费马点与加权费马点讲义.docx

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1、 费马点与加权费马点【例题1】（1）知识储备如图1，已知点P为等边ABC外接圆的BC上任意一点求证：PB+PCPA定义：在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离（2）知识迁移我们有如下探寻ABC（其中A，B，C均小于120）的费马点和费马距离的方法：如图2，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 的长度即为ABC的费马距离在图3中，用不同于图2的方法作出ABC的费马点P（要求尺规作图）（3）知识应用判断题（正确的打，错误的打）：任意三角形的费马点有且只有一个 ；任意

2、三角形的费马点一定在三角形的内部 已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的边长【练习1】（1）阅读证明如图1，在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离如图2，已知点P为等边ABC外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A，B，C均小于120）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其外接圆；第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D易知P0A+

3、P0B+P0CP0A+（P0B+P0C）P0A+ ；第三步：根据（1）中定义，在图3中找出ABC的费马点P，线段 的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用已知三村庄A，B，C构成了如图4所示的ABC（其中A，B，C均小于120），现选取一点P打水井，使水井P到三村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小求输水管总长度的最小值【练习2】问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换旋转变换是几何变换的一种基本模型经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化问题提出：如图1，ABC是边长为1的等边三

4、角形，P为ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）问题解决：如图2，将BPA绕点B逆时针旋转60至BPA，连接PP、AC，记AC与AB交于点D，易知BABABC1，ABCABA+ABC120由BPBP，PBP60，可知PBP为正三角形，有PBPP故因此，当A、P、P、C共线时，PA+PB+PC有最小值是学以致用：（1）如图3，在ABC中，BAC30，AB4，CA3，P为ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则的最小值是 （2）如图

5、4，在ABC中，BAC45，P为ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求的最小值（3）如图5，P是边长为2的正方形ABCD内一点，Q为边BC上一点，连接PA、PD、PQ，求PA+PD+PQ的最小值【练习3】如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM（1）求证：AMBENB；（2）当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长【练习4】在边长为2的正方形ABCD内求一点P，使得PA+PB+PC之和为最

6、小，并求这个最小值及此时PA、PB、PC的大小【练习5】（1）阅读材料：如图（1），四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，求证：AMBENB；当M点在何处时，AM+CM的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下面的题目：如图（2），A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最短，应当如何修建？请画出你的设计图【练习6】如图，ABC中，BAC30

7、且ABAC，P是底边上的高AH上一点若AP+BP+CP的最小值为2，则BC 【练习8】综合与实践：发现问题：如图，已知：OAB中，OB3，将OAB绕点O逆时针旋转90得OAB，连接BB则BB 问题探究：如图，已知ABC是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边BCD，P为ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60，P的对应点为Q（1）求证：DCQBCP（2）求PA+PB+PC的最小值实际应用：如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB500米，AD800米，顶点A、D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA、PD、PM若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？【思考】