2-5分式数列.pdf

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1、学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 112 专题专题 5分式数列分式数列 秒杀秘籍：第一讲 不动点与分式数列 10 111 nnnn n n n raqaapa qpa ra a或，分别取倒数，得： r p ra q a nn 1 1 （1）当qr 时， n a 1 是以 1 1 a 为首项， r p 为公差的等差数列 （2）当qr 时， rq p ar q rq p aar q a nn r q r p n r q r p n 11 1 1 1 1 11 可得：数列 rq p an 1 是以 rq p a 1 1 为首项， r q 公比的等比数列 2. dca baa a n n n 1 ，

2、不动点递推法，令：xaa nn 1 ，即0 2 bxdacx；解出两个根为, （1）当时， ca ca k a a k a a n n n n 1 1 ，数列 1 1 a a a a n n 是以为首项，k为公比的等比数列 （2）当时， dc c kk aa nn 11 1 ，数列 1 11 aan 是以为首项，k为公差的等差数列 注意：这个式子是不需要记忆的，只要算出不动点，代入去求公比或者公差即可 【例 1】已知数列 n a是首项为， 2 1 1 a满足, 3 , 2 12 3 1 1 n a a a n n n ，求 n a通项公式 【解析】 3 2 3 1 3 121 11 1 nn

3、n n aa a a ，) 1 1 ( 3 1 1 1 1 nn aa ， 1 3 1 1 1 n n a ， 13 3 1 1 n n n a. 【例 2】已知函数2 1 4 21 1 a x xf，数列 n a满足：, 3 , 2 1 nafa nn 求 n a的通项公式 【解析】 2 4 2)( x xf， 2 2 1 1 n n n a a a， 2 111 1 nn aa ， 2 1n an ， n an 2 【例 3】已知数列 n a是首项，3 1 a且, 2 , 1 2 43 1 n a a a n n n ，求 n a通项公式 【解析】由 2 43 x x x，得1, 4 21

4、 xx.所以 4 1 2 4 1 1 1 n n n n a a a a ， 4 1 n n a a 是以2为首项，2为公比的等 不数列， nn n n a a )2()2()2( 4 1 1 ，所以 n n n a )2(1 )2(1 2 . 【例 4】设数列 n a的前n项和 n S，若 1 12 2(2) , 3 nn n aSna S （1）求数列 n a的通项； （2）求 n S 【 解 析 】 因 为2 1 1 n nnnn S SSSa, 所 以 2 1 1 n n S S. 令 2 1 x x， 得1x. 所 以 1 1 1 1 1 1 nn SS ，21) 1(3 1 1 n

5、n Sn ， 2 1 n n Sn.故 )2)(1( 1 nn an， 3 2 1 a（舍） ， 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 113 故 2 ) 1)(1( 1 1 3 2 n nn n an 当 当 . 【例 5】已知数列 n a满足 n n a aa 22 2 , 2 2 11 （1）求 n a的通项； （2）若数列 n b满足1 1 aba nn ，求证： 2 2 1221 nnn bbb, 3 , 2n 【解析】 （1）由递推式 n n a a 22 2 1 ，得 x x 22 2 ，2x.所以 2 2 2 1 2 1 1 nn aa ， ) 1( 2 2 ) 2 2 () 1

6、(2 2 1 nn an ， 1 2 n n an. （2） n n n a a b n n 1 2 2 2 2 2 11 1 ，) 12 1 2 1 1 1 ( 2 2 1221 nnn bbb nnn 2 2 1 1 2 2 ) 1 1 1 1 1 1 ( 2 2 1 n n nnn n 个 . 秒杀秘籍：第二讲 分式数列比大小模型 构造 nf nf1 与 1 比大小，或者构造 nfnf1与 0 比大小，从而找到最大项 常见的放缩技巧： 0 111 m mqqmq nnn ； ) 1( 11 ) 1( 1 2 nnnnn ； 2 1 1 2 1 1 4 1 11 2 2 nnn n 【例

7、6】已知数列 n a是首项为 2 1 1 a，满足, 3 , 20 2 1 1 nSSa nnn （1）求： n a通项公式； （2）设 nn anb12，求 1 2 5 n n bn b nf的最大值和相应的n值； （3）, 2 1 2 3 2 2 nn bbbT, 3 , 2n， 求证1 n T 【解析】 （1）因为)2( 1 nSSa nnn ,代入原递推式，得0)( 2 1 11 nnnn SSSS两边同除以 1 nn SS，得 2 1 11 nn SS .即数列 n S 1 是以首项为 2、公差为 2 的等差数列.所以nn Sn 22) 1(2 1 ，即 nSn2 11 . 所以)2

