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新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 1 第一章 函数、极限、连续第一章 函数、极限、连续 1.1 函数函数 (甲)内容要点 一、函数的概念 1.函数的定义 设 D 是一个非空的实数集,如果有一个对应规划 f,对每一个xD,都能对应惟一的 一个实数 y,则这个对应规划 f 称为定义在 D 上的一个函数,记为 yfx,称 x 为函数的自 变量,y 为函数的因变量或函数值,D 称为函数的定义域,并把实数集 | ,Zy yf x xD 称为函数的值域。 2.分段函数 如果自变量在定义域内不同的值, 函数不能用同一个表达式表示, 而要用两上或两个以 上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。 例如 2 11 xx yf xxx xx 是一个分段函数,它有两个分段点,x1 和 x1,它们两侧的函数表达式不同,因此讨 论函数 yfx在分段点处的极限、连续、导数等问题时,必须分别先讨论左、右极限,左、 右连续性和左、右导数。需要强调分段函数一般不是初等函数,不能用初等函数在定义域 内皆连续这个定理。 3.隐函数 形如 yfx的函数称为显函数,由方程 F(x,y)0 确定的 yyx称为隐函数,有些隐 函数可以化为显函数(不一定是一个单值函数) ,而有些隐函数则不能化为显函数。 4.反函数 如果 yfx可以解出 xy是一个函数(单值) ,则称它为 fx的反函数,记以 1 xfy 。有时也用 1 yfx 表示。 二、基本初等函数 1.常值函数 yC(常数) 2.幂函数 yx( 常数) 3.指数函数 x ya(a0,a1 常数) x ye(e2.7182,无理数) 4.对数函数 logayx(a0,a1 常数) 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 2 常用对数 10 loglgyxx 自然对数 logln e yxx 5.三角函数 sin ;cos ;tan ;yx yx yxcot ;sec ;csc .yx yx yx 6.反三角函数 arcsin ;arccos ;yx yxarctan ;arccot .yx yx 基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要,影响深远。例如以后经常会用 lim arctan x x ;lim arctan x x ; 1 0 lim x x e ; 1 0 lim x x e ; 0 lim ln x x 等等, 就需要对arctanyx, x ye,lnyx的图像很清晰。 三、复合函数与初等函数 1.复合函数 设 yf u 定义域 U ug x 定义域 X,值域 U* 如果 * UU,则 yf g x是定义在 X 上的一个复合函数,其中 u 称为中间变量。 2.初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称 为初等函数。 四、函数的几种性质 1.有界性设函数 yfx在 X 内有定义,若存在正数 M,使xX都有 f xM,则 称 fx在 X 上是有界的。 2. 奇偶性 设区间X关于原点对称, 若对xX, 都有 fxf x , 则称 f x 在X上是奇函数;若对xX,都有 fxfx,则称 f x在X上是偶函数。奇函 数的图像关于原点对称;偶函数图像关于y轴对称。 3. 单调性设 f x在X上有定义,若对任意 1212 xXxXxx,,都有 12 f xf x ,则称 f x在X上是单调增加的 单调减少的;若 对任意 1212 xXxXxx, 2 100 x要有定义, 2 10010 xx,, 因此, f x的定义域为10e, 【例 2】 求 1 ln5 yxx x 的定义域。 解 xx要有定义,1x 和0 x 1 ln5x 要有定义,546xxx,,, 因此,定义域为 0144 55 66 ,,,, 【例 3】 设 f x的定义域为0aaa,,求 2 1f x 的定义域。 解 要求 2 1axa ,则 2 11axa , 当1a 时,10a, 2 1xa ,则1xa 当01a,11axa 也即11axa或11axa 【例 4】 设 102 2 24 x g x x ,且1y 所以原来函数的值域为0,11,。 三、求复合函数有关表达式 1.已知 fx和 gx,求 fgx. 【例 1】 已知 1 x f x x ,求 1 1 f f x . 解 1 11 11 x f x xx , 1 1 1 x f x (1x) 于是, 111 1 11 12 xx ff x f xxx (1,2xx) 【例 2】 设 2 1 x f x x ,求 n fff xfx. n 重复合 解 2 2 2 222 1 1 11 12 f xxxx fxff x x xfxx , 若 2 1 k x fx kx ,则 2 1 2 22 1 1 11 k k k fxxx fx kx kxfx 2 11 x kx 根据数学归纳法可知,对正整数 n, 2 1 n x fx nx 2.已知 gx和 fgx,求 fx. 【例 1】 设 2 1 xxx f eeex,求 fx. 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 5 解 令1 x eu ,ln1xu 22 11ln1ln1f uuuuuuu 于是 2 ln1f xxxx 【例 2】 已知 xx f ,且10f,求 fx. 