最全面数学初中二年级上册期末知识点总结归纳及常考题型2021.docx

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1、精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成数学八年级上册知识点汇总及常考题型第一章全等三角形【 知识结构框图 】命题、公理与定理（ S AS）全等三角形地判定（ A SA）（ A AS）三角（ S SS）形全 等 地 判直角三角形全等地判定（ H L）作线段尺规作图作角作角 平分线作垂线作垂 直平 分 线逆命题与逆定理【 知识点 】一、定义及表示1、定义能够完全重合地两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形为相似三角形中相似比为1： 1 地特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合地顶点叫做对应顶点，互相重合地边叫做对应边，互相重合地角叫做对应角。 由此，可以得出：全等三角形地对应边相等，

2、对应角相等。(1)全等三角形对应角所对地边为对应边，两个对应角所夹地边为对应边；(2)全等三角形对应边所对地角为对应角，两条对应边所夹地角为对应角；(3)(4)(5)有公共边地，公共边一定为对应边；有公共角地，角一定为对应角； 有对顶角地，对顶角一定为对应角；第 1 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成2、表示全等用“”表示，ABC DEF读作“全等于”。如：ABC全等于 DEF， 写作：注意：若 ABC DEF，点A 地对应点为点D，点 B 地对应点为点E，点 C地对应点为点F二、判定定理1、三组对应边分别相等地两个三角形全等这一条也说明了三角形具有稳定性地原因。2、

3、有两边及其夹角对应相等地两个三角形全等3、有两角及其夹边对应相等地两个三角形全等 由 3 可推到( 简称 SSS或“边边边” ) ，(SAS 或“边角边” ) 。(ASA 或“角边角” ) 。4、有两角及其一角地对边对应相等地两个三角形全等边”)(AAS 或“角角5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等地两个直角三角形全等 (HL 或“斜边，直角边” )所以， SSS,SAS,ASA,AAS,HL 均为判定三角形全等地定理。注意：再全等地判定中，没有AAA角角角与SSA(特例：直角三角形为HL，属于 SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形地形状。A 为英文角地缩写(angle)

4、， S 为英文边地缩写(side)。H为英文斜边地缩写（Hypotenuse ）， L 为英文直角边地缩写（leg）。6. 三条中线（或高、角分线）分别对应相等地两个三角形全等。三、性质三角形全等地条件：1、全等三角形地对应角相等。2、全等三角形地对应边相等3、全等三角形地对应顶点相等。4、全等三角形地对应边上地高对应相等。5、全等三角形地对应角平分线相等。6、全等三角形地对应中线相等。7、全等三角形面积相等。8、全等三角形周长相等。9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等地方法：1、三边对应相等地两个三角形全等。（SSS)2、两边与它们地夹角对应相等地两个三角形全等。3、两角与它们地夹边对应

5、相等地两个三角形全等。(SAS)(ASA)第 2 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成4、有两角及其一角地对边对应相等地两个三角形全等（5、斜边与一条直角边对应相等地两个直角三角形全等。【 运用 】1、性质中三角形全等为条件，结论为对应角、对应边相等。 地判定却刚好相反。AAS）(HL)而全等2、利用性质与判定，学会准确地找出两个全等三角形中地对应边与对应角为关键。再写两个三角形全等时，一定把对应地顶点，角、边地顺序 写一致，为找对应边，角提供方便。3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。4、用再实际中， 一般我们用全等三角形测相等地距离。可

6、以用于工业与军事。以及相等地角，5、三角形具有一定地稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。【 做题技巧 】一般来说考试中线段与角相等需要证明全等。思维地方式。来想要证全等，则需要什么条件因此我们可以采取逆向， 要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边地三角形全等。然后把所得地等式运用（ AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。 分析完毕以后要注意书写格式，再全等三角形中，如果格式不写好那么就 容易出现看漏地现象。【 例题分析 】例 1：（2006浙江金华）如图， ABC与ABD中， AD与 BC相交于O 点，1=2，请你添加一个条

7、件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使AC=BD，并给出证明.分析：要说明AC=BD，根据图形想到先说明ABC BAD，题目中已经知道 1 2，AB AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可.解：添加地条件为：BC=AD.证明：再 ABC 与BAD中， 1 2，AB AB， A=A ABC BAD（ AC=BD.SAS） .第 3 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成小结：本题考查了全等三角形地判定与性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：BC=AD， C=D， CAD=DBC， CAB=DBA，都可得 CAB DBA，从而有例 2 （2006攀枝花

8、）如图，点AC=BD.E 再 AB上， AC=AD，请你添加一个条件，使图中存再全等三角形，并给予证明.C所添条件为 .你得到地一对全等三角形为：EAB 证明： .D分析：再已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边地夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形.解：所添条件为CE=ED. 得到地一对全等三角形为CAE DAE.证明：再 CAE 与DAE中， AC=AD， AE=AE， CE=DE，所以CAE DAE（SSS） .小结：本题属于条件与结论同时开放地一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们地发散思维，值得重视.例 3.(2008年永州 )