8、( ) 1(2 1 1 n nn SSa nnn ，故 2 ) 1(2 1 1 2 1 n nn n an. （2）由已知得0 1 b， nnn nbn 1 ) 1(2 1 )1 (2 . 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 114 所以 9 1 522 1 5 1 4 ) 1( 1 1 4) 1(5) 1( 1 1 1 )5( 2 1 )( 2 n n n nn n n n nf，当且仅当 1 4 1 n n，即 1n时， 9 1 )( max nf. （3）1 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 ) 1( 1 32 1 21 1 ) 1( 1 3 1 2 1 222 nnnn

9、nn Tn. 【例 7】已知数列 n b是首项为 1，公差为 3 4 的等差数列，且 n naaa b n n 321 2 21 （1）求证： n a是等差数列； （2）数列 n c满足 2 2 2 2 2 2 21 654332211 , nnnnnn aaacaaacaacac n ，求 n c的通项； （3）设 3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 1 1111 n n cccc T，求证： 4 7 n T 【解析】 （1）根据题意得， n naaaa 321 32= n b nn 2 ) 1( ，令 n naaaaSn 321 32，则 )( 2 ) 1() 1( 2 )2( 2 )

10、 1( 2 ) 1( 11111 nnnnnnnnnnn bbbbn n bnbn n nb nn b nn SSna.故 )( 2 1 11 nnnnn bbbbna.又因为 n b是以 1 为首项、 3 4 为公差的等差数列，所以 3 1 3 4 3 4 ) 1(1nnbn， 3 4 1 nn bb.所以12 3 1 ) 1( 3 4 3 1 3 4 3 4 2 1 nnnnan，所以2 1 nn aa. )2( n，故 n a是等差数列. （2）设 n a的前n项和为 n S,则 2 21 naaaS nn .依题意有 322 ) 1() 1( ) 1(321321 2 ) 1( 2 )

11、 1( 22 n nnnn SS SSc nnnn nnn . （3） 4 5 , 1 21 TT,当3n时，) 1 1 1 () 3 1 2 1 ( 4 5 ) 1( 1 32 1 4 1 1 1 2 1 1 1 222 nnnnn Tn 4 71 4 7 n ，故 4 7 n T. 【例 8】（2019上海模拟） 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 1a ， 2* 1(nnn aSSnN ，2)n， 数列 n b满足 (1) * 2 12 2() n n n b bbnN （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）设 1 11 2 n n a nn c a

12、a ， n T是 n c的前n项和，求正整数m，使得对任意的 * nN，均有 mn TT； （3）设 1 122 | nn Bx xk bk bk b，且0 x ，其中 1 k， 2 k， 1 n k ， * 1(nN，2)n，求集 合B中所有元素的和 【解析】 （1） 1 1a ， 2* 1(nnn aSSnN ，2)n， 2 11nnn aSS ，相减可得： 22 11nnnn aaaa ， 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 115 化为： 11 ()(1)0 nnnn aaaa ， 1 0 nn aa ， 1 1 nn aa ， 又 2 221 aSS， 可得 2 22 20aa， 2

13、 0a ， 解得： 2 2a ， 21 1aa，数列 n a设等差数列，11 n ann 数列 n b满足 (1) * 2 12 2() n n n b bbnN 2n时， (1) 2 1 21 2 n n n bbb ，2n n b （2） 1 1111111 () 2(1)212 n n ann nn c a an nnn ， 11 (1) 1111111 22 (1) 1 223121 1 2 n n n T nnn 1 11 111111 () 22212(1)(2) nn nnn TT nnnn 3n时， 1nn TT 4n时， 1nn TT 当4m 时，使得对任意的 * nN，均有

14、 mn TT （3） 1 122nn xk bk bk b，且0 x ，其中 1 k， 2 k， 1 n k ， * 1(nN，2)n， 要使0 x ，则必须1 n k 其它 1 k， 2 k， 1 1 n k ， * 1(nN，2)n，可任取 1，1 证明：若1 n k ，则 1 2121 121 2(21) 22222222220 2 1 n nnnnn nn xkkkk ， 此时x恒为负数，不成立1 n k此时： 1 21 2(21) 2222220 2 1 n nnn x ， 故 1 k， 2 k， 1 1 n k ， * 1(nN，2)n，可任取 1，1 其它 1 k， 2 k， 1

