2022年高考湖北省数学试卷-理科 .pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。1若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z，则表示复数1zi的点是AE B.F C.G D.H 2设集合22,|1416xyAx y，(,)|3 xBx yy，则AB的子集的个数是A4 B3 C 2 D1 3.在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cosB=A 2 23B 223C 63D 634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是 3”为事件B,则事件

2、A，B 中至少有一件发生的概率是A 512B 12C 712D 345已知ABC和点 M 满足0MAMBMC+.若存在实数m 使得ABACAMm成立，则 m=A2 B3 C4 D5 6将参加夏令营的600 名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为003这 600 名学生分住在三个营区，从001 到 300在第营区，从 301 到 495 住在第营区，从 496 到 600 在第营区，三个营区被抽中的人数一次为A26,16,8,B25，17，8 C25，16，9 D24，17，9 7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边

3、形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前 n 个圆的面积之和，则limnns=A 22rB.832rC.42rD.62r名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A152 B.126 C.90 D.54 9.若直线 y=x+b 与曲线234yxx有公共点，则b 的取值范围是A.1,12 2B.122,12 2C.122

4、,3D.12,310.记实数1x，2x，nx中的最大数为max12,.nx xx，最小数为 min12,.nx xx。已知 ABC 的三边长位a,b,c（abc），定义它的亲倾斜度为max,.min,a b ca b clb c ab c a则“l=1”是“ABC 为等边三角形”的A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。11、在（x+43y）20的展开式中，系数为有理数的项共有_项。12.

5、已知2zxy，式中变量x，y满足约束条件,1,2,yxxyx，则z的最大值为_.13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -14某射手射击所得环数的分布列如下：7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知的期望 E=8.9，则 y 的值为.15.设 a0,b0,称2abab为 a，b的调和平均数。如图，C 为线段 AB 上的点，且AC=a，CB=b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过点C 作 AB

6、的垂线交半圆于D。连结 OD，AD，BD。过点 C 作 OD 的垂线，垂足为E。则图中线段OD 的长度是a，b 的算术平均数，线段的长度是a,b 的几何平均数，线段的长度是 a,b 的调和平均数。三、解答题：本大题共6 小题，共75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12 分）已知函数f(x)=11cos()cos(),()sin 23324xxg xx（）求函数f(x)的最小正周期；（）求函数h（x）=f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合。17（本小题满分12 分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢

7、建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=(010),35kxx若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元。设f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。（）求k 的值及 f(x)的表达式。（）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -18(本小题满分12 分)如图，在四面体ABOC 中,120OCOA OCOBAOB。,且1OAOBOC（）设为P为AC的中点，证明：在AB上存在一

8、点Q，使PQOA，并计算ABAQ的值；（）求二面角OACB的平面角的余弦值。19(本小题满分12 分)已知一条曲线C 在 y 轴右边，C 上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1.()求曲线 C 的方程；（）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FAFB?uu u ruu u r？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。n+1nn1nn+1nnn+122nn 1nnnn20.(13)3aa1aaa a0(1),b21 a1 abaanabb.21.bfxaxca,fy xxn本小题满分分（1+）2（1+）已知数列满足：，

9、数列满足：（1）.（）求数列，的通项公式；（）证明：数列中的任意三项不可能成等差数列（本小题满分 14分）已知函数（）=+（0）的图象在点（1（1）处的切线方程为=-1.()abcfxlnxa用 表示出，；（）若（）在1，+）上恒成立，求的取值范围；（）111n1ln nn232 nn证明：（+1）+（1）（+1）2010 年高考试题数学理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -（湖北卷）解析版1【答案】D【解析】观察图形可知3zi,则3211ziiii，即对应点H（2，1），故 D 正确.2【答案】A【解析】画出椭圆221416xy和指数函数3xy图象，可知

10、其有两个不同交点，记为A1、A2，则 ABI的子集应为1212,AAA A共四种，故选A.3【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sin Bo解得3sin3B，又因为ba，则BA，故 B 为锐角，所以26cos1sin3BB，故 D 正确.4【答案】C【解 析】用 间 接 法 考 虑，事 件A、B一 个 都 不 发 生 的 概 率 为451615()()()212CP ABP A P BCg则所求概率71()12P AB，故 C 正确。5【答案】B【解析】由题目条件可知，M为ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则23AMADuuuu ru uu r，因为A

