2022年高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数 .pdf

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1、-1-1 高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数考点一：指数与指数幂的运算一【基础知识回顾】1.方根的定义：如果一个数的n次方等于a（Nnn且,1）,那么这个数叫做，即如果axn，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根表示为，当n是偶数时，正数的n次方根有个，这时正数a的正的n次方根表示为，负的n次方根表示为，0 的方根都是 0；根式na中n叫做，a叫做 .2.根式的性质：nna)(当n是奇数时，nna=，当n是偶数时，nna=，(3)负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 .3.幂的有关概念：（1）正整数指数幂：na表示；（2）零指数幂0a=，（0a）；（3）负整数指数幂

2、：pa（Npa,0）;(4)正分数指数幂：nma（Nnma,0，且1n）；（5）负分数指数幂：nma（Nnma,0，且1n）；（6）0 的正分数指数幂等于；0 的负分数指数幂 .注意：分数指数幂不能随便约分化简，如42a不能写成21a，必须认真考查a的取值才能确定.4.幂的运算法则：Rsrba,0,0；sraa；sra)(；rba)(二【范例分析】例 1 化简：（1）338=（2）baba2=变式:化简 1.4)(4)(233233eeee例 2 化简：（1）12100=（2）341681=例 3 化简：529323210)10()8(=例 4 已知13xx，求下列各式的值：（1）1122xx

3、；（2）3322xx.考点二：指数函数及其性质一【基础知识回顾】1.指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为 .名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -2-2 2.指数函数的图象和性质：1a10a图象性质定义域值域过定点单调性在 R上是函数在 R上是函数底数越大，图像在第一象限越靠近轴底数越小，图像在第二象限越靠近轴当)0,(x时，y当),0(x时，y当)0,(x时，y当),0(x时，y3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系：)()(xgxfaa；10a时)()(xgxfaa；1a时)()(xgxfaa；二【范例分析】例 1

4、：说明下列函数的图象与xy2的图象的关系，并画出它们的示意图：12xy2-2xy例 3：比较大小：5.27.137.11.0-8.02.0-8.03.07.11.39.0例 4：求下列函数的定义域和值域：412xy22)21(xxy1212xxy例 5：函数14xay（0a，且1a）的图象一定恒过定点例 6：已知222)(xxxf，则)109()102()101(fff例 7：已知对任意Rx，不等式4222)21(21mmxxxx恒成立，求实数m的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -3-3 例 8.已知函数xxxxxf10101010)(1)证明：)

5、(xf在定义域内是增函数；（2）求函数)(xf的值域。考点三：对数及其运算一【基础知识回顾】1.对数的定义：如果a（0a且1a）的b次幂等于N，就是，那么数b叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做，N叫做。2.常用对数和自然对数：叫做常用对数，N的常用对数记作；叫做自然对数，N的自然对数记作。3.对数的运算性质：若1,0 aa，0,0 NM,则MNalog；NMalog；naMlog；naMlog4.对数的基本性质：负数和零对数；1 的对数等于0，即；底数的对数等于1，即；对数恒等式；换底公式：abbaloglognanaaabbbbnnloglog1loglog1二【范例分析】例 1:若0

6、a且1a，0yx，Nn,则下列各式中正确的有xnxanalog)(log;nanaxxlog)(log;xxaa1loglog;yxyxaaalogloglog;xnxanalog1log;naaxnxloglog;naaxnxlog1log;yxyxyxyxaaloglog变式训练：1.xxlg2lg2对吗？2.若2lglg24xx，则x。例 2：计算下列各式:1)01.0lg(10lg2lg25lg213log333558log932log2log250lg2lg)5(lg2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -4-4 例 3：设3643yx，求yx12的