15、 1 n k ， * 1(nN，2)n，可任取 1，1此时集合内的元素x共有 1 2n个互不相 同的正数 证明： 1 k， 2 k， 1 1 n k ， * 1(nN，2)n， 利用乘法原理可得：表示x的式子共有 1 2n个 下面证明这 1 2n个式子所表示的x互不相等，具体如下： 证明：假如这 1 2n个式子所表示的x存在相等的数， 1212 11212121 22222222 nnnn nn xkkkxkkk i k， 1 i k ， * 1(iN， 12)ni ，即满足 1 ii kk ， * 1(iN，12)ni 的第一组系数的下标数为m 则 12 112211 () 2() 2()

16、2() 2 mmm mmmmmm kkkkkkkk ， 而 121211 112211 |() 2() 2() 2|2 22 22224 |() 2 | 2 mmmmmmm mmmmmm kkkkkkkk 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 116 因此，假设不成立，即这 1 2n个式子所表示的x互不相等 这 1 2n个x互不相等的正数x（每个均喊2 ) n nn k b 由1 i k 或1(1i，2，1)n 等可能出现，因此所有(1 ii k b i ，2，1)n 部分的和为 0 故集合B中所有元素的和为所有2n nn k b 的和，即 121 2 22 nnn 【例 9】已知数列 n a是

17、首项为， 4 1 1 a , 3 , 2 21 1 1 n a a a n n n n （1）求证 n n a 1 1 是等比数列，并求 n a通项公式； （2）设 2 1 n n a b ，求数列 n b的前n项和 n S； （3）令 2 12 sin n ac nn ， n c的前n项和 n T，求证： 7 4 n T, 3 , 2n 【解析】 （1）由已知得 n nn n n n aa a a ) 1( 22) 1(1 11 1 ，所以) 1( 1 2) 1( 1 1 1 n n n n aa .令 n n n a x) 1( 1 ， 得 1 2 nn xx.所以 n x是以3) 1(

18、1 1 a 为首项、2为公比的等比数列， 故 n n a ) 1( 1 是 等比数列 1 )2(3 n n x，故 1 1 11 231 ) 1( ) 1(3) 1( 1 n n nn n a，即 1 1 231 ) 1( n n n a. （2）126492)231 ( 1 111 2 nnn n n a b，所以92643 21 21 6 41 41 9 nnS nn nn n . （3）因为 11 ) 1(2 231 1 231 ) 1( 2 ) 12( sin nn n n .所以 11 ) 1(2 231 1 231 ) 1( 2 ) 12( sin nn n nn n ac 当3n

19、时， 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 6 1 28 11 ) 23 1 23 1 23 1 ( 7 1 4 1 123 1 123 1 123 1 13 1 2 132121 n nn n T 7 4 6 1 28 11 ) 2 1 1 ( 6 1 28 11 2 n ，即 7 4 n T. 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 117 达标训练达标训练 1已知数列 n a是首项为1 1 a，满足 2 2 2,3, 21 n n n S an S （1）求 n a通项公式； （2）设 12 n S b n n ，求数列 n b的前n项和 n T 2已知数列 n a是首项为 2 1 1a

20、a a ，满足, 3 , 2 1 2 1 1 n a a a n n n ，求 n a通项公式 3已知函数 )2( 44 1 2 x x xf，点 1 1 , n n a a在曲线 xfy 上，且1 1 a （1）求 n a的通项公式； （2）设 1 11 1 nn n aa b，求数列 n b的前n项和 n T 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 118 4已知数列 n a是首项为1 1 a，满足 , 3 , 2 !1 ! 1 1 n nan an a n n n ，求 n a通项公式 5已知数列 n a满足：1 1 a，012 11 nnnn aaaan, 3 , 2n求 n a的通项公式

21、 6（2018广陵月考） 已知各项均不为 0 的数列 n a满足 1 1 99 a ， 1(2 1) nnn aaa ， 若 212221 11 n nnnn b aaa a ， 则当数列 n b的前n项和取得最大值时，n的值是（） A24B25C32D33 7 （2018广州一模）已知数列 n a满足 1 2a ， 2 1 21 nnn a aa ，设 1 1 n n n a b a ，则数列 n b是（） A常数列B摆动数列C递增数列D递减数列 8 （2018嵊州期末）设数列 n a的前n项和为 n S，已知 1 1 2 a ， 1 2 1 n n n a a a ，(*)nN，若 201