解 令,ln x et xt,因此 ln x t f ef t t , 22 1 1 ln11 1lnln 22 x xt f xfdttx t 10f, 2 1 ln 2 f xx 四、有关四种性质 【例 1】 设 F xf x,则下列结论正确的是( ). (A)若 fx为奇函数,则 Fx为偶函数 (B)若 fx为偶函数,则 Fx为奇函数 (C)若 fx为周期函数,则 Fx为周期函数 (D)若 fx为单调函数,则 Fx为单调函数 解 B不成立,反例 3 2 , 1 3 x f xxF x C不成立,反例 cos1, sinf xxF xxx D不成立,反例 2 2 , ,f xx F xx 在内 A成立。 证明 0 0 , x F xFf t dt f为奇函数, 00 0 0 xx FxFf t dtFfu du 0 0 x Ff u duF x F x为偶函数。 【例 2】 求 1 52 1 ln1. xx Ix xeexxdx 解 1 xx f xee是奇函数, 2 112 , ln1 xx fxeef xfxxx 是奇函数, 22 2 2 2 1 ln1ln 1 xx fxxx xx 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 6 2 2 ln1 ln1 xxfx 因此 2 ln1 xx x eexx 是奇函数。 于是 11 66 10 2 02 7 Ix dxx dx 。 【例 3】 两个周期函数之和是否仍是周期函数 解 不一定 (1) sincos 23 xx f x 1 sin 2 x f x 周期为 4, 2 os 3 x fxc 周期为 6 4和 6的最小公倍数为 12, f x是以 12为周期的函数 (2) sin2cosf xxx 1 sin2f xx 周期为, 2 osfxcx 周期为 2 和 2 没有最小公倍数, f x不是周期函数 (3) sin21 sin2 f xxx 1 sin2f xx 周期为, 2 1 sin2fxx 周期为 虽然 1 f x, 2 fx不但都是周期函数,而且它们的周期有最小公倍数。 但是 12 1f xf xfx,却不是周期函数。 (因为没有最小正周期。 ) 【例 4】 设 f x, g x是恒大于零的可导函数,且 0fx g xf x g x,则 当axb B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 解 2 1 0 f x fx g xf x g x g xgx , f x g x 单调减少 于是 x,故A成立。 1.2 极限极限 (甲)内容要点 新东方在线 2012 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 7 一、极限的概念与基本性质 1.极限的定义 (1)lim n n xA (称数列 n x收敛于 A) 任给0,存在正整数 N,当 nN 时,就有 n xA,存在正整数 X,当 xX 时,就有 f xA,存在正整数 X,当 xX 时,就有 f xA,存在正整数 X,当|x|X 时,就有 f xA,存在正数,当 0 0 xx时,就有 f xA,存在正数,当 0 0 xx时,就有 f xA,存在正数,当 0 0 xx时,就有 f xA,则x变化一定以后,有 f xg x (注当 00g xB,情形也称为极限的保号性) 定理 3 (极限的局部有界性)设 lim fxA,则当x变化一定以后, f x有界的。 定理 4 设 lim fxA, limg xB 则 (1) lim f xg xAB (2) lim f xg xAB (3) lim f x g xA B ii (4) lim f xA g xB 0B (5) lim g x B f xA 0A 二、无穷小量 1. 无穷小量定义若 lim0fx ,则称 f x为无穷小量 (注 无穷小量与x的变化过程有关, 1 lim0 x x , 当x 时 1 x 为无穷小量, 而 0 xx 或其他时, 1 x 不是无穷小量) 2. 无穷大量定义任給0M , 当x变化一定以后, 总有 f xM, 则称 f x为 无穷大量,记 lim fx 。 3. 无穷小量与无穷大量的关系在x的同一个变化过程中,若 f x为无穷大量,则 1 fx 为无穷小量,若 f x为无穷小量且 0f x ,则 1 f x 为无穷大量。 4. 无穷小量与极限的关系 lim f xAf xAa x 其中 lim0a x 5. 两个无穷小量的比较 设 lim0 lim0f xg x,,且 lim f x l g x 10l ,称 f x是比 g x高阶的无穷小量,记以 f xo g x 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 9 称 g x是比 f x低阶的无穷小量, 2 0l ,称 f x与 g x是同阶无穷小量。 31l ,称 f x与 g x是等价无穷小量,记以 f xg x 6. 常见的等价无穷小量 当0 x时 sintanarcsinarctanxxxxxxxx,,, 2 1 1 cos1ln 111 2 a x xxexxxxax,,,(a为实常数) 。 7. 无穷小量的重要性质 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。 三、求极限的方法 1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2. 两个准则 准则 1 单调有界数列极限一定存在。 (1) 若 1nn xx (n为正整数) , 又 n xm(n为正整数) , 则lim n n xA 存在且Am (2) 若 1nn xx (n为正整数) , 又 n xm(n为正整数) , 则lim n n xA 存在且Am 准则 2 (夹逼定理)设 g xf xh x, 若 limlimg xAh xA,,则 lim fxA 3. 