电工技能培训专题-电路-相量法.ppt

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1、2021年4月8日星期四,1,第八章 相量法,8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法基础 8.4 电路定律的相量形式,2021年4月8日星期四,2,基本要求,深入理解正弦量的有效值及相位差的物理概念； 掌握相量法的基本概念； 熟练掌握R、L、C元件的电压相量与电流相量的关系。,本章是学习第 912 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。,2021年4月8日星期四,3,1. 复数的表示形式 (1)代数形式 F=a+jb ReF=a， ImF=b (2) 三角形式 F=| F |(cos+ jsin ) a=| F |cos ，b=| F |sin,(3)指数和极坐标形式 根据欧拉公式 e

2、 j =cos+jsin 得指数形式： F = | F | e j 或写成极坐标形式：,| F | =,a2 + b2,F = | F |,q,q = arctg,b,a,8.1 复 数,(4) 矢量形式,2021年4月8日星期四,4,2. 复数的运算 (1)加减 用代数形式最好 设 F1=a1+jb1 F2=a2+jb2 则 F1F2 =(a1a2)+j (b1b2),复数加、减的图解,F=F1+F2,F=F1-F2,8.1 复 数,2021年4月8日星期四,5,(2) 乘除,用指数或极坐标形式最好 设 F1= | F1 | e j1 ， F2 = | F2 | e j 2 则 F=F1 F

3、2 = | F1 | | F2 | e j(1+ 2),F = |F1 | |F2 |,1+2,1-2,或,F =,F1,F2,=,|F1 |,|F2 |,若两个复数相等 F1 = F2,则必须是 |F1| = |F2|，1=2,或是 a1 = a2， jb1= jb2,乘(除)法运算满足模相乘(除)，辐角相加(减)。,8.1 复 数,2021年4月8日星期四,6,复数乘、除的图解,乘： F1 的模被放大|F2|倍，辐角逆时针旋转2 。,除： F1 的模被缩小|F2|倍，辐角顺时针旋转2 。,q=q1+q2,q=q1-q2,8.1 复 数,2021年4月8日星期四,7,3. 旋转因子ej,旋转

4、因子 ej =1是一个模等于1，辐角为的复数。 任意一个复数A=|A|eja乘以ej ，等于把A逆时针旋转角度，而模|A|保持不变。,都是旋转因子,Aj = jA，等于把 A逆时针旋转90o。,= -jA，等于把 A顺时针旋转90o。,e jp = -1,8.1 复 数,2021年4月8日星期四,8,电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。 研究正弦电路的意义是正弦交流电有很多优点，使它应用 广泛。例如： 可以根据需要，利用变压器方便地把正弦电压升高或降低；, 电机、变压器等电气设备，在正弦交流电下具有较好的 性能； 正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的加 减，其结果仍是同频率的

5、正弦量，这不仅使电路的分析计算 变得简单，而且其结果还可以推广到非正弦周期电流电路中。,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,9,正弦量的时域表达式有两种形式,i = Imcos(t+i) i = Imsin(t+ i) 也称为瞬时值表达式 分析时不可混用，以免发生相位错误。 采用的形式以教材为准： i = Imcos(t+i) u = Umcos(t+u),8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,10,1. 正弦量的三要素（以电流为例）,(1)振幅Im、有效值I (要素之一),正弦量的波形,在放大器参数中有时用峰峰值表达。,峰-峰值2Im,正弦量变化过程中所能达到的最大幅度 ；,i =

6、 Imcos(wt + fi),8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,11,通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应来确定：,关于有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。,T,1,0,T,i2 dt,I2RT =,0,T,i2R dt,把 i=Imcos(t+i) 代入上式计算可以得到：,正弦量的有效值与振幅之间的关系：,Im=,2,I,同理可得：,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,12,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝缘水平、耐压值指的是最

7、大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。 在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。 区分电压、电流的瞬时值 i、u ，振幅 Im、Um 和有效值 I、U 的符号。,注 意,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,13,(2) 角频率、频率f、周期T (要素之二),角频率,频率f ：正弦量每秒钟变化的 周期数，单位是Hz。 在工程中，常用频率区分电路： 音频、高频、甚高频、特高频等等。,=,dt,d,(wt+fi),正弦量单位时间内变化的电角度。,wT=2p,、 f、T 之间的关系, =2f,f =,T,1,反映正弦量变化快慢的参数。,周期T：正弦量变化一个周期所

8、需要的时间。,T =,f,1,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,14,(3) 相位角、初相角i (要素之三),相位角(t+i)： 随时间变化的角度, 单位：rad 或 (o) t=0时刻的相位角i 称为初 相角。,计时起点不同，初相位不同。 若正最大值发生在计时起点之前， 则初相位为正，之后为负。,常取主值：|i|180o,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,对任一正弦量，初相可以任意指定。但对多个同频率正弦量，应相对于同一个计时起点确定各自的相位。,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,15,2. 同频率正弦量的相位差 ！,相位差j12定义为：,改变计时起点，初相不同，但相位差

9、不变！,相位差一般取主值，即j12 | p |。,设：i1=Imcos(t+i1)，u2=Umcos(t+u2),即初相之差,j12 = (wt+fi1)-(wt+fu2),=fi1-fu2,(1)j120 ,称 i 超前 u ,或 u 滞后 i ， 表明 i 比 u 先达到最大值；,(2)j120 ,称 u 超前 i ,或 i 滞后u， 表明 u 比 i 先达到最大值；,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,16,j12=0，i1与u2同相,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,j12=90o，i1与u2正交,j12=180o，i1与u2反相,改变参考