11、D为中线2ABACADmAMuuu ruu u ruu u ruuu u r，即2ADmAMuu u ruuuu r,联立可得3m，故B正确。6【答案】B【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003 号，以后每隔12 个号抽到一个人，则分别是 003、015、027、039构成以 3 为首项，12 为公差的等差数列，故可分别求出在001 到 300 中有 25 人，在 301 至 495 号中共有17 人，则 496到 600 中有 8 人，所以 B 正确。7【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：cos30,(cos30)cos30,(cos30,cos30)cos30

12、,oooooor,rrr即名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -333 3rrrr248，则面积依次为：22223927rrrr41664，所以22222n339271limSlim(rr)rlim(1)r4 r344166414nnn故 C 正确.8【答案】B【解析】分类讨论：若有2 人从事司机工作，则方案有233318CA；若有 1 人从事司机工作，则方案有123343108CCA种，所以共有18+108=126 种，故 B 正确9【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为2 的半圆，依据数形结合，当

13、直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距离等于2，解得12 212 2bb或，因为是下半圆故可得122b（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故12 23,b所以 C 正确.10.【答案】A【解析】若ABC 为等边三角形时，即 a=b=c，则 max,1min,a b ca b cb c ab c a则 l=1；若ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max,min,23a b ca b cb c ab c a，此时 l=1 仍成立但 ABC 不为等边三角形,所以 A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为20204412020(

14、3)(3)(020)rrrrrrrrTCxyCxyr要使系数为有理数，则r 必为 4 的倍数，所以r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有6 项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z，当直线经过A（2，1）时，z 取到最大值，max5Z.13.【答案】4 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -【解析】设球半径为r，则由 3VVV球水柱可得33224863rrrr,解得 r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39,780.190.3108.9xyxy联合解得0.

15、4y.15.【答案】CD DE【解析】在RtADB 中 DC 为高，则由射影定理可得2CDAC CB，故 CDab，即CD 长度为 a,b 的几何平均数，将 OC=,222abababaCDabOD代入OD CEOC CD可得abCEabab故222()2()abOEOCCEab，所以 ED=OD-OE=2abab，故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数.16.本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分 12 分）解：（）1313()cos()cos()(cossin)(cossin)332222f xxxxxxx22131cos233cos211c

16、ossincos2448824xxxxx()f x的最小正周期为22（）112()()()cos2sin 2cos(2)2224h xf xg xxxx当22()4xxkkZ时，2()2h x 取得最大值.()h x取得最大值时，对应的x的集合为,8x xkkZ。17本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分 12 分）解：（）设隔热层厚度为cmx，由题设，每年能源消耗费用为()35kC xx.再由(0)8C，得40k，因此40()35C xx.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -而建造费用为1()6Cxx最后得隔热层

17、建造费用与20 年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f xC xC xxxxxx（）22400()6(35)fxx，令()0fx，即224006(35)x.解得5x，253x（舍去）.当05xpp时，()0fx p，当510 xpp时，()0fx f，故5x是()f x的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f。当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70 万元。18本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和两面角等基础知识，同事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分 12 分)解法一：（）在平面OAB内作ONOA交

18、AB于N，连接NC。又OAOC，OAONC平面NCONCQ平面，OANC。取Q为AN的中点，则PQNCP。PQOA在等腰AOBV中，120AOBo，30OABOBAo名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -在Rt AONV中，30OANo，12ONANAQ在ONBV中，1209030NOBNBOooo，.NBONAQ3ABAQ（）连接PNPO，由OCOA，OCOB知：OCOAB平面.又ONOAB，OCON又由ONOA，ONAOC平面。OP是NP在平面AOC内的射影。在等腰Rt COAV中，P为AC的中点，ACOP根据三垂线定理，知：ACNPOPN为二面角OAC

19、B的平面角在等腰Rt COAV中，1OCOA，22OP在Rt AONV中，3tan303ONOAo，Rt PONV在中，22306PNOPON。2152cos5306POOPNPN名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）则13(1,0,0),(0,0,1),(,0)22ACBPQ为AC中点，11(,0,)22P设(0,1),AQABu uu ru uu r33(,0)22ABuuu rQ。3333(1,0,0)(,0)(1,0),2222OQOAAQuuu r

