第9讲 解析几何小题（解析版）.pdf

《第9讲 解析几何小题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第9讲 解析几何小题（解析版）.pdf（23页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第 9 讲讲 解析几何小题解析几何小题 一、多选题 1 （2021全国高三专题练习）已知 12 ,F F分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点，P为椭圆上 任意一点(不在x轴上)， 12 PFF外接圆的圆心为H， 12 PFF内切圆的圆心为I，直线PI交x轴于点 ,M O为坐标原点.则（） APH PO 的最小值为 2 2 a BPH PO 的最小值为 2 4 a C椭圆C的离心率等于 PI IM D椭圆C的离心率等于 IM PI 【答案】AD 【分析】 由题意得外心H在 y 轴上，设0,Hx，P m n,， 1 ,0Fc ，则由 1 HPHF得 222 2mnnxc

2、 ， 求出 222 2 mnc x n ，得PH PO ，再设cos ,sinmanb，得 22 mn 222 coscb ，可判断 AB；因为 12 ,IF IF为 1221 ,PFFPF F的角平分线，得 12 12 IMFMF M PIPFPF 可判断 CD. 【详解】 由题意得外心H满足 21 HFHF，所以H必在 y 轴上， 设0,Hx，P m n,， 1 ,0Fc ， 则由 1 HPHF得 2 222 mnxxc，即 222 2mnnxc ， 所以 222 2 mnc x n ，所以 222 0, 2 mnc H n ， 所以 222 , 2 mnc PHm n ，,POmn ，

3、所以 222222 2 22 mncmnc PH POm ， 因为P在椭圆上，设cos ,sinmanb， 所以 22 222222 cossincos1 cosmnabab 2222222 coscosabbcb， 当cos0时，有 222 min mnb ，所以 PH PO 的最小值为 222 22 bca ， 故 A 正确，B 错误； 连接 12 ,IF IF， 则 12 ,IF IF分别为 1221 ,PFFPF F的角平分线， 由角平分线定理可知， 12 12 IMFMF M PIPFPF ， 则 12 12 2 2 IMFMF Mc e PIPFPFa ，故 D 正确，C 错误.

4、故选：AD. 【点睛】 本题考查了椭圆的定义以及几何性质，解题关键点是明确外心的位置和内角平分线性质，考查了推理能力、 运算求解能力. 2 （2021山东高三专题练习）已知双曲线 22 :1 63 xy C的左、右两个焦点分别为 12 FF、，直线 (0)ykx k与 C 交于A B、两点，AEx轴，垂足为 E，直线BE与 C 的另一个交点为 P，则下列结论正 确的是（） A四边形 12 AFBF为平行四边形B 12 90FPF C直线BE的斜率为 2 k D90PAB 【答案】AC 【分析】 利用,A B关于原点对称，可判断 A，利用k趋近于 0 时P点的位置，得出 12 FPF大于90，从

5、而判断 B设 00 (,)A xy，计算斜率 BE k可判断 C，由三角形外角定理得90APB，从而可判断 D 【详解】 双曲线C关于原点对称，又直线y kx 过原点，所以,A B关于原点对称， 由 12 ,OAOB OFOF得四边形 12 AFBF为平行四边形，A 正确； 当0k ，P点趋近于右顶点，此时 12 FPF趋近于平角，因此不可能有 12 90FPF，B 错 设 00 (,)A xy，则 00 (,)Bxy，由AEx轴知 0 0(, )E x， 0 0 k y x ， 而 00 000 0()1 ()22 BE yy kk xxx ，C 正确； APB中，90APBAEBAEO，因

6、此90PAB，D 错； 故选：AC 【点睛】 思路点睛：本题考查双曲线的对称性，解题关键是得出,A B关于原点对称，则设 00 (,)A xy后就可得出,B E 坐标，斜率的关系随之可得，利用平面几何知识判断 AD，利用k趋近于 0 的变化趋势得出P点变化趋势， 从而得出 12 FPF的变化趋势 3（2021广东深圳市高三一模） 设 1 F、 2 F分别是双曲线 22 :1 xy C mnmn 的左、 右焦点， 且 12 4FF ， 则下列结论正确的有（） A2m B当0n 时，C 的离心率是 2 C 1 F到渐近线的距离随着 n 的增大而减小D当1n 时，C 的实轴长是虚轴长的两倍 【答案】

