (5) 0 xf(sin x)dx 2 0 f(sin x)dx, 5. 分部积分 (1) 准备时“ 凑常数” (2) 已知f( x)或f(x) x a 时, 求 b a f(x)dx 6. 附: 三角函数系的正交性: 22 0 sinnxdx 2 0 cosnxdx 0 sinnxcosmxdx0 22 0 sinnxsinmxdx 0 cosnxcosmxdx(nm )0 2 2 2 0 sin nxdx 0 cos2nxdx 四. 反常积分: 1. 类型: (1) a f(x)dx, a f(x)dx,f(x)dx (f(x)连续) (2) b a f(x)dx: (f(x)在xa

22、, xb, xc(acb)处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法NL公式极限(可换元与分部) 4. 特例: (1) 1 xp dx; (2) 1 1 10 xp dx 五. 应用: ( 柱体侧面积除外) 1. 面积, (1)S b a f(x) g(x) dx; (2)S d c f 1(y)dy; (3)S 1 2 2 r ( )d ;(4) 侧面积:S b a 2f(x) 1f2(x)dx 2. 体积: (1)V x b a f2(x) g2(x) dx; (2)V d 2 y f 1(y)dy2 b ca xf(x)dx (3)V x x0 与V y y0 3. 弧长:ds(

23、dx)2(dy)2 (1)y f(x),xa,bs b a 1f2(x)dx (2) xx(t) yy(t) , t t t 2 1,t2 s t x2(t)y2(t)dt 1 9 (3)rr( ), , : sr2( ) r2( )d 4. 物理(数一, 二)功, 引力, 水压力, 质心, 5. 平均值(中值定理): (1)fa,b 1 b ba a f(x)dx; xT (2)f0 )0 f(t)dt x lim x , (f以T为周期:f 0 f(t)dt T ) 第四讲第四讲: : 微分方程微分方程 一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2.

24、 变换方程: (1) 令xx(t)y Dy (如欧拉方程) (2) 令uu(x,y)yy(x,u)y(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程: 1. 形式: (1)yf(x,y);(2)M (x,y)dxN (x,y)dy0;(3)y(a) b 2. 变量分离型:yf(x)g(y) (1) 解法: dy g(y) f(x)dxG (y)F (x) C (2) “ 偏” 微分方程: z x f(x,y); 3. 一阶线性(重点):y p(x)yq(x) (1) 解法(积分因子法):M (x)e x x p(x)dx 0 y 1 M (x) x x M (x)q(x) dx

25、y 0 0 (2) 变化:x p(y)xq(y); (3) 推广: 伯努利(数一) y p(x)yq(x)y 4. 齐次方程:y (y x ) (1) 解法:u y uxu(u), du x(u) u dx x 10 (2) 特例: dya 1x b 1 yc 1 dxa 2 xb 2 yc 2 5. 全微分方程(数一):M (x,y)dxN (x,y)dy0且 NM xy dUMdxNdyUC y x cax0 6. 一阶差分方程(数三):y x 1 ay x x*nxb p(x) y x x Q (x)b 三. 二阶降阶方程 1.yf(x): yF (x) c 1x c 2 2.yf(x,

26、y): 令y p(x)y dp f(x,p) dx dp f(y,p) dy 3.yf(y,y): 令y p(y) yp 四. 高阶线性方程:a(x)y b(x)y c(x)yf(x) 1. 通解结构: (1) 齐次解: y 0 (x)c 1 y 1(x) c2 y 2 (x) (2) 非齐次特解: y(x)c 1 y 1(x) c2 y 2 (x)y*(x) 2. 常系数方程:ay by cyf(x) (1) 特征方程与特征根: abc0 (2) 非齐次特解形式确定: 待定系数;(附: f(x)ke 的算子法) (3) 由已知解反求方程. 3. 欧拉方程(数一):ax y bxy cy f(

27、x), 令xex yD (D1)y,xy Dy 五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距 2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设 2t2 ax 2 x a f(x)dxF (x), F (a)0 3. 导数定义立方程: 含双变量条件f(xy)的方程 11 4. 变化率(速度) dvd2x 5.F ma dtdt2 6. 路径无关得方程(数一): 7. 级数与方程: 2 (1) 幂级数求和;(2) 方程的幂级数解法:y a 0 a 1x a 2 x QP xy ,a 0 y(0), a 1 y(0) 8. 弹性问题(数三)

28、 第五讲第五讲: : 多元微分与二重积分多元微分与二重积分 一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)f f(x 0 x,y 0 y), x ff(x 0 x,y 0 ), y ff(x 0 ,y 0 y) (2)lim f, f x lim f x f , f y lim y xy (3)f x xf y ydf, lim fdf ( x)( y) 22 (判别可微性) 注:(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: f x (0,0) lim x0 f(x,0) f(0,0)f(0,y)f(0,0) , f y (0

29、,0) lim y0 xy 2. 特例: xy (0,0) 22 (1)f(x,y) xy :(0,0)点处可导不连续; 0, (0,0) xy (0,0) 22 (2)f(x,y)xy:(0,0)点处连续可导不可微; 0, (0,0) 二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一, 二阶偏导:zf(x,y) 注: (1) x 型;(2)zx y (x0,y0) ;(3) 含变限积分 2. 复合函数的一, 二阶偏导(重点):zfu(x,y), v(x,y) 12 熟练掌握记号f 1 , f 2 , f 11, f12 , f 22 的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1) 形式

30、: *F (x,y,z)0;* F (x,y,z)0 (存在定理) G (x,y,z)0 (2) 微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):F xdx F ydy F zdz 0 (要求: 二阶导) (3) 注:(x 0 ,y 0 )与z 0 的及时代入 (4) 会变换方程. 三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值(显式或隐式): (1) 必要条件(驻点); (2) 充分条件(判别) 2. 条件极值(拉格朗日乘数法)(注: 应用) (1) 目标函数与约束条件:zf(x,y)(x,y)0,(或: 多条件) (2) 求解步骤:L(x,y, )f(x,y)(x,y), 求驻点即可. 3. 有界闭域

31、上最值(重点). (1)z f(x,y)MD(x,y) (x,y) 0 (2) 实例: 距离问题 四. 二重积分计算: 1. 概念与性质(“ 积” 前工作): (1) d , D (2) 对称性(熟练掌握): *D域轴对称; *f奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3) “ 分块” 积分: *D D 1 D 2 ;*f(x,y)分片定义;*f(x,y)奇偶 2. 计算(化二次积分): (1) 直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D” 为主; (2) 交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): f(xy ) 22 x2y2 附:D :(x a)(yb)R ; D : 22

32、1; ab 222 双纽线(x y )a (xy )D :xy1 4. 特例: 13 222222 (1) 单变量:f(x)或f(y) (2) 利用重心重心求积分: 要求: 题型(k xk y)dxdy, 且已知D的面积S 12 D D 与重心(x,y) 5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用( 1.“ 尺寸” : (1) f(M )d: D ; D ; ;L; ; ): dS D (2) 曲面面积(除柱体侧面); 2. 质量, 重心(形心),转动惯量; 3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备. 第六讲第六讲: : 一. 级数概念 1. 定义: (1)an, (2)

33、Sn a 1 a 2 注: (1)liman; (2) n 无穷级数无穷级数( (数一数一, , 三三) ) a n ; (3)limSn(如 n n ) n 1 (n1)! qn(或 1 ); (3) “ 伸缩” 级数: (a n 1 a n )收敛a n 收敛. na 2. 性质: (1) 收敛的必要条件:liman0; n (2) 加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)s 2n s,a n 0s 2n 1 ss n s; 二. 正项级数 1. 正项级数: (1) 定义:an 0; (2) 特征: S n ;(3) 收敛 S n M (有界) lnkn11 2. 标准级

34、数: (1) p ,(2),(3) nnlnknn 3. 审敛方法: ( 注:2ab ab ,a (1) 比较法(原理):an 22lnbblna ) 1 k (估计), 如nf(x)dx; p 0 n P(n) Q (n) (2) 比值与根值: *limun 1*limnun(应用: 幂级数收敛半径计算) n u n n 三. 交错级数(含一般项): ( 1)n 1a n (an 0) 1.“ 审” 前考察: (1)an 0? (2)an 0?; (3) 绝对(条件)收敛? 14 注: 若lim a n 11, 则u n 发散 n a n 2. 标准级数: (1)( 1) n 1 11 n

35、1 1 n 1 ;(2)( 1);(3)( 1) ppnnln n , a n 0; (3) 结论: 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1) 前提: a n 发散;(2) 条件:an ( 1)n 1a n 条件收敛. 4. 补充方法: (1) 加括号后发散, 则原级数必发散;(2)s 2n s,a n 0s 2n 1 ss n s. 5. 注意事项: 对比 四. 幂级数: 1. 常见形式: (1) a n ; ( 1)a n n n ; a n ; a2 n 之间的敛散关系 a x n n ,(2) a (xx ) n0 ,(3) a (xx ) n0 2n 2. 阿贝尔定理: (1) 结论:

36、x x敛Rx*x 0 ; xx散Rx*x 0 (2) 注: 当x x条件收敛时Rxx* 3. 收敛半径, 区间, 收敛域(求和前的准备) 注(1) (2) * * na n xn, a n nx 与 a n xn同收敛半径 n 2n n0 a x n n 与 a (xx ) 之间的转换 4. 幂级数展开法: (1) 前提: 熟记公式(双向, 标明敛域) e1x 1 2 1 3xx,R 2!3! 1 xx 11 (ee ) 1x2x4,R 22!4! 1 xx 11 (ee )xx3x5,R 23!5! 1111 sinxxx3x5,Rcosx1x2x4,R; 3!5!2!4! 11 1xx2,

37、x( 1,1);1xx2,x( 1,1) 1x1x 11 ln(1 x)xx2x3,x( 1,1 23 11 ln(1 x)xx2x3,x 1,1) 23 x 15 arctan xx 1 3 1 5 3 x 5 x,x 1,1 (2) 分解:f(x)g(x) h(x)(注: 中心移动)(特别: 1 ax2bxc ,xx 0 ) (3) 考察导函数:g(x) f( x)f(x) x 0 g(x)dxf(0) (4) 考察原函数:g(x) x 0 f(x)dxf(x)g( x) 5. 幂级数求和法(注: * 先求收敛域, *变量替换): (1)S(x) , (2)S ( x),( 注意首项变化)

38、 (3)S(x) ( ), (4)S(x)S(x)的微分方程 (5) 应用: a n a n n xS(x)a n S(1). 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用(数三): (1) 复利:A(1 p)n;(2) 现值: A(1 p)n 五. 傅里叶级数(数一): (T2) 1. 傅氏级数(三角级数): S(x) a 0 2 a n cosnxb n sinnx n 1 2.Dirichlet充分条件(收敛定理): (1) 由f(x)S(x)(和函数) (2)S(x) 1 2 f(x )f(x ) a 1 3. 系数公式: a 1 0 x)dx, n f(x)cosnxdx f(,n b n

39、 1 1, 2,3, f(x)sin nxdx 4. 题型: ( 注:f(x)S(x), x?) (1)T2且f(x),x(, (分段表示) 16 (2)x(, 或x0,2 (3)x0, 正弦或余弦 *(4)x0, (T) *5.T2l a 0a n cosnxb n sinnx 6. 附产品:f(x) S(x) 2 n 1 a 0 1 a n cosnx 0 b n sinnx 0 f(x 0 )f(x 0 )S(x 0 ) 2 n 1 2 第七讲第七讲: : 一. 向量基本运算 1.k 1a k 2 b; (平行ba) 2. a ; (单位向量(方向余弦) a0 向量向量, , 偏导应用与

40、方向导偏导应用与方向导( (数一数一) ) 1 a a(cos ,cos ,cos ) a b a b 3.a b; (投影:(b) a a b a ; 垂直:a ba b0; 夹角:(a,b) ) 4.a b; (法向:n aba,b; 面积:Sa b) 二. 平面与直线 1. 平面 (1) 特征(基本量):M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )n(A,B,C ) (2) 方程(点法式): :A(xx 0 ) B(yy 0 ) C (zz 0 )0AxByCzD0 (3) 其它: *截距式 2. 直线L (1) 特征(基本量):M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )s(m,n,p) (2

41、) 方程(点向式): L : xyz 1; *三点式 abc xx 0 yy 0 zz 0 mnp (3) 一般方程(交面式): A 1x B 1 yC 1z D 1 0 A 2 xB 2 yC 2 zD 2 0 17 xa 1 (a 2 a 1)t (4) 其它: *二点式; *参数式;( 附: 线段AB的参数表示: yb 1 (b 2 b 1)t,t 0,1 ) zc 1 (c 2 c 1)t 3. 实用方法: (1) 平面束方程: : A 1x B 1 yC 1z D 1 (A 2 xB 2 yC 2 zD 2 )0 (2) 距离公式: 如点M Ax 0 By 0 Cz 0 D 0 (x

42、 0 ,y 0 )到平面的距离d A2B2C2 (3) 对称问题; (4) 投影问题. 三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面 (1) 形式:F (x,y,z)0或zf(x,y);(注: 柱面f(x,y)0) (2) 法向n (F x,Fy ,F z) (cos ,cos ,cos ) (或n ( z x, zy1) ) 2. 曲线 xx(t) (1) 形式 : yy(t), 或 F (x,y,z)0 zz(t) G (x,y,z)0 ; (2) 切向:s x( t),y( t), z( t) (或sn 1 n 2 ) 3. 应用 (1) 交线, 投影柱面与投影曲线; (2) 旋转面计算:

43、参式曲线绕坐标轴旋转; (3) 锥面计算. 四. 常用二次曲面 1. 圆柱面:x2 y2R2 2. 球面:x2 y2z2R2 变形:x2 y2R2z2,zR2(x2y2), x2y2z22az,(xx 2222 0 )(yy 0 )(zz 0 )R 18 3. 锥面:zx2y2 变形:x2y2z2,zax2y2 4. 抛物面:z x2y2, 变形: x2y2z,za(x2y2) 5. 双曲面:x2 y2z21 6. 马鞍面:z x2y2, 或zxy 五. 偏导几何应用 1. 曲面 (1) 法向:F (x,y,z) 0n(F x,Fy,Fz), 注:z f(x,y)n(f x,fy 1) (2)

44、 切平面与法线: 2. 曲线 (1) 切向: xx(t),yy(t), zz(t)s(x, y, z) (2) 切线与法平面 3. 综合: F0 G0 ,sn 1 n 2 六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l方向斜率): (1) 定义(条件):l (m ,n,p)(cos ,cos ,cos ) (2) 计算(充分条件: 可微): u l u x cosu y cosu z cos 附:zf(x,y),l0cos ,sin z l f x cosf y sin (3) 附: 2f l2 f xx cos22 f xy sin cosf 2 yy sin 2. 梯度(取得最大斜率值的方向

45、)G: 19 (1) 计算: (a)zf(x,y)Ggradz (f x,fy ); (b)uf(x,y,z)Ggradu(u x,uy,uz) (2) 结论 (a) u l G l0; (b)取lG为最大变化率方向; (c)G (M 0) 为最大方向导数值. 第八讲第八讲: : 三重积分与线面积分三重积分与线面积分( (数一数一) ) 一. 三重积分( fdV) 1.域的特征(不涉及复杂空间域): (1) 对称性(重点): 含: 关于坐标面;关于变量;关于重心 (2) 投影法:D xy (x,y)x2y2R2z 1(x,y) zz 2 (x,y) (3) 截面法:D (z) (x,y)x2y

46、2R 2(z) azb (4) 其它: 长方体, 四面体, 椭球 2.f的特征: (1) 单变量f(z), (2)f(x2 y2), (3)f(x2y2z2), (4)faxbycz d 3. 选择最适合方法: (1) “ 积” 前:* dv; *利用对称性(重点) (2) 截面法(旋转体): I b a dzfdxdy(细腰或中空,f(z),f(x2y2) D (z) (3) 投影法(直柱体): I z2(x,y) fdz D dxdy z 1(x,y) xy (4) 球坐标(球或锥体): I 2R 0 d 0 sin d 0 f( ) 2d , (5) 重心法(f axbycz d):I(

47、axbyczd) V 4. 应用问题: (1) 同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss公式 20 二. 第一类线积分(fds) L 1.“ 积” 前准备: (1)dsL;(2) 对称性;(3) 代入“L” 表达式 L 2. 计算公式: xx(t) yy(t)t a,b fds b L a f(x(t), y(t) x2(t)y2(t)dt 3. 补充说明: (1) 重心法:(axbyc)ds(axbyc)L; L (2) 与第二类互换:AdsA dr LL 4. 应用范围 (1) 第一类积分 (2) 柱体侧面积 z x,y ds L 三. 第一类面积分( fdS)

48、1.“ 积” 前工作(重点): (1) dS ; ( 代入:F (x,y,z)0) (2) 对称性(如: 字母轮换, 重心) (3) 分片 2. 计算公式: (1)z z(x,y),( x,y)D xy I,z(x,y) 1z x z y dxdy D f(x,y 22 xy (2) 与第二类互换: A ndSA dS 四: 第二类曲线积分(1): P(x,y)dxQ (x,y)dy (其中L有向) L 1. 直接计算: xx(t) yy(t), t:t t 2 1 t 2 I t Px( t) Qy ( t) dt 1 常见(1) 水平线与垂直线;(2)x2 y21 2. Green 公式:

49、 (1) PdxQdy L ( Q D x P y )dxdy; (2)* P L(A : B ) y Q y 换路径;* PQ yy 围路径 21 (3) L (Q x P y 但D内有奇点) L (变形) L* 3. 推广(路径无关性): PQ yy (1)PdxQdydu(微分方程) L(AB ) u A (道路变形原理) B (2)P(x,y)dxQ (x,y)dy与路径无关(f待定): 微分方程. L 4. 应用 功(环流量):IF dr(有向,F (P,Q ,R),drds(dx,dy,dz) 五. 第二类曲面积分: 1. 定义: 2. 计算: (1) 定向投影(单项): PdydzQdzdxRdxdy, 或R(x,y,z)dxdy (其中含侧) R(x,y,z)dxdy, 其中:zz(x,y)(特别: 水平面); 注: 垂直侧面, 双层分隔 (2) 合一投影(多项, 单层): n( z x, zy ,1) PdydzQdzdxRdxdyP( z ) Q ( z ) Rdxdy xy (3) 化第一类(不投影): n(cos ,cos ,cos ) PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos )dS 3.Gauss公式及其应用: (1) 散度计算:di