数系扩充.pdf

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1、 j g 荨 彀 l l -|重 撼与黪并行 一再 上 数系 拧 充_ 的 体会 与惑悟 王克 亮(江苏 省射 阳县教 育局 教研 室)日前，笔者在江苏省盐城市教研员课堂教学竞赛 活动中再上 了“数系的扩充”这节课 相比文 1 ，笔者 又有 了一 些更 深 的体 会 与感悟 1 思想与文化并重 1 1 教 学定位 应 紧扣“扩充”这个 主题“数 系扩 充 的 过 程 体 现 了 数 学 的发 现 和 创 造 过 程，也体 现 了数 学 发生、发展 的 客观 需 求 教 学 中，应 突出数 系的扩 充过程 ”这 是 苏 教版 课标 教 材 教 学参 考 书所 给 的教 学 建议 众 所 周 知，

2、知 关 于 这 部分 内容 的考题 只涉及 复 数 的 相关 概 念，但作 为新 授 课，其 落 脚 点不 能仅定 位 于 此，而 应 与本 节 的标 题“数 系 的扩 充”相 匹配，即通过 本节 课 的学 习，要 让学 生 知道 以前 的数集 为什 么要 一 次 又 一 次 地 扩 充?又 是 如 何 不 断 地扩充 的?现在，实数集需要扩充 了，我们 自己可以 依 据历 史经 验类 似地进 行扩 充 1 2历史 回顾 力求简 洁而 又有 昧“让学 生通 过 回忆 以往 的学 习 历 程，了解 数 集 的 每一次 扩充，既 是 客观 实 际 的需 要，又 是 数 学 内部 发 展 的需 要”

3、这 也是 苏教 版课 标 教 材教 学 参 考 书所 给 的教学 建议 所 以，教 学 中宜 按“客 观 实 际 的需 要”和“数 学 内部 的需要”这 两条 线 对 数 的发 展 简 史 做 必 要 的回顾 当然，为 了突 出后 面 的重 点，回顾 时应 力求 简 洁且到 位，并 能激 发学 生的兴趣 本 节课，为 了紧凑起 见，在 历史 回顾 中笔者 把“数 的运算 的需要”与“解方 程 的需 要”同步 展 示；同 时还 适 当加入了点“味精”，如用计数的方式来“预测”本班 学生今后的发展情况、用实例引 出话题、顺便 提出历 史 上“O”的艰 难 出现和 第一 次数学 危机 等 教 学 片

4、断 1 教师：(将所 有 学 生 扫视 一 遍)根 据 我 的观 察，我 预测我们这个班今后将会产生 1 位科学院院士，2位 影视导演，3位知名 医生，4位公司总裁，5位县委 书 记，另 外，还 有 0个(稍 顿)害 群 之 马 请 问，这里 的 0，1，2，3，4，5，是什 么数?学生：自然 数 教师：对，人类 因为 计数 的需 要产 生 了 自然 数，形 成 了 自然 数集 但 仅 有 自然 数 是 不 够 用 的，种 种 实践 的需 要也 推动 了数 的不 断发展，这 里我 们不 妨 大致 回 顾一 下数 的发 展简史 首先 从社 会 生活 的角 度来 看 数 数 学教 学反 思，是 教

5、 师对 自己或 同行 的教 学活 动 的 回顾 思考、重 新认识、再评 价 和经 验 总结，是 教学 的 一个 重要 环节 进 行 教学 反 思 对 于提 高 教 学 质 量，提 高教 师 的 自身素 质、教 学能 力、科 研能 力意 义极 大 参 考 文 献：1 杨志文 数学教师怎样做教学研究r J 中学数学教学参 考：上旬，2 0 1 2(8)：6 7 7 0 2 章建跃 数学 教学 反思 的 内容 和方法(指导 意见)J 中 国数学教育，2 0 0 8(4)：2-4 3 刘莉 与青年 教师谈数 学课后教 学反思 I-j 中国数学教 育，2 0 0 9(1 0)：2-3 4 章建跃 课题为