两个重要公式 公式 1 0 sin lim1 x x x 公式 2 1 lim 1 n n e n ; 1 lim 1 u u e u ; 1 0 lim 1 v v ve 4. 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 5. 用泰勒公式(比用等价无穷小量更深刻) 当0 x 时 2 1 2 n xn xx exo x n 3521 21 sin1 3521 n n n xxx xxo x n 242 2 cos11 242 n n n xxx xo x n 23 1 ln 11 23 n n n xxx xxo x n 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 10 3521 21 arctan1 3521 n n n xxx xxo x n 2 111 11 2 nn n xxxxo x n (为实常数) 6.洛必达法则 法则 1 0 0 型设(1) lim0f x , lim0g x (2)x变化过程中, fx, gx皆存在 (3) lim fx A gx (或) 则 lim f x A g x (或) 注如果 lim fx gx 不存在且不是无穷大量情形,则不能得出 lim f x g x 不存在且不是 无穷大量情形 法则 2 型设(1) lim f x , limg x (2)x变化过程中, fx, gx皆存在 (3) lim fx A gx (或) 则 lim f x A g x (或) 7.利用导数定义求极限 基本公式 00 0 0 lim x f xxf x fx x 如果存在 8.利用定积分定义求极限 基本公式 1 1 1 lim 0 n n k k ff x dx nn 如果存在 9.其他综合方法 10.求极限的反问题有关方法 (乙)典型例题 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 11 一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限 【例 1】 设 n 0 b0 m a ,,求 1 110 1 110 lim mm mm nn x nn a xaxa xa b xbxb xb 解 1 110 1 110 lim mm mm nn x nn a xaxa xa b xbxb xb 11 110 11 110 lim m nmm mm nn x nn xaaxa xa x bbxb xb x 0 m n mn a mn b mn 当时 当时 当时 【例 2】 设0a ,1r ,求 1 lim n n aarar . 解 1 1 limlim 11 n n nn ra aarara rr 特例 (1)求 23 1 2222 lim 1 3333 n n n 解 例 2 中取 2 3 a , 2 3 r ,可知原式 2 2 3 25 1 3 (2) 11 1 2422 lim 3 3 11 1 2 33 n n n 【例 3】 求 1 1 32 lim 23 nn nn n . 解 分子、分母用 3 n除之,原式 2 3 3 lim3 2 21 3 n n n (注主要用当1r 时,lim0 n n r ) 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 12 【例 4】 设 l 是正整数,求 1 1 lim n n k k kl . 解 11 11 k kllkkl 111 11 11111 nnn kkk k kllkkllkkl 11 111 nn kk lkkl 111111111 1 2111lllnlnnnl 11111 1 21llnnl 因此 原式 111 1 2ll 特例 (1) 1 1 lim1 1 n n k k k (l1) (2) 1 1113 lim1 2224 n n k k k (l2) 【例 6】 设 d0 为常数,求 222 111 1 lim n dnd nnn . 解 原式 2 1 lim11 1 22 n nd nd n i 特例1d 222 121 lim 2 n n nnn 2d 222 1321 lim1 n n nnn 【例 7】 求下列各极限 (1) 0 11 lim x xx x (2) 33 0 11 lim x xx x 解 (1)解一 原式 0 112 lim1 2 11 x xx xxx 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 13 解二 原式 0 1111 lim x xx x 0 1 22 lim1 x x x x 等价无穷小量代换 解三 用洛必达法则 1,原式 0 11 2 12 1 lim1 1 x xx (2)解一 原式 22 0 3333 112 lim 3 1111 x xx xxxxx 解二 类似(1)中解二用等价无穷小量代换 解三 类似(1)中解三用洛必达法则 【例 8】 求下列极限 (1)设1r , 22 lim111 n n rrr (2) 222 111 lim 111 23 n n 解 (1)分子分母都乘 1-r,则原式 1 2 11 lim 11 n n r rr (2)原式 111111 lim 111111 2233 n nn 1 3 2 41111 limlim 2 2 3 322 nn nnn nnn i i i i 二、用两个重要公式 【例 1】 求limcoscoscos 242n n xxx 。 解 当 x0 时,原式1 当 x0 时,原式 2 sincoscoscos 2242 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 1 11 2coscoscossin 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x i sinsinsin 2 limlim 2 sinsin 22 n nn n nn x xxx xx xx i 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 14 2 lim1 sin 2 n n n x x 【例 2】 求下列极限 (1) 10 2 lim 1 x x x (2) 1 0 1 lim 1 x x x x 解 (1) 210 10 2 22 lim 1lim 1 xx x x nx xx 10 2 1 2 2 2 lim1 x x x e x (2)解一 11 1 1 1 2 00 1 0 0 lim 1lim 1 1 lim 1 lim 1 xx x xx x x x xx xe e xee x i 解二 12 11 21 2 000 1122 limlimlim 1 111 x xx xx xxx xxxx e xxx 【例 3】 求下列极限 (1) cot 0 lim1tan x x x (2) 4 1 1 lim x x x (3) 2 cot 0 limcos x x x 解 (1)令 tan xt则 1 cot x t ,当0 x时0t 于是 1 cot 00 lim1tan lim1 x t xt xte (2)令1xt 则1xt ,当1x 时,0t 于是 4 44 1 4 1 100 limlim1lim1 xt t xtt xtte (3) 2 2 2 2 2 cos 1cos cot22 2sin2 sin 000 limcos lim1 sinlim 1 sin x x x x x xxx xxx i 1 2 e 三、用夹逼定理求极限 【例 1】 求 1 3 521 lim 2 4 62 n n n i i . 解 令 1 3 521 2 4 62 n n x n i i , 2 42 3 521 n n y n i , 则 0xnyn,于是 2 1 0 21 nnn xx y n ,求 1 12 lim ppp p n n n . 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 16 解 原式 1 1 lim p n n k k nn 1 0 p x dx 1 1p 五、用洛必达法则求极限 1.“ 0 0 ”型和“ ”型. 【例 1】 求 3 11 sin lim 1 sin n nn n . 解 离散型不能直接用洛必达法则,故考虑 33 00 sinsin limlim sin xx xxxx xx 等价无穷小代换 2 00 1 cossin1 limlim 366 xx xx xx 原式 1 6 . 【例 2】 求 2 1 10 0 lim x x e x . 解 若直接用“ 0 0 ”型洛必达法则 1,则得 2 2 1 1 3 912 00 2 limlim 105 x x xx e ex xx (不好办了,分 母 x 的次数反而增加) ,为了避免分子求导数的复杂性,我们先用变量替换,令 2 1 t x , 于是 2 1 5 105 0 limlimlim t x t xtt eet xte “ ”型 4 55 limlim0 tt tt t ee 2. “-”型和“0”型. 【例 1】 求 0 11 lim 1 x xx e . 解 00 111 limlim 11 x xx xx ex xex e ( “ 0 0 ”型) 00 1 limlim 1 xx xxxxx xx ee e 0 11 lim 22 xx 【例 2】 求 2 22 0 1cos lim sin x x xx . 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 17 解 原式 222 22 0 sincos lim sin x xxx xx i 22 4 0 1 sin 2 4 lim x xx x 3 0 4 2sin2 cos2 4 lim 4 x xxx x 3 0 1 sin4 4 lim 2 x xx x 2 00 1 cos44sin44 limlim 6123 xx xx xx 【例 3】 求 2 0 lim sinln x xx . 解 原式 2 2 00 ln limlnlim xx x xx x “ ”型 1 3 0 lim0 2 x x x 3. “1 ”型, “00”型和“0”型 这类都是 lim g x f x形式, 可化为 lim ln g xf x e, 而lim ln g xf x都是 “0 ” 型,按 2 的情形处理. 【例 1】 求 2 sin 0 lim x x x . 解 令 2 sinx yx, 2 lnsinlnyxx 2 00 lim lnlim sinln0 xx yxx (见 2 中例 3), 0 0 lim1 x ye 【例 2】 求 2 cot 0 lim cos x x x (前面已用重要公式的方法). 解 令 2 cot cos x yx, 2 lncotlncosyxx 2 22 0000 lncoslncos limlnlimcotlncoslimlim tan xxxx xx yxx xx ( “ 0 0 ”型) 0 tan1 lim 22 x x x , 1 2 0 lim x ye 【例 3】 求 11 lim sincos x x xx . 解 令 11 sincos x y xx , 11 lnln sincosyx xx 0 11 ln sincos lnsincos limlnlimlim 1 xxt ttxx y t x 0 cossin lim1 sincos t tt tt lim x ye 六、用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 18 【例 1】 求 32 2 1 limsin1 31 n nn n n . 解 3 32 23 111 1 limlim0 1 31 3 nn nn nnn n n , 2 sin11n 根据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,可知原式0. 【例 2】 求 0 1 cos2 arctan3 lim 1ln12 sin5 x x xx exx . 解 用等价无穷小量代换, 原式 2 0 1 2 3 3 2 lim 2 5 5 x xx xxx i ii 【例 3】 求 2 0 1 3sincos lim 1cos ln1 x xx x xx . 解 这个极限虽是“ 0 0 ”型,但分子、分母分别求导数后的极限不存在,因此不能用洛 必达法则. 原式 0 sin1 3cos 13 lim ln1 1cos2 x x x xx x x x 七、用泰勒公式求极限 【例 1】 求 3 5 0 1 sin 6 lim x xxx x . 解 35 5 sin 35 xx xxo x (当0 x 时) 原式 5 5 5 0 11 5 lim 5120 x x o x x 八、用导数定义求极限 【例 1】 设 0 2fx,求 00 0 32 lim x f xxf xx x . 解 原式 0000 0 32 lim x f xxf xf xxf x x 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 19 0000 00 32 3lim2 lim 32 xx f xxf xf xxf x xx 000 32510fxfxfx 【例 2】 设曲线 yf x与sinyx在原点相切,求 2 lim n nf n . 解 由题设可知00f, 0 0sin 1 x fx 于是 2 0 2 limlim2202 2 0 nn ff n nff n n i 九、求递归数列的极限 【例 1】 设0a, 1 0 xb, 21 1 1 2 a xx x , 1 1 1 2 nn n a xx x 求lim n n x . 解 1 1 0 nn n a xxa x i(算术平均值几何平均值) 又 2 1 1 0 22 n nnnn nn axa xxxx xx ,则 1nn xx 因此 n x单调减少,又有下界,根据准则 1,lim n n xA 存在 把 1 1 1 2 nn n a xx x 两边取极限,得 1 2 a AA A 2 Aa,A0,取Aa,于是lim n n xa 十、求分段函数的极限 【例 1】 求函数在分段点处的极限 2 sin2 0 1 cos x x x f x x x x 解 00 sin2sin2 00limlim 22 2 xx xx f xx 22 00 2 00limlim2 1 1 cos 2 xx xx f x x , 0 lim 2 x f x 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 20 【例 2】 求 1 4 0 2sin lim 1 x x x ex x e . 解 1 4 0 2sin lim2 11 1 x x x ex x e , 43 4 0 2sin lim0 11 1 xx x x eex x e 1 4 0 2sin lim1 1 x x x ex x e 十一、求极限的反问题 【例 1】 设 2 2 1 lim3 sin1 x xaxb x ,求 a 和 b. 解 由题设可知 2 1 lim0 x xaxb ,1ab0,再对极限用洛必达法则 2 22 11 22 limlim3 sin12 cos12 xx xaxbxaa xxx 4,5ab 【例 2】 设 2 00 1 lim1 sin x x t dt bxxat ,求 a 和 b. 解 把极限用洛必达法则 原式左边 2 0 lim cos x xax bx ,如果1b ,则极限值为 0,今极限为 1,则1b 因此 原式左边 2 00 122 limlim 1 cos xx x xaxaxa i 由 2 1 a ,得出 a4. 1.3 连续连续 甲内容要点 一、函数连续的概念 1.函数在点 0 x处连续 定义 1 设函数 yf x在点 0 x的某个邻域内有定义, 如果当自变量的改变量x(初 值为 0 x)趋近于 0 时,相应的函数改变量y也趋近于 0,即 0 lim0 x y 新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 21 或 00 0 lim0 x f xxf x 则称函数 yf x在点 0 x处连续。 函数 yf x在点 0 x处连续也可作如下定义。 定义 2 设函数 yf x在点 0 x的某个邻域内有定义,如果当 0 xx时,函数 f x 的极限值存在,且等于 0 x处的函数值 0 f x,即 0 0 lim xx f xf x 则称函数 yf x在点 0 x处连续,此时有 00 0 limlim xxxx f xf xf x 并且有 00 0 limlim xxxx f xf xfx 即如果函数在点 0 x处连续,则在点 0 x处可以交换极限号和函数号的顺序。 定义 3 设函数 yf x,如果 0 0 lim xx f xf x ,则函数 f x在点 0 x处左连续; 如果 0 0 lim xx f xf x ,则称函数 f x在点 0 x处右
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