7、值。例 4：若)2lg(2lglgyxyx，求yx2log的值。例 5 设xxfx81log2)(,11,xx，则满足41)(xf的x的值为。考点四：对数函数一【基础知识回顾】1.对数函数的定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是。注意：函数xyalog（oa且1a）与函数互为反函数。2.对数函数xyalog（oa且1a）的图像和性质：1a10a图象性质定义域值域过定点单调性在),0(上是函数在),0(上是函数底数越大，图像在第一象限越靠近轴底数越小，图像在第四象限越靠近轴当时，0y当时，0y当时，0y当时，0y二【范例分析】例 1：求下列函数的定义域：(1)2lo

8、g xya (2)xy21log (3)1log15xy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -5-5 例 2：7.06，67.0，6log7.0的由大到小顺序为（2）若02log2logba，则（）A.10ba B.10ab C.1ba D.1ab（3）若132loga，则a（4）已知10,10ba，且1)3(logxba，求x的范围。例 3:求函数)82(log221xxy的单调区间和值域。例 4：若函数)2lg(22axxy的值域为R，求实数a的取值范围。变式训练：若函数)2lg(22axxy的定义域为R，求实数a的取值范围。例 5：方程xx3)4(log

9、2的实数根有个例 6：已知函数)1(log)(xaaxf（oa且1a）（1）求函数)(xf的定义域；（2）当x为何值时，函数值大于1？考点五：幂函数一【基础知识回顾】1.幂函数的定义：一般地，函数叫幂函数，其中为常数，x是自变量。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -6-6 2.幂函数的性质：（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；（2）当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数，特别地，当1时，幂函数的图象在第一象限为型；越大，图像在第一象限越靠近轴，当10时，幂函数的图象在第一象限为型；越大，图像在第一象限越靠近轴（3）当0时，幂函数的图象在

10、区间上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴（4）幂函数y=x（R）的图像主要分以下几类：当=0 时，图像是过（1，1）点平行于x 轴但除去（0，1）点的一条断直线。当为正偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。当为正奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。当为负偶数时，幂函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。当为负奇数时，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过原点。当为正分数时，设为nm（m、n 是互质的正整数）。如果 m，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点

11、；当m 是偶数、n 是奇数时，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限及原点；如果m 为奇数、n 为偶数，幂函数是非奇非偶函数，图像过第一象限及原点。当为负分数时，设为-nm（m、n 是互质的正整数）。如果 m，n 都为奇数，幂函数为奇函数，图像过第一、三象限；当n 是偶数、m 是奇数时，幂函数为非奇非偶函数，图像只在第一象限；如果n 为奇数、m 为偶数，幂函数是偶函数，图像过第一、二象限。二【范例分析】例 1：下列函数是幂函数的是（）naxy（a，n为非零常数，且1a）；231xxy；xy；3)1(xyA、B、C、D、变式训练：在函数21yx、22yx、y=1、y=x2+x 中，幂函数的个数是例

12、2：比较下列两个代数式值的大小：（1）1.5(1)a，1.5a；（2）223(2)a，232变式训练：若四个幂函数yax，ybx，ycx，ydx在同一坐标系中的图象如下图，则a、b、c、d的大小关系是（）AdcbaBa bcd CdcabDabdc 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -7-7 例 3：讨论函数y=23x的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的增减性。考点六：函数的零点与二分法一【基础知识回顾】1零点定义：一般地，我们把称为函数)(xfy的零点；2零点的存在性定理：一般地，若函数)(xfy在，且，则称函数)(xfy在区间),(ba上

13、有零点；3二分法：对于在区间,ba上不间断，且)()(bfaf0 的函数)(xfy，通过不断把零点所在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点的方法。二【范例分析】例 1 根据表格中的数据，可以判断方程exx20 必有一个根在区间()x 10123 ex0.3712.787.3920.09 x212345 A.(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)变式训练：函数f(x)lnx2x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(e,3)例 2：求证：无论a取什么实数，二次函数22aaxxy都有两个零点21,xx)(21xx，并求出12xx最小时的二次函数的解析式。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -