第1章 1.2.5　空间中的距离-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义.doc

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1、 1.2.5空间中的距离学 习 目 标核 心 素 养1掌握向量长度计算公式(重点)2会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离(重点、难点)通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养“距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的.义务教育阶段已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又是怎样呢？1空间中两点之间的距离空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？提示利用向量法转化为求向量的模2点到直线的距离给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l

2、的一条垂线段，垂线段的长称为点A到直线l的距离3点到平面的距离(1)给定空间中一个平面及外一点A，过A可以作平面的一条垂线段，垂线段的长称为点A到平面的距离提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度(2)一般地，若A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量，则点A到平面的距离为d提醒：若点A是平面内一点，则约定A到平面的距离为04相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面平行，n是平面的一个法向量，A、B分别是l上和内的点，则直线l与平面之间的距离为d(2)

3、当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离如果平面与平面平行，n是平面的一个法向量，A和B分别是平面和平面内的点，则平面和平面之间的距离为d思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？提示：1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)可以用|，求空间两点A、B的距离()(2)设n是平面的法向量，A是平面内一点，AB是平面的一条斜线，则点B到的距离为d()(3)若直线l与平面平行，直线l上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线l与平面的距离()答案(1)(2)(3)提示(1)(2)(3)直线上任意一点到平面的垂线段的长度2设A(3,3,1)，B(1,0,

4、5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于()ABC DCM点坐标为，|MC|3在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是()A7B8C9D10A以P为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|74已知平面的一个法向量n(1,0,1)，点A(1,1,0)在内，则平面外点P(1,1,1)到平面的距离为_(0,0,1)，n(1,0,1)，d空间两点间的距离【例1】如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互

5、相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)求MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小？思路探究建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)因为CMBNa(0a)，且四边形ABCD，ABEF为正方形，所以M，N，所以，所以|(0a)(2)由(1)知MN，所以，当a时，MN即当a时，MN的长最小，最小值为计算两点间的距离的两种方法(1)利用|a|2aa，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|求解(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解

6、的图形适宜建立空间直角坐标系时1如图所示，在120的二面角AB中，AC，BD且ACAB，BDAB，垂足分别为A，B，已知ACABBD6，试求线段CD的长解ACAB，BDAB，0，0，又二面角AB的平面角为120，60，|CD|2|2()22222()362262cos 60144，CD12点到直线的距离探究问题1如何理解与认识点到直线的距离？提示点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题(1)点在直线上时，点到直线的距离为0(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足间

7、的距离即点到直线的距离可转化为两点间的距离2如何用向量法求点到直线的距离？提示设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向量的模【例2】已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA11，AB4，BC3，ABC90，求点B到直线A1C1的距离思路探究建立空间直角坐标系，利用向量法求解解以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以(4,3,0)设E满足，且BEA1C1，则(4,0,1)(4,3,0)(44，3，1)，又，(44，3，1)(4,3,0)0，|，B到直线A1C1的距离为1(变问法)条件不变，试求B到AC1的距离解建系如本例解法(4,3,

8、1)，设M满足且0，则(4,0,0)(4,3,1)(44，3，)又0，(44，3，)(4,3,1)0，|，B到AC1的距离为2(变条件)若将本例中的条件改为“正三棱柱ABCA1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离解以B为原点，分别以BA，过B垂直于BA的直线，BB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A1(2,0,2)，C1(1，2)，(2,0,2)所以A1C1的方向向量(1，0)，而(1，2)，设E满足且BEA1C1，(2,0,2)(1，0)(2，2)，又(2，2)(1，0)0，230，|，B到A1C1的距离为求点M到直线AB的距离的方法与步骤(1

9、)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：，MEAB(2)利用(1)中的两个等量关系求出的值，进而求出点E的坐标，求出向量|的模即为M点到AB的距离点到平面的距离【例3】如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离思路探究本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求解解法一：设点A到平面A1BD的距离为h，则VBAA1Daaaa3，VAA1BDh(a)2a2h，VAA1BDVBAA1D，ha，点A到平面A1BD的距离为a法二：如图所示，建立空间直角坐标系B1 xyz，则A1(a,0,0)，A(a,0，a)

10、，D(a，a，a)，B(0,0，a)，则(a，a,0)，(0，a，a)，(a,0,0)设平面A1BD的一个法向量n(x，y，z)，则即令y1，则xz1，n(1，1,1)n(a,0,0)(1，1,1)a点A到平面A1BD的距离da用向量法求点面距的方法与步骤(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量；(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n；(4)得答案：代入公式d求得答案提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量2如图所示，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC

11、，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离解建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(1,4,0)，(0，2,2)，(1,4，2)设平面SND的法向量为n(x，y,1)n0，n0，n(2,1,1)，(0,0,2)点A到平面SND的距离为线面平行、平行平面间的距离【例4】如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，ABCD，ABCADB90，CD1，BC2，DF1(1)求证：BE平面DCF；(2)求点B到平面DCF的距离解(1)证明：由已知可得平面ABE平面DFC，BE平面ABE，BE平面DCF(2)如图，以D为原点

12、，建立空间直角坐标系ABCD，ABCADB90，则ADBBCD，CD1，BC2BD，AD2，AB5，F(0,0,1)，D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0，0)，C，(0，1)，设平面DCF的法向量为n(x，y，z)，则令x1，y2，z0n.d2B到平面DCF的距离为2求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡.3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解以D为原点，建立如

13、图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,0,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1,1,1)点D1到平面A1BD的距离d平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为1空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求解2要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会单位法向量的求法1已知平面的一个法向量n(2，2,

14、1)，点A(1,3,0)在内，则P(2,1,4)到的距离为()A10B3C DD(1，2,4)，d2已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(x,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为，则x()A1B11C1或11 D21C(x2,2，4)，而d，即，解得x1或113若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()AB1 CDD如图，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60，AB1BB1即点A1到平面ABCD的距离为4在RtABC

15、中，C30，B90D是BC边的中点，AC2，DE平面ABC，DE1，则点E到斜边AC的距离是_作DHAC于点H，连接EH(图略)因为DE平面ABC，所以DEAC，因为DEDHD，所以AC平面DEH，所以EHAC，所以EH即为所求距离由B90，C30，AC2，得BC因为D是BC边上的中点，所以DHCDBC又DE1，所以EH5三棱柱A1B1C1ABC是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点(1)求证：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求点C到平面AB1D的距离解如图所示，以B为原点，过点B与BC垂直的直线为x轴，BC所在直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A，A1，B1(0，0，a)，D，C(0，a,0)(1)证明：取AB1中点M，则M，(0,0，a)，0，0DMAA1，DMAB1，又AA1AB1A，DM平面ABB1A，又DM平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1(2)由(1)知A1BDMa2a20，A1BAB1，A1B平面AB1D是平面AB1D的一个法向量，故点C到平面AB1D的距离为da