6、载体，加 速教师专业 化发展“中学数 学核心概念、思想方法结构体系及其 教学设计 的理论与 实践”第八 次课题会 成果综述 J 中小学数学：中学 版，20 09(1 0)：1 4 5 章建跃“中学数学核心概 念、思想方 法结构体 系及其教 学 没计 的理论与实践”第七次课 题研讨会 成果综述 E J 中国数学教育，2 0 0 9(4)：2-4 6 曹才翰，章建 跃 中学数 学教 学概 论 M 北京：北 京师 范 大学 出版 社，2 0 0 8 中学数学教学参考 2 0 1 3年第 1 2期(上 旬)的发 展(边 说边投 影)：为 了 计数 的 需 要 自 然数 型 塑 坚分数 壁 坚负 数 竖

7、 墼 无理 数 教师：这 一 切在 今 天 看来 是 那 么 的 自然，然 而 在 数学史上，每一步的跨出都充满了艰难与曲折 比如，“O”这个 自然 数 的 出现 就 比其 他 自然数 迟 了很 多 年，而且 还有人 为之受 了酷 刑；又如，在无 理数 诞生 之 前，人们 发现 边长 为 1的正 方形 的对 角 线 长既 不 能 用 整 数来 表示，又不 能用 两 个 整 数 的 比来 表 示，从 而 引 发 了一次数学危机，甚至有人为之献出了宝贵 的生命 有 兴趣 的同学，课 后 可 以查 阅相关 的资料 问题：如果将 刚才 提 到 的 5位 县 委 书记 分 配 到 6 个县区任职，每个县

8、区一位，还剩下几位?学生：不够 分 教师：对，在 自然数集里，任意两个数做加法和乘 法 是没有 问题 的，但是 在做减 法 的时候 较 小 的数是 不 能 减去较 大 的数 的，所 以 为 了满 足 数 的运 算 的需 要，我 们必须 对数集 进行 扩充 追 问：方程+6 5的解 如何?学 生：z一一1 教师：严格地说，这个答案不够准确，因为事先没 有 规定是 在 哪个 数集 内解 这 个方 程 在 自然 数 集 内，这 个方程 是没 有解 的 所 以，我 们 又可 以认 为解 方 程 的需要 推动 了数 的不断发展 教 师：下 面我们 再从数 学 内部 的角度 来看 数 的发 展(边说 边投

9、影)：为了计数的需要 N z 满足解 z+6 5等方程的需要 满足除法的需要 满足解 3 x 2=0 等方程的需要 星!垫 竺 重 茎 R 满足解-2=0等方程的需要 追问：这 里 四个 数 集 之 间 的 关 系如何?学 生：NCZ CQcR (在学 生 回答 的 同 时，教 师 板 书 图 1)图 1 1 3 思想 提炼 才是文化 展示 之本 回顾 数 学 发展 简 史，展示 数 学 文化，不应 停 留在 呈 现 的层 面上，从 中提 炼 出相 关 的思想 才 是我们 真 正 的意 图和 目的 所 以，回顾 之 后 应 有 一个 理 性 的反 思 过程，以从 中获得 一些启 示 本节 课，

10、在 数 的发 展 简 史 回顾 之 后，笔 者 与学 生 谈学论教 共 同提 炼 了“进步性、引新 性、可 算性”这 _一个 数 系扩 充 的基 本原则，并对 其 中的可算 性做 了较 为详 细 的 阐 述，以给后 面的探究 活动做 必要 的铺垫 教 学 片断 2 教 师：现 在我 们 回头反 思 一 下数 的发 展历 程，看 能不 能从 中获得一 些启示 (1)为什 么要对 数集进 行一 次又一 次地扩 充?学生：数 集 的 每一 次 扩充，可 以解决 某 些 在 原数 集 中不 能解 决 的矛 盾 教 师：这 说 明数集 的扩充具 有“进 步性”(2)每 一 次 对 数 集 进 行 扩 充

11、 时，是 如 何 解 决 矛 盾 的?学生：新 的数集 都是 在原来 数集 的基 础上“添加”了一 种新 的数得 来的 教师：这说 明数集 的扩充具 有“引新性”(3)数 集扩 充之 后，有 没 有 影 响 到原 有 的运算 及 性质?学生：没有 教师：对，具 体地 说，将 自然 数集 扩充 到整 数集 的 时候，我们 添加 了 负数，那 么 新 引 进 的负 数 可 以与原 来 的 自然 数进行 四则 运算，而 且 原有 的加 法、乘 法 运 算 律仍然 成立；将 整数 集 扩 充 到 有理 数 集 时，新 引 进 的分 数 可以与 原来 的整 数进 行 四则 运 算，而 且 加法、乘法运算

