5-1函数的切线问题.docx

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1、 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第五章 导数专题1 函数的切线问题秒杀秘籍：第一讲 切线的几何意义1导数的几何意义:函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率注：（）切线方程的计算:2在点处的切线方程：抓住关键：3过点的切线方程：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：过点，然后解出的值（有几个值，就有几条切线，三次函数多解）4定理：令过原点的切线斜率为；过原点的切线斜率为类推：的切线斜率分别为（根据平移记忆）和（不要求记忆）考点1 切线及斜率问题【例1】曲线在点处切线的斜率等于（ ）A BCD【解析】，【例2】设点P是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A BCD【

2、解析】 （为第二象限角）或（为第一象限角）【例3】已知函数是偶函数，定义域为，且时， ，则曲线在点处的切线方程为 【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数， 曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意 轴对称，为，故答案为【例4】设是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 【解析】由题意知 【例5】若是函数图象上的动点，点，则直线斜率的取值范围为（ ）A BCD【解析】由题意可得： ，结合函数的定义域可知，函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，且 ，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 ，该点的斜率为 ，切

3、线方程为： ，切线过点 ，则： ，解得: ，切线的斜率 ，综上可得：则直线斜率的取值范围为【例6】已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 【解析】由题意知，由题意得解得，由，得，所以函数的单调减区间为由题意得 ，解得考点2 切线条数问题【例7】过点与曲线相切的直线有且只有两条，则的取值范围是（ ）A BCD【解析】设切点为,所以切线方程为:,代入,得,即这个关于的方程有两个解化简方程为,即,令,在上单调递增,在上单调递减,，,所以,所以故选【例8】已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是（ ）A BCD【解析】的导数的导数为，设与曲线相切的切

4、点为相切的切点为，则有公共切线斜率为，又，即有，即为，即有，则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为，由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得的范围是，故选【例9】过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】设切点为，,所以切线方程为:，代入，得，即这个关于的方程有两个解化简方程为，即,令,在上单调递增,在上单调递减,，所以，所以 【例10】设函数，若过点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】法一：,则，设切点为,则过切点处的切线方程为，把

5、点代入得：整理得：若过点可作三条直线与曲线相切,则方程有三个不同根（左图）令，则，当时,；当时,，的单调增区间为和；单调减区间为当时,有极大值为；当时,有极小值为由，得实数n的取值范围是故选法二：关于点中心对称，在对称中心的切线方程为，故当点位于区域，有三条切线时，（如右图） 考点3 零点、交点、极值点问题【例11】若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A BCD【解析】法一：，当时，恒成立，故函数在上单调，不可能有两个零点；当时，令，得，函数在上单调递减，在,上单调递增，所以的最小值为，令，则，当时， 单调递增；当时， ，单调递减，的最小值为，函数有两个零点综上实数a的取值范围是法二：，即

6、与交点问题，由图可知，时，一定有两个交点，时，有仅有一个交点；故选 例题10 例题11 例题12【例12】关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为 【解析】如图，临界情况为与相切的情况，则，所以切点坐标为，则此时，所以只要图象向左移动，都会产生3个交点，所以，即【例13】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】函数，则，令得，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当时，直线与 的图象相切，由图可知，当时， 与的图象有两个交点，则实数的取值范围是，故选【例14】设，若函数在区间上有三个零点，则实数的

7、取值范围（ ）A BCD【解析】令，可得在坐标系内画出函数的图象（如图9所示）当时， 由得设过原点的直线与函数的图象切于点，则有，解得所以当直线与函数的图象切时又当直线经过点时，有，解得结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是故选 例题13 例题14【例15】对任意的，总有，则的取值范围是（ ）A BCD【解析】原问题即在区间上恒成立，考查临界情况，即函数与相切时的情形，如图10，很明显切点横坐标位于区间内，此时， ，由可得：，则切点坐标为： ，切线方程为： ，令可得纵截距为： ，结合如图所示的函数图象可得则的取值范围是选【例16

8、】已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】由题意知, 时， ， 时， ， ， 零点，就是与的交点，画出两函数图象，如图，由图11知， 过原点与相切的直线斜率为，所有直线与曲线有一个交点的的范围是，故选D【例17】若函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是 【解析】函数存在与直线平行的切线，即与切线平行，过原点且与相切的直线为，如下图所示，显然，故实数的取值范围是【例18】已知函数为偶函数，当时， 若直线与曲线至少有两个交点，则实数的取值范围是（ ）A BCD【解析】函数为偶函数，故当时， 有交点，则有解，故；当时， ， 与相切时，

9、； 如下图 ，故 的取值范围是 故选D【例19】已知函数，在不等式恒成立的条件下等式恒成立，求的取值集合（ ）A B CD【解析】 ，函数 均经过点 ，则直线 是函数 的切线，据此可得： ，等式即： ，很明显函数 是偶函数，则： ，解得： 或 ，结合绝对值和式的几何意义可得实数b的取值范围是： 考点4 参数范围问题【例20】已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）(参考数据：)A BCD【解析】设直线 与曲线 相切时的切点为 ，此时 ，即 ，化简得，设 ，因为， ，所以 ，所以切线斜率 的取值范围为 ，所以整数 的最大值为 ，故选【例21】已知为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围为

10、 【解析】由题意知, ,切点为,代入,得 , 为正实数, ,则 ,令,则,则函数为增函数, 【例22】若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为 【解析】设切点，则，所以方程为， 即，所以， ， 可得在上单调递减，在单调递增，所以当时， 取得最小值考点5 距离问题和平行切线问题【例23】设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）A BCD【解析】两函数互为反函数，即图像关于对称，函数上的点到直线的距离为，设函数，得，所以，由图像关于对称得：的最小值为【例24】直线分别与曲线，与交于点，则的最小值为（ ）A BCD【解析】由题意可知，当过点的切线与平行时，取得最小值为此对进行求导得，令，解得，代入

11、，知，所以当取到最小值时，所以，易知，故选【例25】已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为 【解析】由，令可得，所以，所以切线的斜率，又，故切线方程为由题意可知与直线平行且与曲线相切的切点到直线的距离即为所求设切点为，则，故，即，该点到直线的距离为【例26】函数与的图象关于直线对称，分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）A BCD【解析】由题意得当点处切线平行直线，为关于直线对称点时，取最小值， 的最小值为，故选考点6 两点间距离平方问题【例27】已知实数满足，则的最小值为（ ）A BCD【解析】考查 的最小值：代换，代换，则满足：，即，以代换，可得点，满足因此求

12、 的最小值即为求曲线上的点到直线的距离的最小值设直线y+x+m=0与曲线相切于点， ，则 ，解得，切点为点到直线的距离 ，得：的最小值为【例28】已知，则的最小值为（ ）A BCD【解析】设，则问题化为求平面上两动点之间距离的平方的最小值的问题，也即求曲线上的点到直线的点的距离最小值问题因，设切点，则切线的斜率，由题设当，即时，点到直线的距离最近，其最小值为，所以所求的最小值为，故选达标训练1直线分别与曲线，与交于点，则的最小值为（ ）A BCD2已知函数在处的切线与直线平行，则二项式展开式中的系数为（ ）ABCD3已知，若曲线上存在不同两点，使得曲线在点处的切线垂直，则实数的取值范围是（ ）

13、ABCD4已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）ABCD5设函数，其中， ，存在使得成立，则实数的值是（ ）ABCD6已知是定义在上的单调函数，满足，则在处的切线方程为（ ）ABCD7已知为曲线（且）上的两点，分别过作曲线的切线交轴于两点，若，则（ ）A BCD8如右图，直线与曲线交于两点，其中是切点，记，则下列判断正确的是（ ）A 只有一个极值点B有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C的极小值点小于极大值点，且极小值为D的极小值点大于极大值点，且极大值为9过点作曲线的切线最多有（ ）A条B条C条D条10设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，

14、则实数的最大值为（ ）ABCD11已知定义在上的函数，满足，且当时，若函数在上有唯一的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD12已知， 是函数图像上的两个不同点且在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（ ）ABCD13设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为（ ）A BCD14设直线分别是函数图象上点处的切线， 与垂直相交于点，且分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是（ ）ABCD15函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有（ ）A个B个C个D个16已知函数 ，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线（ ）A有条B有条C有条D有条17若曲线和上分别存

15、在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是（ ）ABCD18已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）ABCD19已知函数为偶函数，当时， 若直线与曲线至少有两个交点，则实数的取值范围是（ ）A BCD20若曲线 与曲线 存在公共切线，则的取值范围为（ ）A BCD21已知曲线在点处的切线为，若也与函数的图象相切，则满足（ ）（其中）ABCD22已知曲线: 与曲线: ,直线是曲线和曲线的公切线,设直线与曲线切点为,则点的横坐标满足（ ）ABCD23设函数的图象与直线有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大

16、值为，则（ ）ABCD24已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则（ ）ABCD25函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”设曲线上不同的两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A BCD26过点引抛物线的切线，切点分别为，若，则的值是（ ）A或B或CD27已知曲线在处的切线与抛物线相切，则抛物线的准线方程为（ ）ABCD28已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是 29若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为 30直线分别是函数图象上点处的切线， 垂直相交于点，且分别与轴相交

17、于点，则的面积为 31已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列的前项和为 32已知函数若直线与曲线都相切，则直线的斜率为 33设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 34在平面直角坐标系中，直线与函数和均相切（其中为常数），切点分别为和，则的值为 35过点与曲线相切的直线方程是 36若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为 37若曲线在处的切线斜率为，则数列的前项和 38曲线与曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，则的值为 39已知函数是偶函数，定义域为，且时， ，则曲线在点处的切线方程为 40已知函数设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点，记为函数的导数，则的值为 41若实数满足，则是最小值为 42已知函数，若关于的不等式有解，则实数为 43已知函数，分别，为图象上任意一点， 则的最小值为 44已知函数若存在使得有解，则实数为 273