一个三角问题的解决和推广研究.doc

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1、一个三角问题的解决和推广研究授课类型 TI技术与数学整合研究课主办单位 市教研室和区教研室 承办方 晋元高级中学授课教师 魏新魁地点 晋元高级中学 新村路2168号 授课时间 2005-4-28 下午2：00知识定位： 本内容属于新课程标准中三角方程的拓展或延伸内容。教学目标 从实际问题入手，通过数学建模，引出一类三角方程（形如x=asinx）的求解问题。借用TI技术手段帮助探究这类方程的解的问题。让学生体会数学模型的应用价值和技术的魅力，在主动探索数学问题中发现问题和解决问题，感受成功的乐趣。 教学重点: 探究方程x=asinx解的情况教学设计教学思想 以学生为主体,引导学生主动分析应用问题

2、，构造数学模型,借用技术手段解决、问题；并能对应用背景中数学问题加以推广或延伸，提出新问题，能从数学角度探索一类方程解的情况。在解决问题过程中，渗透数形结合的数学思想方法，相信技术但不迷信技术，所见不一定所得，技术可以给人以直观快感、，但终究不如理论论证完美。 教学过程设计 一、话题引入问：如何将一圆形的材料截成重量相等的两块？答：沿直径， 取厚度的1/2问： 你给一个评价标准， 答： 越快越好，越方便使用越好，越经济（耗能少）讨论：根据不同标准，有不同的好方案问：如何将一圆形的材料截成重量之比为1：3？教学设想：用一特殊实际例子引出，在解决实际问题时，方案设计的重要性：一个好的方案省时省工。

3、并引出本节课的问题情景。调动学生学习的兴趣，有一个好的开端。二、问题提出 某工厂工人要用激光切割一块圆形的贵重金属材料(厚薄质地均匀的薄片)，将其分成重量比1：3的两份，如何截取最快，最省事？ 方案1： 如图所示 沿两个互相垂直的半径方案2 ：沿一条弦，把圆截成两个面积为1：3的弓形 。评价好坏， 优缺点 方案1: 两刀切， 方案2 一刀切 显然方案2的激光切割能量消耗最少 体会： 多动脑筋少出力。新问题 方案2好是好， 但如何选取要切割的弦？画出这条弦好切 教学设想：让学生知道数学问题的背景，并能从不同的方案设计中，依据一定的判断标准，选择最佳方案。多动脑筋少出力。 三、数学模型化 把应用问

4、题抽象成数学问题 已知半径为r的圆，如何选取弦使圆被分割成两个面积比为1：3的两弓形部分？核心问题： 找出弦长d，或其所对的圆心角的大小 a , 或弧长, 分析 由于, 故关键还是求出圆心角a。解： 根据扇形面积公式， 和三角形面积 ， 即 其中 教学设想： 引导学生通过理论推导把一个问题转化为另一问题。四 问题解决 这是一个超越方程，无法得到精确解，可借用技术求出近似解。 借用TI图形计算器等技术手段： 求解 回答应用问题：根据方程的解即圆心角的大小算出所对的弦长，并以此量出弦划线切割。教学设想：让学生体会TI图形计算器在解决方程近似解的方便和快捷性，并回答应用问题 。 五、数学问题推广变式

5、问题 1. 方程x=2sinx有几个解 2. 探索x=asinx(aN*)解的个数,是否还是3个解？ 问题解决策略讨论方程解的的解题策略 1 构造一个函数，观察其零点2 分解成两个定函数，观察其交点3 构造一个动函数（含有字母）和一个定函数 问题探索 填表借用技术手段，画出相关函数图像，观察图像填表aN*方程解的个数1x=sinx12x=2sinx33x=3sinx3x=asinx7x=7sinx38x=8sinx7 问题深度分析猜想：方程解的个数与a有关系。新问题：但有什么样的关系呢？显然，当(k N)时，函数y=a sinx (aN*)有最大值a, 比较函数y=x和函数y=a sinx (

6、aN*) 在x0时的交点个数，显然当xa时，不可能有交点， 即方程x=asinx(x0)时不可能有解。不等式中0 最大的正整数k与方程解的个数有关 (aN*) 如 1）当a=7时， 最大的整数k=0, 即在时，方程x=7sinx不可能有解，由图象知方程x=7sinx 在 0x 时有3个解 2） 同理可验证 当2a7 时，最大整数k均为0，方程的解的个数均为3。 3） 当8a14时， =1 ， 方程解的个数有3+2+2=7个 4） 当 15a20时， =2 ， 方程解的个数有3+4+4=3+24=11个 5） 当 21a26时， =3 ， 方程解的个数有3+4+4+4=3+43=15个 归纳结论

7、：设为的整数部分，则方程解的个数为4+3个。论证或解释： 应用：并由此可以轻松回答当a=50时， ，=7， 方程解的个数为3+74=31。教学设想：首先选定解决这一类超越方程解的问题的解题策略，然后引导学生借助技术手段主动探索数学问题，培养学生从若干个特殊问题中寻求一般规律的数学意识, 引导学生大胆猜想，理性分析，发现问题进而解决问题，得出一般结论。让学生体会技术手段为我们探索问题带来了很大的方便，但技术不是完美的，所见不一定所得，直觉判断和理性思维相结合；根据技术得到的结论不一定正确，常常需要用严密理论证明之真确性。 另 对于a为有理数或一般实数时方程解的个数的讨论，不属于本节研究目标，感兴趣的同学可以在课后进一步研究。六、小结 1 应用问题数学建模 问题转化，解决问题，推广探索。2 数形结合， 借用技术手段解决计算问题， 但不迷信技术，所见不一定所得， 知觉判断加理性思维调整窗口看想看的图形。课后练习 1讨论方程 sinx=sin2x解的个数，并求近似解 2讨论方程sinx=sinax(aN*) 解的个数。