艺术生高考数学专题讲义：考点43 双曲线.doc

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1、 考点四十三 双曲线知识梳理1双曲线的概念把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距用集合语言表示为：PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a|F1F2|，则点的轨迹不存在 2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称

2、轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)说明：在双曲线的标准方程中，决定焦点位置的因素是x2或y2的系数若x2系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上3双曲线与椭圆的区别(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|PF2|2a，而在双曲线中|PF1|PF2|2a； (2) 离心率范围不

3、同：椭圆的离心率e(0，1)，而双曲线的离心率e(1，)；(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2b2c2，ac；而在双曲线中c2a2b2， ca典例剖析题型一 双曲线的定义和标准方程例1设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_答案x2y21解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c，a1，则b2c2a21，所以双曲线C的方程为x2y21.变式训练 与椭圆C：1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为_答案1解析椭圆1的焦点坐标为(0，2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为1(m0，n0)，则，解得mn2.双曲线的标准方程为1.解题要点 求双曲线的标准方

4、程的基本方法是定义法和待定系数法在求解时，注意巧设方程，可以减少讨论以及计算的难度，一般来说：(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)，也可设为Ax2By21 (AB0)的离心率为2，则a_答案 1解析由题，c2a. c24a2，又c2a23，4a2a23，a21，a0， a1变式训练 若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.解题要点 1.注意双曲线中a，b，c的关系，在双曲线中c2a2b2， ca2. 注意离

5、心率公式及其变式运用，e，e .题型三 双曲线的渐近线例3设双曲线C经过点(2，2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_答案 1y2x解析 设双曲线C的方程为x2，将点(2，2)代入上式，得3，C的方程为1，其渐近线方程为y2x.变式训练 已知双曲线C：1的离心率为，则C的渐近线方程为_答案 yx解析 由双曲线的方程1知，双曲线的焦点在x轴上，()23，n，a2，b24，从而双曲线的渐近线方程是yx.解题要点 1.已知双曲线方程1，求渐近线时可直接将1换为0，解方程0求出渐近线2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求已知渐近线方程时，可得的值，于

6、是e212，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解.当堂练习1（2015广东理）已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为_答案1解析因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e，所以c5，a4，b2c2a29，所以所求双曲线方程为1.2（2015安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是_x21 y21 x21 y21答案解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选.3. （2015福建理）若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F

7、2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于_答案9解析由双曲线定义|PF2|PF1|2a，|PF1|3，P在左支上，a3，|PF2|PF1|6，|PF2|9.4（2015山东文）过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_答案2解析把x2a代入 1；得yb.不妨取P(2a，b)又双曲线右焦点F2的坐标为(c,0)，kF2P.由题意，得.(2)ac.双曲线C的离心率为e2.5（2015北京文）已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.答案解析由题意：c2，a1，由c2a2b2.得b2413，所以b.课

8、后作业一、 填空题1 （2015天津文）已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_答案x212（2015湖南文）若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_答案解析由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.3（2015新课标II理）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为_答案解析如图，设双曲线E的方程为1(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，

9、过M作MNx轴于点N(x1,0)，ABM为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点M(x1，y1)的坐标代入1，可得a2b2，e.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是_答案 1解析 由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c3.由离心率e，知，则a2，故b2c2a2945，所以双曲线C的方程为1.5已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_答案 yx解析 e，e2.a24b2，.渐近线方程为yxx.6（2015新课标理）已知M(

10、x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是_答案解析由双曲线方程可求出F1，F2的坐标，再求出向量，然后利用向量的数量积公式求解由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y0.7（2015重庆文）设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_答案1解析双曲线1的右焦点F(c,0)，左、右顶点分别为A1(a

11、,0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C，kA1B，又A1B与A2C垂直，则有kA1BkA2C1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k1.8（2015新课标II文）已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案y21解析由双曲线渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.9 （2015天津文）双曲线y21的焦距是_，渐近线方程是_答案2yx解析由双曲线方程得a22，b21，c23，焦距为2，渐近线方程为yx.10（2015湖南理）设F是双曲线C：1的一个焦点，若C上存在点P

12、，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_答案解析不妨设F(c,0)，则由条件知P(c，2b)，代入1得5，e.11（2015新课标文）已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_答案12解析设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周长最小即为|AP|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为1.与x21联立，解得P点坐标为(2,2)，此时S12.二、解答题12已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与

13、椭圆D有相同焦点，它的两条渐进线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解析 椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.13已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程解析 切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3xy0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.