7、AC 【分析】 由已知条件值2c ，根据 2 amn ， 2 bmn ， 222 cab，可计算m的值，进而可判断选项 A； 直接计算 2 2 c e a 可判断选项 B；计算 1 F到渐近线的距离用n表示，即可判断选项 C；当1n 时求出, a b 得值，可得2 ,2ab的关系可判断选项 D，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项 A：由双曲线的方程可得 2 amn ， 2 bmn ， 所以 222 2cabmnmnm ， 因为24c ，所以2c ， 所以 2 24cm ，可得：2m ，故选项 A 正确； 对于选项 B：当0n 时，双曲线 22 :1 22 xy C，此时 22 2ab ，

8、2 4c ， 所以离心率 2 2 2 c e a ，故选项 B 不正确； 对于选项 C： 22 :1 xy C mnmn 中，由选项 A 知：2m ， 2 2an ， 2 2bn ，的渐近线方程为 b yx a ， 不妨取焦点 1 2,0F ，则 1 F到渐近线的距离 2 2 4 b dbn ， 所以 1 F到渐近线的距离随着 n 的增大而减小，故选项 C 正确； 对于选项 D：当1n 时， 2 13a ， 2 11b ， 所以实轴长为2 3，虚轴长为2，不满足 C 的实轴长是虚轴长的两倍，故选项 D 不正确； 故选：AC 【点睛】 关键点点睛： 本题解题的关键点是由已知条件得出 2 amn

9、， 2 bmn ， 再利用双曲线的性质可求, a b， 关键点是准确记忆双曲线中的概念，焦点到渐近线的距离等于b. 4 （2021广东韶关市高三一模）设P是椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点， 1 F， 2 F是椭圆的左右焦点， 焦距为20c c ，若 12 FPF是直角，则（） AOPc(O为原点)B 12 2 F PF Sb C 12 FPF的内切圆半径racD 1max PFac 【答案】ABC 【分析】 对于 A，由直角三角形的性质可判断；对于 B，由 12 FPF是直角，所以 12 12 1 2 F PF SPF PF ，再结合椭 圆的定义可求出三角形的面积； 对于 C

10、， 利用面积法可求出 12 FPF的内切圆半径， 对于 D， 当 1 PFac 时，P， 1 F， 2 F不构成三角形， 【详解】 12 Rt FPF中，O为斜边 12 FF的中点，所以 12 1 2 FFOPc，故 A 正确； 设 1 PFm， 2 PFn，则有 2 22 2mnc，2mna，所以 2 222 1 2 2 mnmnmnb ，所以 12 2 1 2 F PF Smnb ，故 B 正确. 12 2 1 2 2 F PF Smncrb ， 12 2 2 F PF S r mnc 22 2 2 2 222() ac b acac ac ，故 C 正确； 1 PFac当且仅当P为椭圆右

11、顶点，此时P， 1 F， 2 F不构成三角形，故 D 错误. 故选：ABC 5 （2021广东梅州市高三一模）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（） A设A、B为两个定点，k为非零常数，PAPBk ，则动点P的轨迹为双曲线 B设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若 1 2 OPOAOB ，则动点P的轨迹为椭圆 C方程 2 2520 xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D双曲线 22 1 259 xy 与椭圆 2 2 1 35 x y有相同的焦点 【答案】CD 【分析】 根据双曲线的定义可判断 A 选项的正误；根据直角三角形的几何性质可判断 B 选项的正误；求出方程 2 25

12、20 xx 的两根，结合椭圆和双曲线离心率的取值范围可判断 C 选项的正误；求出双曲线与椭圆的 焦点坐标，可判断 D 选项的正误. 【详解】 对于 A 选项，若动点P的轨迹为双曲线，则PAPBAB ，即kAB ， 但k与AB 的大小关系未知，A 选项错误； 对于 B 选项，由 1 2 OPOAOB 可得 11 22 OPOAOAOBOAOBOA ， 可得 1 2 APAB ，所以，点P为线段AB的中点， 如下图所示： 当AB为圆C的一条直径时，P与C重合； 当AB不是圆C的直径时，由垂径定理可得CPAB， 设AC的中点为M，由直角三角形的几何性质可得 1 2 PMAC（定值） ， 所以，点P的