12、律仍然成立 那么，将有理数集扩充到实数 集 的时候，你们 能类似 地表述 一下 吗?学 生：新 引进 的无 理数 可以与 原来 的有 理 数进 行 四则运算，而且 原有 的加法、乘 法 的运算律 仍然成 立 教 师：很好!也 就是说，数集 的每 一次 扩 充，新 添 加的数可以与原有的数进行 四则运算，且进行 四则运 算 时，原 有 的加 法、乘 法运算 律仍 然成 立 这 说 明数 集 的扩充 具有“可 算性”教 师：综 上所述，“进 步性”“引 新 性”和“可算 性”可 以看 成是数 集扩 充时应遵 循 的三个基本 原则 1 4结课之 时宜对 思想再 度提升 思 想 是 一节 课 的灵 魂

13、，应 贯 穿 于一 节 课 的始 终，所 以在 课堂 小结 时还应再 度强化 与提升 本 节课，笔者在 结课 时再提 了数 系 的扩 充这个 中 心话题，以激 发学 生进一 步学 习的兴趣 与欲望 教学 片断 3 教师：也 许有 同学 会 问，复 数 系 够用 了 吗?还 要 不要冉 扩充?那 么，我 只能 回答 说 目前 的确 有一 些数 学 家正在研 究这 个 问题，比如，有 人提 出 了建 立 超 复 i 字论教?*数系的设想 但可以明确 的是，在我们 中学 阶段，复数 系已经 够用 了 随着 学 习 与 研 究 的深 入，也许 哪一 天 你 们会 发现新 的矛 盾，那 么 受 本 节课

14、 的启 发，只要 遵 循 数系 扩充 的基本 原则，相信 到那 时你 们 自己也 能试 着 对数 系进行 扩 充 了 2 探究与体验并行 2 1 找准合 适 的探究切 入点 普通高 中数学课程标 准(实验)指出：“学生的 数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高 中数学 课程 还应 倡导 自主探 究、动手 实 践、合 作 交 流、阅读 自学等 学 习数学 的方式 ”所 以 在教 学过 程 中，我 们应尽 量设 置一 些探 究活 动，使 学生 的学 习过程 成 为 在教师引导下的“再创造”过程 但抽象的思考往往会 使学生感到无从下手，所以课堂探究活动必须依赖于 直 观 的载体作 为 探究

15、 的切入 点 本 节课，笔 者选用 的探究 的切 人 点是 几 个无 解 的 一元二 次方 程 教 学 片断 4 教 师：回到 刚 才解 方 程 的话 题，数 集 扩 充 到 实数 集 后，是不是 对所 有 的方程都 有解 了呢?学 生：不 对 教 师：大家 印象最 深而 且最 有感 情 的应 当是 一元二次方程 了 现在，请每位 同学在草稿纸上写出 一个在 实数 范 围内无解 的一 元二 次方程 (教 师挑选 了三名学 生 所写 的方 程：3 5。-F 1 0，z 一2 x+5 0，2 x -F z+2 0，并 写在 黑板 上)教 师：请 大 家验 证 一 下，这 三个 方 程 在 实 数集

16、 里 是 不是 都没有 解 啊?学 生：对 教 师：新 的 矛盾 出现 了，说 明实 数集 也不 够 用 了，如何 解决?学 生：再对 实数 集进 行扩 充 教 师：那 么如 何 再 对 实数 集 进 行 合 理地 扩 充 呢?这是 我们 这节 课要研 究 的核心 问 题 通 常 我们 把 一个 数集 连 同相应 的运算 及结 构 叫做一 个数 系，所 以我 们 今 天所要 研究 的课题 是 数 系 的扩充(板书课 题)2 2 确 定给 力的探 究着 力点 学生是探究的主体，让绝大多数学生能参与进来 的探 究才 是真 正 的探 究 所 以问题 的设 计要 从 保护 学 生 的积极 性与 提升学