20、uu u ruuu r1331(,).2222PQOQOPuuu ruu u ruu u r,PQOAQ,0PQ OAuuu r uu u r即13022，13。所以存在点13(,0)26Q使得PQOA且3ABAQ。（）记 平 面ABC的 法 向 量 为123(,)nn n n,则 由nCAuu u r，nABuuu r，且(1,0,1)CAuu u r，得1323033022nnnn，故可取3n（1,1）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -又平面OAC的法向量为(0,1,0)e。(1,3,1)(0,1,0)3cos,5 15n ep.两面角OACB的平

21、面角是锐角，记为，则15cos519.本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同事考察推理运算的能力。（满分 12 分）解：（）设(,)P x y是曲线C上任意一点，那么点(,)P x y满足：22(1)1(0)xyxx f。化简得24(0)yx x f（）设过点(,0)(0)M mm f的直线l与曲线C的交点为1122(,),(,)A x yB xy。设l的 方 程 为xtym，由24xtymyx得2440ytym，216()0tmVf.于是121244yyty ym又1122(1,),(1,)FAxyFBxyuu u ruuu r12121212120(1)(1)()

22、10FA FBxxy yx xxxy yuu u r uu u rpp又24yx，于是不等式等价于2222121212()104444yyyyy yp2212121212()1()210164y yy yyyy yp由式，不等式 等价于22614mmtp名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -对任意实数t，24t的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于2610mmp，即32 232 2mpp。由此可知，存在正数m，对于过点(,0)M m，且与曲线C有两个交点,A B的任一直线，都有0FA FBuu u r uu u rp，且m的取值范围是(32 2,32

23、 2)20 本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。（满分 13 分）解：（）由题意可知，22121(1)3nnaa令21nnca，则223nncc又212314ca，则数列nc是首项为134c，公比为23的等比数列，即13 24 3nnc，故12123 2321()14 343nnnnaa，又1102af，10nna ap故113 2(1)1()4 3nnna（）解法一：由（）知：当12a时，有()ln(1)f xx x。令12a，有11()()ln(1)2f xxx xx当1x f时，11()ln2xxxf。令1kxk，有111111ln(1)(1)21

24、21kkkkkkkkp即1 11ln(1)ln()21kkkkp，1,2,3.kn将上述n个不等式一次相加得11111ln(1)(.)2232(1)nnnp名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -整理得1111.ln(1)232(1)nnnnf解法二：用数学归纳法证明（）当1n时，左边1，右边1ln 214p，不等式成立（）假设nk时，不等式成立，就是1111.)ln(1)232(1)kkkkf那么111111.ln(1)2312(1)1kkkkkk2ln(1)2(1)kkk由（）知：当12a时，有()ln(1)f xx x令12a，有11()()ln(1)

25、2f xxx xx令21kxk，得：1212()lnln(2)ln(1)2121kkkkkkkk21ln(1)ln(2)2(1)2(2)kkkkkk11111.ln(2)2312(1)kkkkk就是说，当1nk时，不等式也成立。根据（1）和（2），可知不等式对任何nN都成立。1122132321211434343nnnnnnbaa（）用反证法证明假设数列nb存在三项,rstb b b()rst按某种顺序成等差数列，由于数列nb是首项为14，公比为23的等比数列，于是有rstbbb，则只有可能有2rstbbb成立名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -3211

26、21 2122434 34 3srt由于rst，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列nb中任意三项不可能成等差数列。21本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。（满分 14 分）解：（）2()bfxax，则有()0()1f labcflab，解得12bacla（）由（）知，1()12af xaxax，令1()()ln12lnag xf xxaxaxx，1,x则()0g l，22221(1)()11(1)()aa xxaaxxaag xaxxxx（i）当12oa，11aa若11axa，则()0gx，()g x是减函数，所以()()g xg lo()lnf xx，故()lnf xx在1,上恒不成立。（ii）12a时，1ala若()lnf xx，故当1x时，()lnf xx综上所述，所求a的取值范围为1,2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -