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1、19.7相似三角形的应用目的:利用相似三角形的性质解决实际问题中考基础知识 通过证明三角形相似 线段成比例备考例题指导 例1如图,P是ABC的BC边上的一个动点,且四边形ADPE是平行四边形 (1)求证:DBPEPC; (2)当P点在什么位置时,SADPE=SABC,说明理由 分析:(1) 证明两个三角形相似,常用方法是证明两个角对应相等,题目中有ADPE平行线角相等,命题得证 (2)设=x,则=1-x,ADPEDPAC, EPAB, BDPBAC CPECBA =()2=(1-x)2,=()2=x2 =x2+(1-x)2 SADPE=SABC,即= x2+(1-x)2=(转化为含x的方程)
2、x=, = 即P应为BC之中点 例2已知ABC中,ACB=90,过点C作CDAB于D,且AD=m,BD=n,AC2:BC2=2:1,又关于x的方程x2-2(n-1)x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192,求m,n为整数时,一次函数y=mx+n的解析式 分析:这是一个几何、代数综合题,由条件发现,建立关于m,n的方程或不等式,求出m,n再写出一次函数 抓条件:AC2:BC2=2:1做文章(转化到m,n上) 双直角图形有相似形比例式(方程) ACB=90,CDAB RtBCDRtBAC BC2=BDBA,同理有AC2=ADAB, =m=2n 抓条件:x1+x2=8(n-1),x1x2=
3、4(m2-12) 由(x1-x2)2192 配方 (x1+x2)2-4x1x2192 64(n-1)2-16(m2-12)192, 4n2-m2-8n+4 又由0得4(n-1)2-4(m2-12)0, 代入上式得n2 由n,n2得n2 n为整数,n=1,2 m=2,4 y=2x+1,或y=4x+2 遇根与系数关系题目则用韦达定理,但必须考虑0备考巩固练习1如图,在ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c关于x的一元二次方程x2-2b(a+)x+(a+b)2=0的两根之和与两根之积相等,D为AB上一点,DEAC交BC于E,EFAB,垂足是F (1)求证:ABC是直角三角形;(2)若BF=6,F
4、D=4,CE=CD,求CE的长2某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m,20m的梯形空地上,种植花木如图1 (1)他们在AMD和BMC地带上种植太阳花,单价为8元/m2,当AMD地带种满花后,共花了160元,请计算种满BMC地带所需的费用 (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2和10元/m2,应选择种哪种花木,刚好用完后筹集的资金?(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图2),请你设计一个花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得APDBPC且SAPD=SBPC,并说出你的理由3(1)如图1,在梯形ABCD中,ABCD,AB=b
5、,CD=a,E为AD边上的任意一点,EFAB,且EF交于点F,某学生在研究这一问题时,发现如下事实:当=1时,有EF=;当=2时,有EF=;当=3时,有EF=当=k时,参照上述研究结论,请你猜想用k表示DE的一般结论,并给出证明; (2)现有一块直角梯形田地ABCD(如图2所示),其中ABCD,ADAB,AB=310m, DC=120cm,AD=70m,若要将这块分割成两块,由两位农户来承包,要求这两块地均为直角梯形,且它们的面积相等,请你给出具体分割方案 (1) (2)答案:1(1)由x1+x2=x1x2 得2b(a+)=(a+b)2 2ab+c2=a2+b2+2ab ABC是直角三角形 c
6、2=a2+b2 (2)易证EFDEDB,EF2=DFDB=40设CE=x,则CD=x, DE=(x)2-x2=40x=42(1)四边形ABCD是梯形(见图) ADBC, MAD=MCB, MDA=MBC, AMDCMB,=()2= 种植AMD地带花带160元 =2(m2) SOMB=80(m2) BMC地带的花费为808=640(元) (2)设AMD的高为h1,BMC的高为h2,梯形ABCD的高为h SAMD=10h2=20 h1=4= h2=8 S梯形ABCD=(AD+BC)h=3012=180 SAMB + SDMC =180-20-80=80(m2) 160+160+8012=1760(
7、元)又:160+640+8010=1600(元)应种值茉莉花刚好用完所筹集的资金 (3)点P在AD、BC的中垂线上(如图), 此时,PA=PD,PB=PCAB=DC APBDPC 设APD的高为x,则BPC高为(12-x), SAPD =10x=5x, SBPC =20(12-x)=10(12-x) 当SAPD =SBPC即5x=10(12-x)=8 当点P在AD、BC的中垂线上且与AD的距离为8cm时,SAPD =SBPC3解:(1)猜想得:EF= 证明:过点E作BC的平行线交AB于G,交CD的延长线于H ABCD, AGEDHE, 又EFABCD, CH=EF=GB,DH=EF-a,AG=b-EF, =k,可得EF= (2)在AD上取一点EFAB交BC于点F,设=k,则EF=,DE=, 若S梯形DCFE=S梯形ABFE,则S梯形ABCD=2S梯形DCFE 梯形ABCD、DCEF为直角梯形70=2(170+),化简得12k2-7k-12=0,解得k1=,k2=-(舍去) DP=40,所以只需在AD上取点E,使DE=40m,作EFAB(或EFDA),即可将梯形分成两个直角梯形,且它们的面积相等