13、轨迹为圆，B 选项错误； 对于 C 选项，解方程 2 2520 xx ，可得 1 1 2 x ， 2 2x ， 所以，方程 2 2520 xx 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，C 选项正确； 对于 D 选项，双曲线 22 1 259 xy 的焦距为2 2592 34，焦点坐标为 34,0， 椭圆 2 2 1 35 x y的焦距为2 35 12 34 ，焦点坐标为 34,0，D 选项正确. 故选：CD. 【点睛】 方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法： （1）直接法：根据题设条件直接列出方程； （2）定义法：根据圆的定义写出方程； （3）几何法：利用圆的性质列方程； （4）代入法

14、：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 6 （2021全国高三专题练习）已知 O 为坐标原点， 12 ,F F分别为双曲线 22 22 100 xy ab ab ，的左、 右焦点，点 P 在双曲线右支上，则下列结论正确的有（） A若 2 POPF，则双曲线的离心率2e B若 2 POFV是面积为 3的正三角形，则 2 2 3b C若 2 A为双曲线的右顶点， 2 PFx轴，则 222 F AF P D若射线 2 F P与双曲线的一条渐近线交于点 Q，则 12 2QFQFa 【答案】AB 【分析】 对选项A， 由题意列式得 2 c a， 即可求得2e； 对选项B， 利用等边三角形的性

15、质求解得2c ， 3 1a =- ， 即可得 2 2 3b ；对选项 C，可得 2 222 , b F Aca F P a ，即可判断 222 F AF P，对选项 D，举出反 例即可判断. 【详解】 由题意， 对于选项 A， 因为 2 POPF， 所以 2 OF的中垂线 2 x c 与双曲线有交点， 即有 2 c a， 解得2e， 故选项 A 正确；对于选项 B，因为 221 2PFOFOFc，解得 1 2 3PF ，所以 12 31 2 PFPF a，所以 222 2 3bca ，故选项 B 正确；对于选项 C，由题意可得 2 222 , b F Aca F P a 显然不等，故选项 C

16、错误； 对于选项 D，若P为右顶点时，则Q为坐标原点，此时 12 00)的焦点为 F，点 M 是 C 上的一点，M 到直线 y=2p 的距离是 M 到 C 的准线距离的 2 倍，且MF|=6，则 p=（） A4B6C8D10 【答案】A 【分析】 利用已知条件结合抛物线的定义求解即可 【详解】 设 00 ,M xy，则 0 0 26 2 6 2 py p y ，解得4p 故选：A 9 （2021全国高三专题练习（文） ）已知椭圆 22 22 xy ab 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直 线交椭圆 C 于 A，B 两点，若 2 BA BF =0，且BF2|，|AB|，|A

17、F2|成等差数列，则 C 的离心率为（） A 2 2 B 3 2 C 3 3 D 1 2 【答案】A 【分析】 由向量知识得出 2 90ABF，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出 2ac ，最后由离心 率公式得出答案. 【详解】 因为 2 BA BF ，所以 2 90ABF 由BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设 22 ,|,2BFx ABxd AFxd 在 2 RtABF 中， 222 ()(2 )xxdxd，解得3xd 即 22 3 ,| 4 ,5BFdABd AFd 由椭圆的定义得 2 ABF的周长为 1212 224BFBFAFAFaaa 即3454 ,3ddda a

18、d 在直角三角形 12 BFF中， 21 BFaBF， 12 2FFc，则 222 (2 )aac，故 2ac 即 2 2 c e a 故选：A 【点睛】 关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出 , a c的齐次方程，进而得 出离心率. 10 （2021全国高三专题练习）O为坐标原点，F为抛物线 2 :4 2C yx的焦点，P为C上一点， 若 4 2PF ，则POF的面积为 A2B2 2C2 3D4 【答案】C 【详解】 设 P(xP,yP)(yP0)由抛物线定义知,xP+ 2=42, xP=3 2,yP=4 23 2 =2 6, 因此 SPOF= 1 2 2

19、 62=23.故选 C. 11（2021江苏常州市高三一模） 过抛物线 2 2yx上一点 P 作圆 2 2 61Cxy：的切线， 切点为,A B， 则当四边形PACB的面积最小时，P 点的坐标是（） A(1,2)B 3 , 3 2 C(2,2)D 5 , 5 2 【答案】C 【分析】 利用点在抛物线上设出 P 点的坐标，求出点 P 到圆心C的距离，对函数求导得出最小值，即四边形PACB 的面积最小值，进而可得此时的 P 点的坐标 【详解】 由题意可设 2 1 2 Paa ，当四边形PACB的面积最小时，点 P 到圆心(0,6)C的距离最小，即 2 2 2242 11 61236 24 PCaa

20、aaa ，可令 42 1 1236 4 f aaaa，则 32 212226faaaaaa，则 ( ) 0fa =时，2a ，此时取得最小值，四边形PACB的 面积为 2 22 1 211262119 2 PC ，所以2,2P 故选：C 12 （2021江苏盐城市）设 12 ,F F分别为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左右焦点，圆 1 F与双曲线的 渐近线相切，过 2 F与圆 1 F相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角的 正切值为（） A 8 15 B 3 C 4 3 D1 【答案】C 【分析】 采用数形结合，根据 1 cosAOF 2 cos

21、COF，可得2 b a ，然后根据到角公式简单计算可得结果. 【详解】 根据题意作出图形， 如图 一条渐近线l的方程为 b yx a ，即0bxay 点 1 ,0Fc 到l的距离为 1 22 bc AFb ba 所以 2222 11 OAOFAFcba 由题知： 1 1 cos OAa AOF OFc 又 2 BF与圆 1 F相切，且 2 BFl，所以可知C为 2 BF的中点 故 2 b OC ，则 2 2 cos 2 OCb COF OFc 又 1 cosAOF 2 cosCOF，所以 2 ab cc 所以 2( 2)4 2,tan 12( 2)3 b a ， 故选：C. 13 （2021河

22、南高三月考（理） ）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为 F，P 为 C 在第一象限上一点，若PF的 中点到 y 轴的距离为 3，则直线PF的斜率为（） A 2 B2 2C2D4 【答案】B 【分析】 由PF的中点到 y 轴的距离为 3 可求得4 P x ，得出点P坐标，即可求出斜率. 【详解】 PF的中点到 y 轴的距离为 3， 3 2 P xOF ，即 2 3 2 P x ，解得4 P x ， 代入抛物线方程可得(4,4 2)P， 因为 F 点的坐标为(2,0)，所以直线PF的斜率为 4 20 2 2 42 故选：B. 14 （2021全国高三专题练习（文） ）设 12 ,F F是双曲线

23、22 :1 48 xy C的两个焦点，O 为坐标原点，点P在 C 的左支上，且 11 2 3 | OF OPFP OP OPOP ，则 12 PFF的面积为（） A8B8 3C4D4 3 【答案】A 【分析】 根据已知条件可以求出2 3OP ，由双曲线的 12 4 3FF 可得点P在以 12 FF为直径的圆上，利用 12 PFF时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出 12 PF PF，再由三角形的面积公式即可 求解. 【详解】 由 11 11 2 3 | OFFPOP OF OPFP OPOP OP OP OPOPOPOP ， 不妨设 1 2 3,0F ， 2 2 3,0F， 所以

24、 12 1 | 2 OPFF，所以点P在以 12 FF为直径的圆上， 即 12 PFF是以P为直角顶点的直角三角形， 故 222 1212 PFPFFF，即 22 12 48PFPF 又 12 24PFPFa， 所以 222 12121212 16|2482PFPFPFPFPF PFPF PF， 解得： 12 16PF PF ， 所以 1 2 12 1 8 2 PF F SPF PF 故选：A 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件分析出 12 PFF是直角三角形，再利用勾股定理和双曲线 的定义求出 12 PF PF的值. 15 （2021全国高三专题练习（文） ）已知椭圆 22

25、 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 F，上顶点为 A，右顶 点为 B， 若OABOAF，的平分线分别交 x 轴于点D E， 且 222 |2 | |ADAEDEADAE， 则椭圆 C 的离心率为（） A 2 2 B 31 2 C 51 2 D 3 2 【答案】C 【分析】 由余弦定理求出DAE，即可得到BAF，即ABAF，从而 0AB AF ，即可得到方程，解得即可； 【详解】 解：如下图所示： 因为 222 |2 | |ADAEDEADAE，所以由余弦定理得 222 22 222 ADAEDEADAE ADAEADAE ，又0, 2 DAE ，所以45DAE因为,AD AE分

26、 别为OABOAF，的平分线，所以290BAFDAE ，所以ABAF由题意可知，点 (,0),(0, ),( ,0)FcAb B a，则 (,),( ,)AFcbABab 由 2 0AF ABacb ，可得 22 0acac ，即 22 0caca ，在等式 22 0caca 的两边同 时除以 2 a，可得 2 10ee ，解得 51 2 e 或 51 2 e 因为01e，所以 51 2 e 故选：C 三、填空题 16 （2021广东汕头市高三一模）写一个焦点在y轴上且离心率为 3的双曲线方程_ 【答案】 2 2 1 2 x y （答案不唯一，符合要求就可以） 【分析】 取 3c ，可求得a、

27、b的值，结合双曲线的焦点位置可得出结果. 【详解】 取 3c ，则3 c e a ，可得1a ， 22 2bca ， 因此，符合条件的双曲线方程为 2 2 1 2 x y . 故答案为： 2 2 1 2 x y （答案不唯一，符合要求就可以）. 17 （2021山东高三专题练习）设 F 为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，过 F 作倾斜角为60的直线交 C 于 A，B 两点，若| 4AFBF，则|AB _. 【答案】8 【分析】 由抛物线的定义可得 1212 ()()4 22 pp AFBFxxxx， 设直线AB的方程为3() 2 p yx， 然后直线方程与椭圆方程联立成方程组，消去

28、y得 22 3 350 4 xpxp，再由根与系数的关系可得 2 1212 51 , 34 xxp x xp，结合前面的式子可求出p的值，从而可得答案 【详解】 解：设 1122 ( ,), (,)A x yB xy（ 12 0,0 xx） ，则 1212 ()()4 22 pp AFBFxxxx， 直线AB的方程为3() 2 p yx， 由 2 3() 2 2 p yx ypx ，得 22 3 350 4 xpxp， 所以 2 1212 51 , 34 xxp x xp， 所以 22 22 121212 16 44 9 xxxxx xp， 因为0p ，所以3p ， 所以 12 8 |8 3

29、ABxxpp， 故答案为：8 18 （2021广东广州市高三一模）已知圆 22 (1)4xy与双曲线 22 22 :1 xy C ab 的两条渐近线相交于四 个点，按顺时针排列依次记为,M N P Q，且| 2|MNPQ，则C的离心率为_. 【答案】 2 6 3 【分析】 由对称性知,M N关于x轴对称，,P Q关于x轴对称，设 b k a 得渐近线方程，设 11 ( ,)M x kx， 22 (,)P x kx， 由| 2|MNPQ可得 12 2xx ，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得 1212 ,xx x x，结合 12 2xx 可求得k，从而可得离心率 【详解】 设 b k a

30、， 渐近线方程是ykx ， 如图， 由对称性可设 11 ( ,)M x kx， 11 ( ,)N xkx， 22 (,)P x kx， 22 (,)Q xkx， 则 1 2MNkx， 2 2PQkx ，所以 12 22 ( 2)kxkx ， 12 2xx ， 由 22 (1)4 ykx xy ，得 22 (1)230kxx， 12 2 2 1 xx k ， 12 2 3 1 x x k ， 代入得 2 2 2 1 x k ， 1 2 4 1 x k ，代入得 222 83 (1)1kk ，解得 2 8 1 3 k， 所以 2 2 2 6 11 3 cb ek aa 故答案为： 2 6 3 【点

31、睛】 关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出渐近线的斜率，为此设渐近线方程为y kx ，设 出圆与双曲线的四个交点的坐标，渐近线方程代入圆方程后应用韦达定理得 1212 ,xx x x，由已知弦长关系 可得 12 2xx ，从而结合后可求得 b k a 19 （2021广东韶关市高三一模）若曲线 2 1: 0Cyaxa与曲线 2: x Cye存在公共切线，则a的取值 范围为_ 【答案】 2 , 4 e 【解析】 解：由 y=ax2(a0),得 y=2ax， 由 y=ex,得 y=ex， 曲线 C1:y=ax2(a0)与曲线 C2:y=ex存在公共切线， 设公切线与曲线 C1切于点

32、(x1,ax12),与曲线 C2切于点 2 2, x x e ， 则 2 2 2 1 1 21 2 x x eax axe xx ， 可得 2x2=x1+2， 1 1 2 1 2 x e a x ， 记 1 2 2 x e f x x ，则 1 2 2 2 4 x ex fx x ， 当 x(0,2)时,f(x)0,f(x)递增 当 x=2 时, 2 min 4 e f x. a 的范围是 2 , 4 e . 20 （2020上海市三林中学高二月考）抛物线 2 2yx的焦点坐标为_. 【答案】 1 0, 8 【分析】 先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 2 2xpy的焦点坐标为(0,)