17、 生 的信心 人 手，不 能 刚 开始 就一 棍 子把学 生打 蒙 为 此，需 要 教 师确 定 好 探 究 的着 力 点 笔者认为，探究伊始宜从体验开始，让学生在体验 中找感 觉，并 逐步感 悟 到其 中的道理 本 节课，笔者 确定 的探究 着力 点是 求 解上 述几 个 无 解 的一元 二次 方 程，这 一 点 所有 学 生 都 很 熟 悉，人 人都 能上手 教 学 片断 5 教师：现在我们把 目光聚焦在这三个一元二次方 程 上 问题 1 试 着求 解 这几 个 方 程，你 能 找 到 它们 在 实数集 里算 不下 去 的原 因吗?学生：它们 都可 以转化 为一 个平 方等 于 负数 的形

18、 式(学 生说 的 同时，教 师板 书，略)教 师：因 为在 实 数 范 围 内负 数 是不 能 开 平方 的，所 以算不下 去 了，根源 找到 了，就 容 易对症 下 药 了 也 就是 说，要 想这 些 方 程也 有 解，只要 负 数 有 平 方根 就 行 了 但负数 有无 数多 个，这 不便 于 我们解 决 问题，于 是我 们想 到 了基 本 的负数“一1”问题 2 这 些方 程都能 转化 为(X)一一1 这 个基 本 的形式 吗?学生：略 教师：由此我们知道，不管右边是什么负数，只要 把它的绝对值除到左边去，然后再放到括号里，最终 都可 以化 归为(X)一一1这个基 本 的形式 追 问：

19、由此，你 发现要 想 这些 方程都 有解，最 终可 归结 为要求 哪一 个方程 有解?学生：方 程 一一 1 问题 3 如果想要方程 z 一一1也有解，你打算 怎么 办?学生：引进一 个新 数 教 师：很 好!大 数 学 家 欧拉 也 是 这 么 想 的，他 把 这个数 记 为 i，该 字母 源 自英 文单 词“i ma g i n a r y”的第 一个字 母，是“假 想 的、虚 构 的”意 思，在 数 学 里，我 们 称 之 为虚数单 位 2 3突 出切 题 的探究 核心点 学 生 的探 究 活动应 围绕一 节 课 的核 心 内容展 开，即通过 问题 的引导，要让 学生 自己能够 建 构

20、出相关 的 概 念或 结论 “数系的扩充”这节课 的核心内容 是实数系的扩 充，所 以本节 课 上，笔者 设 置 的核 心探 究 点是 下 面 的 问题 4 教 学片 断 6 问题 4根 据数 系扩 充 的原 则，你 认 为 应该 给 i 9 参 _ 5 棼 2 0 1 3 年 第1-2期(上 甸)做 哪些合 理 的规 定?(先 个人思 考，然 后再 相互交 流)学生：为 了达 到 进步 性，应 规定：i 一 一1；为 了保 持可算性，应规定：实数可以与 i 进行 四则运算，而且 进 行 四则运算 时，原 有的加 法、乘 法运算 律仍 然成立 教 师：看来 科学 院院士 非你莫 属!(板 书：

21、虚数单 位及规 定，略)问题 5引入 虚 数 单 位 i 后，你 能 写 出 上 述 每个 方程 的一个根 吗?(略)教 师：也 许有 同学 会提 出这 样 的疑 问，这 些 方程 还有别 的根 吗?随 着学 习的深 入，我 们 会解 决 这个 问 题 的 问题 6这些根 可统一 写成 什么样 的形式?学生：n+b i(a，b R)教师：很好!这 些 数都 由两 个 部 分 复合 而 成，一 部分是实数，另一部分是实数与虚数单位 i 的乘积，所 以我们 就给它们 取一 个很形 象 的名字 复数 (板 书：复数 的定 义与表 示，略)2 4挖掘 隐含 的探 究活力 点 有 时，一个 不起 眼 的