9、下列命题为假命题地为（）A两点之间，线段最短B过不再同一直线上地三点有且只有一个圆C一组对应边相等地两个等边三角形全等 D对角线相等地四边形为矩形答案 :D解析 : 考查假命题地判定 . 一般判定假命题采用对比定义或举反例. 随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分地四边形来例 4具备下列条件地两个三角形，全等地为 A两个角分别相等，且有一边相等 B一边相等，且这边上地高也相等 C两边分别相等，且这两边地夹角也相等 D两边且其中一条对应边地对角对应相等, 所以 D为假命题 .知识点扫描 : 全等三角形地判定 .注意对应！题目解析 : A 项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角

10、分别相等，但大三角形地短边=小三角形地长边 .B 项高地位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等.C 项两边及夹角相等，由全等公理可以得到D 项 SSA 不能判定全等 .故选 C.第 4 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成例 5. 再 ABC与 A B C中 , A+ B= C, B+C=A ,且b-a=b -c,b+a=b +c,则这两个三角形 ()(A) 不一定全等(C)根据“ SAS”全等(B) 不全等(D)根据“ ASA ”全等题目解析 : A+ B=C, B+C=A , C=A=90.又 b-a=b-c ,b+a=b +c，两式相加，得则 ABCCB

11、 A (SAS) 故选 Cb=b，则 a=c.例 6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示地残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格地三角形玻璃并说明理由题目解析 : 全等三角形地实际应用问题，要测量地条件必须为可以证明三角形全等地 . 所以测量 A， B 地度数与线段 AB 地长度，用 ASA 得全等 .解:测量 A，B 地度数与线段 AB 地长度，做 A=A，AB=ABB=B，则 ABC与原三角形全等，据ASA 定理例 7如图，已知点 A ，F，E，C 再同一直线上， AF=CE，BEDF ，BE=DF求证： ABCD知识点扫描 :全等三角形地判定、性质. 平行线地

12、判定 .题目解析 : 从图形来看，为一个典型地全等图形.所以想到由全等得到等角，再从等角推出两线平行 .但为注意：再证 AEB CFD 中，不要错误地把AF 与CE 当成了这两个三角形地对应边 其实，AE 与 CF 才为这两个三角形地对应边证明： AF=CE，A、F、E、C 共线， AE=CF.BEDF， AEB =CFD.AFAEB BECECFD DF再 AEB 与CFD中， AEB CFD， A= C， A BCD.例 8如图， ACB=90 ，AC=BC ，D 为 AB 上一点， AECD 于 交 CD 地延长线于 F求证： BF=CEE，BF DC第 5 页，共 44 页精品资料积极

13、向上，探索自己本身价值，学业有成知识点扫描 :全等三角形地判定及性质.与同角互余地两角相等.题目解析 : 这个图形也为很典型地全等三角形图形. 所以考虑证 ACECBF（ AAS ），从而由全等性质得到： BF=CE.证全等用 AAS ，直角相等，与 AC=BC都为显见地，再找一角：到.EAC= FCB，这一相等由同角（ ACE）地余角相等得证明： AECF， ECACAE=90又 BCA=90， BCF ECA=ECACAE BCF=CAE AECF， AEC=90BFCF， BFC=90又 AC=BC ， BCF CAE BF=CE例 9已知：如图， ABC 与 ADE 为有公共顶点地等腰

14、三角形求证：（1）BD=CE；（ 2） 1=2.题目解析 : 图形复杂，要再复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了. 找全等要充分利用等边直角三角形地等边与直角条件. 证 EACDAB.证明： BAC= EAD=90 ， BAC+ DAC= EAD+ DAC. 即 BAD=EAC.又 AE=AD,AB=AC, EAC DAB, BD=CE, 1=2.例 10.如图，再 ABC 中， C 为直角， A=30，分别以AB 、AC 为边再ABC 地外侧作正 ABE 与正 ACD ，DE 与 AB 交于 F，求证： EF=FD.题目解析 : 构造全等三角形，过E 作 EGAB于 G.证明 EFG DF

15、A即可 .（AAS） .证明：过 E 作 EG AB 于 G.则 AEG=30.再 AEG 与ABC 中，AE=AB ， AEG=CAB=30， BCA=EGA=90， EAG ABC，EG=AC=AD.又再 ADF 与GEF 中， AD=GE ， AFD= GFE，DAF= EGF=90 ADF GEF， DF=EF.例 11如图，再 ABC 中， AB=AC，DE 为过点 A 地直线， BDDE 于 D，CEDE 于 E（1）若 BC 再 DE 地同侧（如图）且AD=CE，求证： BAAC（2）若 BC 再 DE 地两侧（如图）其他条件不变， 问 AB 与 AC 仍垂直吗？若为请予证明，若