10、方向时，该正弦量的初相改变 ，因此与其它正弦量的相位差都改变。,8.2 正弦量,2021年4月8日星期四,17,在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化 。,相量表示法的实质是用复数表示正弦量。是求解正弦电流电路稳态响应的有效工具。,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,18,根据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行分析,1. 相量,正弦量的相量要追溯到欧拉公式:,e jq = cosq +

11、 jsinq,若 q =wt+fi,则 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi),求解，就能得到全部结果。,设：,i = Im cos (wt+fi),则：,i = ReIm e j(wt+fi) ,= ReIm e jfi e jwt ,其中，,= Im e ji,这是一个特殊的复数，其特点是辐角随时间变化。,这是一个与时间无关的复数，,模是该正弦电流的振幅，辐角是初相。,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,19,30o,在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量，则响应也都是与激励同频率的正弦量。在分析过程中，考虑的主要是求解振幅或有效值，初相或相位差

12、。,因此，变换简单易行：,已知：i = Im cos (wt + fi),= Im e jfi,简写为,反过来,Um,.,= 300,V,u=300 cos(wt+30o) V,时域与相量域的映射,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,20,正弦量与相量的关系是一种数学变换关系。不是相等的关系！,旋转相量的实部等于正弦量,正弦量相量，可认为是正变换；,相量正弦量，可认为是反变换。,是 Im e jfi e jwt 的复常数部分。,i = Imcos (wt+fi),是 Ime jfi e jwt 的实部。,任意时刻，两者相对位置不变。因此，可用不含旋转因子ejt的复数表示正弦量。,8

13、.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,21,2. 相量的性质,(1)线性性质,k1 i1 k2 i2 ,若 i1 = Im1 cos(wt+fi1),i2 = Im2 cos(wt+fi2),则 i=i1+ i2,. Im,=,. Im1,. Im2,+,. Im1 = Im1,fi1,. Im2 = Im2,fi2,相量也具有比例性质：,由叠加性质和比例性质可知,这是叠加性质,k i1,. Im1,k,(k1,. I1 k2, ),. I2 ,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,22,(2) 微分性质,设 i=Imcos(wt+fi),di,dt,=wImcos(wt+f

14、i +90o ),= Rew,= Rejw,. Im,ejwt ,(jw)n Im,e,. Im = Im,fi,正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次,其结果是模变为Im，相位比原相量超前90o。,对高阶导数有,.,Im,jw,= wIm,fi+90o,.,微分，对应于相量域内乘以j。,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,23,(3) 积分性质,设 u=Umcos(wt+fu),udt =,w,Um,cos(wt+fu-90o),(jw)n,U,对n重积分有,udt,则,积分，对应于相量域内除以jw。,其结果是模变为(Um/)，相位比原相量滞后90o。,正弦量的积分是一个同频

15、正弦量，时域内的一次,.,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,24,例题分析,解：变换为相量形式求解,. I1=10,60o,. I2=22,-150o,A,A,60o,jw,= j314,. I1,10,= 3140,60o+90o,= 3140,cos(314t+150o),设,i1=10,2,cos(314t+60o) A,i2=22,cos(314t-150o) A,求：,di1,dt,i2 dt,2,i1+i2,所以,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,25,14.052+2.342,8.3 相量法的基础,. I2,22,-150o - 90o,=,314,=

16、 0.07,120o,所以,= 0.07,cos(314t+120o),jw,=5+j8.66 A,= -19.05-j11 A,. I1,. + I2,=(5-19.05),+ j(8.66-11),=(-14.05,- j2.34) A,I =,=14.24 A,2021年4月8日星期四,26,-14.05,-2.34,-170.54o,fi =,+ arctg,-14.05,-2.34,-180o,fi为第3象限角：,=14.24,-170.54o,A,i1+i2,= 14.24,cos(314t-170.54o) A,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,27,引入相量的优点

17、是：,把时域问题变为复数问题；,把微积分方程的运算变为复数方程运算；,需要注意的是：,相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路；,相量法用来分析正弦稳态电路。,量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数,代数方程问题的分析；,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,28,比例性质,3. 元件VCR的相量形式,(1) 电阻元件,电阻元件两端的电压与流过它电流同相位 ！,. UR,. IR,fu=fi,. UR,uR = R iR,. . UR = R IR,UR = R IR,或 IR = G UR,. . IR = G UR,有效值

18、的关系：,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,29,(2)电感元件,在L中，电压超前于电流90o !,有效值的关系： UL=wLIL,. UL,微分性质,UL= L(jw) IL,. UL,fu,. IL,fi,= wL,IL,UL,L也具有电阻的量纲。并与频率 f 成正比！,或电流滞后于电压90o !,.,.,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,30,(3) 电容元件,. UC,微分性质,IC = C(jw UC ),.,.,. UC,fi,. IL,fu,(1/C)也具有电阻的量纲，且与频率 f 成反比！,在C中，电流超前于电压90o !,. UC,jwC,1,.

19、IC,有效值的关系,=,或电压滞后于电流90o !,C,IC,UC,=,1,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,31,4. 受控源的相量表示,控制系数、g、r和都是常数，因此，根据相量的比例性质，可以直接用与正弦量对应的相量表示。,用相量表示的CCCS,用瞬时值表示的CCCS,8.3 相量法的基础,2021年4月8日星期四,32,已知电源电压,求电源电流i(t)。,u(t)=120,cos(5t) V，,8.3 相量法的基础,0o,解：电压源电压的相量为：,U,.,=120,V,wC,1,=,50.02,1,= 10W,wL = 54,= 20W,2021年4月8日星期四,33,=,R,=,120,15,= 8 A,=,-j,=,wC,1,-j10,120,= j12 A,=,jwL,=,j20,120,= -j6 A,=,+,+,= 8 + j12 -j6 A,8.3 相量法的基础,36.9o,= 8 + j6,= 10,A,i(t) =10,cos(5t + 36.9o) A,36.9o,相量图,