33、 2 p ，求出物线 2 2yx的焦点 坐标 【详解】 解：在抛物线 2 2yx，即 2 1 2 xy， 1 4 p， 1 28 p ，焦点坐标是 1 (0, ) 8 ， 故答案为： 1 0, 8 【点睛】 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，用到抛物线 2 2xpy的焦点坐标(0,) 2 p 21 （2021全国高三专题练习（理） ）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线 2 1 2yp x与 2 2 2xp y在第一 象限的交点为 A，若OA的斜率为 2，则 2 1 p p _. 【答案】 1 8 【分析】 根据直线OA的斜率，可得点A的坐标，然后代入抛物线方程简单计算即可. 【详解】

34、设,A x y， 由 2 1 1 2 2 y yp x x p y ， 2 2 2 2 2 xy xp y px 则 2 1 12 4 2 2 2 OA xp px k ypyp ，故得 21 ,4App 代入抛物线得 2 2 112 1 1 24 8 p ppp p . 故答案为： 1 8 22 （2021辽宁铁岭市高三一模）已知双曲线与椭圆 22 1 166 xy 有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为 1 3 yx ，则此双曲线方程为_. 【答案】 2 2 1 9 x y 【分析】 求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，有c的值，渐近线方程得 b a 1 3 ，利用 222 abc可解得 ,

35、 a b得 双曲线方程 【详解】 由题意椭圆焦点为(10,0)， 10c ， 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab ( 0,0ab)，则 1 3 b a ，由 222 1 3 10 b a abc ，解得 3 1 a b 双曲线方程为 2 2 1 9 x y 故答案为： 2 2 1 9 x y 【点睛】 易错点睛： 本题考查是椭圆与双曲线的综合问题， 解题中要注意椭圆有 222 abc ， 双曲线中 222 abc， 两者关系不相同，不能混淆否则易出错 23 （2021全国高二单元测试） 在平面直角坐标系xOy中， 点0, 3A， 若圆 22 :21Cxaya 上存在一点M满足2MAMO

36、，则实数a的取值范围是_ 【答案】0,3 【分析】 设点M的坐标为, x y， 根据2MAMO可得点M的轨迹方程为 2 2 14xy， 然后将问题转化为 两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果 【详解】 由题意得圆 22 :21Cxaya的圆心为,2a a，半径为 1 设点M的坐标为, x y， 2MAMO， 2 222 32xyxy ， 整理得 2 2 14xy， 故点M的轨迹是以0,1为圆心，2 为半径的圆 由题意得圆C和点 M 的轨迹有公共点， 2 2 133aa ， 解得03a 实数a的取值范围是0,3 【点睛】 本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得

37、到点 M 的轨迹方程，然后将问题转化为两 圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果 24 （2021辽宁沈阳市高三一模）已知抛物线 2 4xy，点, 2 ,1,1M tt ，过M作抛物线的两条切 线,MA MB，其中,A B为切点，直线AB与y轴交于点,P则 PA PB 的取值范围是_ 【答案】 1 ,2 2 【分析】 先用导数求出切线,MA MB的方程，分析得直线AB的方程为42txy ，求出0,2P，表示出 PA PB ， 用“设而不求法”表示出 1212 2 ,8xxt x x ，从而求出 1 2 PAx PBx 的范围. 【详解】 设切点 1122 ,A x yB x y

38、，由抛物线 2 11 , 42 yxyx， 切线 11 :22MA x xyy， 同理切线 22 :22MB x xyy， 又点M是两条切线的交点，所以 1122 24,24xtyx ty. 所以直线AB的方程为42txy ，即2 2 tx y . 此直线恒过0,2P，则 2 1 2 2 2 2 1 11 1 22 2 2 222 2 2 + 2 + +2 +2 x xyP P tx x Ax Bx xty x . 2 2 2 4 tx y xy ，消去y，得 2 280 xtx ， 1212 2 ,8xxt x x ， 2 2 12 12 1221 2 2 xxxxt x xxx . 1,1t 2 1 ,0 22 t ，即 12 21 1 20 2 xx xx ， 令 1 2 x m x ，则 11 20 2 m m ， 即 11 2 2 1 20 m m m m ，解得 1 2 2 m ， 1 2 1 2, 2 x x ， 即 1 2 1 ,2 2 x Bx PA P . 故答案为： 1 ,2 2 . 【点睛】 在研究直线与抛物线的位置关系要注意： （1）可以用导数求切线，有时可以简化运算； （2）“设而不求法”是研究直线与二次曲线相交的一般方法.