16、不为请说明理由第 6 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成题目解析 : 直接证明垂直无路，要“曲线救国” ，设法证明 DAB+ EAC=90，这还为不能直接达到，注意到DAB 与EAC 所再三角形均为直角三角形，所以再转化一下：证 DAB= ACE，这由全等不难得到 .第二问方法与第一问类似，故不赘述.ABADCACE证明：（1）再 RtABD 与 RtCAE 中， ABD CAE（HL ）， DAB=ACE又 ACE+CAE=90， DAB+CAE=90 BAC=90， AB 与 AC 垂直（2）成立证明同上例 12. (2008 年湘潭 )（本题满分 6 分）如图，

17、四边形 ABCD为矩形， E为 AB上一点，且 DE=AB，DC过 C作 CFDE，垂足为F.（1）猜想： AD与 CF地大小关系；（2）请证明上面地结论 .FB解：（ 1） ADCF AE（ 2）四边形 ABCD 为矩形，AEDFDC ,DEABCD又CFDE,CFDA90 ,ADE FCDADCF解析 : 考查矩形地性质及直角三角形全等地判定. 猜想AD与 CF地关系 , 可以分析AD,CF 所再地两个三角形ADE与三角形FCD地关系 . 由条件可归纳得 : A=0CFD=90, AED=FDC,DE=AB=CD可,证 ADE FCD,从而 AD=CF.【 练习 】：1、（2008 年泰州

18、市） 27再矩形 ABCD 中， AB=2，AD=3 （ 1）再边 CD 上找一点 E，使 EB 平分 AEC，并加以说明；（3 分）（ 2）若 P 为 BC 边上一点，且 BP=2CP，连接 EP 并延长交 AB 地延长线于 F求证：点 B 平分线段 AF；（3 分）第 7 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成 PAE 能否由 PFB 绕 P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由（4 分）2、（2008 年南京市） 21（ 6 分）如图，再矩形ABCD 中，AE，F 为 BC 上两点，D且 BECF ， AFDE 求证：（1）

19、ABF DCE ；（ 2）四边形 ABCD 为矩形BCEF3、（ 2008 福建福州）如图，再等腰梯形ABCD 中， AD BC ， M为 AD 地中点，求证： MBMC 4、（ 2008 年遵义市）如图， OAOB，OCOD ，50 ，35 ，则AECOOD等于（）A 60B 50BAC 45D 30EDC5、（2008 年遵义市） 22（10点，一块三角板地直角顶点与点分）再矩形ABCD 中，AD2 AB ， E 为 AD 地中E 重合， 将三角板绕点 E 按顺时针方向旋转 当三角板地两直角边与AB，BC 分别交于点 M，N 时，观察或测量BM与 CN 地长A度，你能得到什么结论？并证明你

20、地结论6、 （2008 年郴州市）如图， ABC 为等腰三角形，把它沿底边 BC 翻折后，得到 DBC请你判断四边形地形状，并说出你地理由ABDCCBADP7(2008 年双柏县 ) 如图，点 P 再 AOB 地平分线上，O若使 AOP BOP ，则需添加地一个条件为B（只写一个即可，不添加辅助线） ：8（2008 年荆州市）如图，矩形ABCD 中，点 E 为 BC 上一点， AEAD ，DFAE于 F，连结 DE，求证： DFDC第 8 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成ADFCBE9（ 2008 年龙岩市）如图，再边长为4 地等边三角形 ABC 中，AD 为 BC

21、 边上地高，点 E、 F 为 AD 上地两点，则图中阴影部分地面积为（）A4B 3C2D 333310（.2008 年沈阳市）如图所示，正方形 ABCD 中，点 E 为 CD 边上一点，连接AE ，D交对角线BD 于点 F，连接 CF，则图中全等三角形共有A（）FA 1 对B2 对C3 对D4 对ECB11.（2008 苏州）如图，四边形 ABCD 地对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，12 ，3求证：4 （1） ABC ADC ；（2） BODO 12（.2008 无锡）已知一个三角形地两条边长分别为1cm 与 2cm，一个内角为40 （ 1）请你借助图 1 画出一个满足题设条件地三角形

22、；（ 2）你为否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画地三角形不全等地三角形？若能，请你再图地右边用“尺规作图”作出所有这样地三角形；若不能， 请说明理由（ 3）如果将题设条件改为“三角形地两条边长分别为3cm 与 4cm，一个内角为彼此不全等地三角形共有40 ”，那么满足这一条件，且个友情提醒：请再你画地图中标出已知角地度数与已知边地长度 ,“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹A第 9 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成13.(2008 年西宁市 23)如图，一块三角形模具地阴影部分已破损（ 1）只要从残留地模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留地模具片到

23、店铺加工一块与原来地模具ABC 地形状与大小完全相同地模具A B C ？请简要说明理由14.（2008 年广东湛江市 23）如图 7 所示，已知等腰梯形ABCD 中， ADBC， AB=DC，AC 与 BD 相交于点 O请 再图中找出一对全等地三角形，并加以证明ADO15.（2008 年重庆市）已知：如图，再梯形ABCD 中，BCADBC， BC=DC，CF 平分 BCD，DFAB ，BF地延长线交 DC 于点 E。 求证：（1） BFC DFC；（ 2） AD=DEDAEFCB16、（ 2008 年宜宾市）已知DO: 如图 ,AD=BC,AC=BD求.证 :OD=OCDCCOAABB17.

24、（ 2008 年泰安市）两个大小不同地等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，DC 图 2 为由它抽象出地几何图形，B，C，E 再同一条直线上，连结DABEC图 2图 1（ 1）请找出图 2 中地全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识地字母）；（ 2）证明： DCBE F18. （ 2008 年聊城市）如图，矩形ABCD 中， O 为AC 与 BD 地交点，过 O 点地直线 EF 与 AB， CD 地DA延长线分别交于E， F OBCE第 10 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成（ 1）求证： BOE DOF ；（ 2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以

25、 为顶点地四边形为菱形？证明你地结论A， E， C，F第二章轴对称【 知识结构框图 】【 知识点 】如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁地部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就为它地对称轴有地轴对称图形地对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴轴对称一、1.轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴， 折叠后重合地点为对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称2. 图形轴对称地性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴为任何一对对应点所连线段地垂直平分线；轴对称图形地对称轴为任何一对对应点所连线

26、段地垂直平分线3.轴对称与轴对称图形地区别轴对称为指两个图形之间地形状与位置关系，?成轴对称地两个图形为全等形；轴对称图形为一个具有特殊形状地图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形为全等形，并且成轴对称第 11 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成4.线段地垂直平分线（ 1）经过线段地中点并且垂直于这条线段地直线， 线（或线段地中垂线） 叫做这条线段地垂直平分（ 2）线段地垂直平分线上地点与这条线段两个端点地距离相等；反过来， 与一条线段两个端点距离相等地点再这条线段地垂直平分线上因此线段地垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等地所有点地集合二、轴对称

27、变换1.轴对称变换由一个平面图形得到它地轴对称图形叫做轴对称变换?成轴对称地两个图形中地任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到2.轴对称变换地性质（ 1）经过轴对称变换得到地图形与原图形地形状、大小完全一样（ 2）经过轴对称变换得到地图形上地每一点都为原图形上地某一点关于对称 轴地对称点（3）连接任意一对对应点地线段被对称轴垂直平分3.作一个图形关于某条直线地轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点地对称点（2）按原图形地连接方式连接所得到地对称点，即得到原图形地轴对称图 形三、用坐标表示轴对称1.关于坐标轴对称点 P（ x， y）关于 x 轴对称地点地坐标为（点 P（ x， y）关于

28、 y 轴对称地点地坐标为（2.关于原点对称 点 P（ x， y）关于原点对称地点地坐标为（3.关于坐标轴夹角平分线对称x，-y）-x，y）-x，-y）点 P（x ，y）关于第一、 三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称地点地坐标为 （y，x）点 P（ x， y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线（- y，- x）4.关于平行于坐标轴地直线对称点 P（ x， y）关于直线 x=m 对称地点地坐标为（y= - x 对称地点地坐标为2m-x， y）；点 P（ x， y）关于直线 y=n 对称地点地坐标为（ x，2n-y）；四、等腰三角形1.等腰三角形有两条边相等地三角形为等腰三角形相等地两条边叫做腰， 另

29、一条边叫做底边两腰所夹地角叫做顶角，腰与底边地夹角叫做底角2.等腰三角形地性质第 12 页，共 44 页精品资料积极向上，探索自己本身价值，学业有成性质 1：等腰三角形地两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形地顶角平分线、底边上地中线、底边上地高互相重合特别地：（1）等腰三角形为轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上地中线、角平分线、高线对应相等3.等腰三角形地判定定理.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对地边也相等（简写成 “等角对等边”）特别地：（ 1）有一边上地角平分线、中线、高线互相重合地三角形为等腰三角形（ 2）有两边上地角平分线对应相等地三角形为等腰三角形（ 3）有两边上地中线对应相等地三角形为等腰三角形（ 4）有两边上地高线对应相等地三角形为等腰三角形4.利用“三角形奠基法”作图根据已知条件先作出一个与所求图形相关地三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求地三角形.五、等边三角形1.等边