22、9 ( ,1)Sk k， 则正整数k的值为（） A2016B2017C2018D2019 9已知函数 x x xf 41 ，点 1 2, nn aaP在曲线 xfy 上，且， 5 5 1 a且 n a各项均为正数数列 nf a b n n （1）求 n a的通项公式； （2）设数列 n b的前n项和 n T，求证112nTn 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 119 10已知函数满足 11, 1 , 02f a xaxfbxxfax，且使 xxf2仅有一个实根 （1）求 xf； （2）数列 n a满足：1 1 , 3 2 11 n nnn a bafaa，求 n b； （3）在（2）的条件下

23、，证明 1 122 1 nn aba ba b 11 （2018丽水期末）已知数列 n a满足 1 1 2 a ， 11 21(*) nnn aaa nN （1）求 2 a， 3 a的值，并证明：数列 1 1 n a 是等差数列； （2）设数列 n b满足 2 (*) n n a bnN n ，求数列 n b的前n项和 n S 12已知数列 n b是首项; 2 7 11 11 nnn bbbb，数列 n a满足, 2 , 1 2 1 n b a n n （1）求证： 1 210 nn aa ； （2）求数列 n a， n b的通项 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 120 13已知数列 n

24、a满足 n n a aa 2 1 , 2 1 11 （1）是否存在常数k，使得数列 kan 1 成等差数列？若存在求出k和 n a的通项； （2）若,01lnxxx n S是数列 n a前n项和，求证： 2 2 ln n nSn 14 （2019汕头月考）已知数列 n a中， 1 1 2 a ， 1 (*) 23 n n n a anN a （1）求证： 1 1 n a 是等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）已知数列 n b，满足 (31) 2 n nn n n ba （i）求数列 n b的前n项和 n T； （）若不等式( 1) 2 n n n n T对一切*nN恒成立，求的取值范

25、围 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 121 15 （2018 秋宿迁期末）已知数列 n a各项均为正数， n S是数列 n a的前n项的和，对任意的 * nN都有 2 232 nnn Saa数列 n b各项都是正整数， 1 1b ， 2 4b ，且数列 12 , bb aa， 3, , n bb aa是等比数列 （1）证明：数列 n a是等差数列； （2）求数列 n b的通项公式 n b； （3）求满足 1 24 n n S b 的最小正整数n 16已知数列 n a满足, 1, 4 1 1 nn baa , 2 , 1 11 1 n aa b b nn n n （1）求 4321 bbbb

26、，； （2）求 n b的通项； （3） 12231nnn Sa aa aa a ， 1 4 nn aSnb 对于任意的*nN恒成立，求实数a的取值范围 学习数学领悟数学秒杀数学第二章数列 122 17（2019门头沟一模） 给定数列 n a， 若满足 1 (0aa a且1)a ， 对于任意的n， * mN， 都有 n mnm aa a ， 则称数列 n a为“指数型数列” （1）已知数列 n a， n b的通项公式分别为 1 5 3n n a ，4n n b ，试判断 n a， n b是不是“指数型数列”； （2）若数列 n a满足： 1 1 2 a ， 11 23(*) nnnn aa aa

27、nN ，判断数列 1 1 n a 是否为“指数型数列”，若是 给出证明，若不是说明理由； （3）若数列 n a是“指数型数列”，且 1 1 (*) 2 a aaN a ，证明：数列 n a中任意三项都不能构成等差数列 18.（2018镇江期末）设数列 n a是各项均为正数的等比数列， 1 2a ， 24 64a a 数列 n b满足：对任意 的正整数n，都有 1 1 122 (1) 22 n nn aba ba bn （1）分别求数列 n a与 n b的通项公式； （2）若不等式 12 1111 (1)(1)(1) 22221 n n bbbb 对一切正整数n都成立，求实数的取值范围； （3）已知 * kN，对于数列 n b，若在 k b与 1k b 之间插入 k a个 2，得到一个新数列 n 设数列 n 的前m项的和为 m T，试问：是否存在正整数m，使得2019 m T ？如果存在，求出m的值；如果 不存在，请说明理由