22、内容也 能激 发起 学生 的探究 热 情，增 强课堂 的探究 活力，这 需 要 教 师 一方 面要 更 新 自己的教学 理念，同 时，也要 善 于挖 掘 这样 的探 究 活 力点 本 节课，对 于复 数 的分 类，笔 者 并 没有 直 接 告诉 学生，而是让 学生根 据复 数 的代 数形 式 写 出一些 复数 来，然后 再从 中进行 归类 事实 上，这 需 要 多名学 生不 断补 充才能 完善 所 以不 经 意 间，一 个课 堂 小 高 潮 就 出现 了 教学 片断 7 教师：根据 复数 的代 数形 式，你能 写 出一些 复 数 吗?(先请两位学生 到黑板上板书，然后再请其他 的 学 生补充，

23、学生 兴趣 盎 然 经 过 几 名 学 生 自告 奋 勇 的 板 演，才 把几种 类型 的复数 写全)教师：请大家看看复数可分为哪几类?学 生：第 一 类 是 虚 部 为 零，此 时它就 是 实数；第 二 类 是 虚 部 不 为 零，这 里又 包 括 实部 为 零 和 实 部不 为零 两种类 型 (板书：复 数 的 分类 与 复 数集，略)图 2 谈学 论教 问：复数集 与实数 集之 间的关 系是什 么?学 生：RCC (板 书：在 图 1中加 上 复数集，如图 2所示)3 相信学生，了解学 生 赛课 的前 一天，笔者 曾在教 室外 为要 不要 布置 学 生预 习纠结 了近 半个 小 时 如果

24、 不 预 习，担 心有 些 问 题 学生 可能答 不 出来，会 影 响教 学 的顺 利开 展；如 果 预习了，问题的探究价值将会 明显降低，课堂的真实 性 会大 打折扣 最 终，笔 者 还 是决 定 废 掉 已经 印好 的 预习讲义，努力上一堂原生态的探究课 实践表明，学 生的表 现远 远超 出笔者 的想象，每个 问题都 探究 得很 到位，所 以我 们有充 分 的理 由要 相信学 生 其实，上述 担心也 并非 空穴 来风 赛前，笔 者根 据 文 1 中的教学设计进行试上时，发现不仅课堂严重 超 时，而且 有些 问题 学 生 根 本 就答 不 出来 后 来 经 过 认 真反思，发现 失败 的根

25、源还 是 自己的教学 设计 未 能 切合 学生 的实 际，因为 以前授课 的是 四星级 高 中 的好 班，而这 次面 向的 是 基础 中等 的 三 星级 高 中 的学 生 所以决定通过先行体验、降低难度和增设铺垫等手段 来解 决这 个矛盾 比如，发现 大多 数学 生对“这 几个 方 程 在实数 集里没 有解 的根源 是什 么”这个 问题 不知 所 措，就将 其改成 了体 验性 问题“试 着 求解 这几 个方 程，你能发现它们在实数集里算 不下去 的原因吗”；发现 很 多学 生对“要想 这 几 个方 程 都 有 解，最 终 可 归结 为 要求哪 一个 方程 有 解”这 个 问题 一 筹 莫 展，

26、就 降低 了 其难度，改 为“这 些方 程 都 能 转化 为(X)=一1这 个 基本 的形式 吗?由此，你 发 现 要 想 这些 方 程都 有 解，最终 可归结 为要 求 哪 一个 方 程 有解”；又 发 现 学 生不 能具 体说 出“i 的可算 性”这 个 合 理规 定 时，就 在 历 史 回顾 中对其 做 了详 细 的隐性提 示，等等 如 此，保 证 了 所设 置 的问题与 学生 的认 知水 平相 匹配，都 在 学生 的 最 近发展 区 内，这才使 得探究 活动 得 以顺 利进行 所以在相信学生 的同时，教师更要 充分 了解学 生，顺应 学生 参考 文献：1 王克亮 问题与案例，设想与设计：数 系的扩充 竞赛课 的听后反思E J 数学通报，2 0 1 0(1 1)：2 7 3 0 2 单蝉，李善 良，等 配苏教版 普通高 中课程 标准实验教 科 书高中数学教 学参 考书：选修 2-2 M 南 京：凤凰 出版 传媒集团，2 0 0 8 3 中华人民共和国教育部 普通高 中数 学课 程标准(实 验)E M 北京：人民教育 出版社，2 0 0 3