不定积分总结与拓展(1).pdf

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1、第四章 不定积分 大纲要求 会 求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 理解 原函数概念，不定积分和定积分的概念。 掌握 不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，换元积分法与分部积分法。 内容精要 （一） 基本概念 定义 3.1 设)(xf在区间 I 上有定义，若存在一个可微函数)(xF，使得对一切 ( )上的一个原函数在区间是则称都有IxfxFxfxFIx)(),()(,=。 定义3.2 若)(xf在区间I上存在原函数， 则 )(xf在区间I上的全体原函数称为)(xf 在区间 I 上的不定积分，记作 .)(dxxf （二）重要定理与公式 定理 3.1 若)()(

2、xfxF是在区间 I 上的一个原函数， 则)(xf在区间 I 的全体原函数为 dxxf)(=( )CxF+，CRC,是常数. 注：根据定义可知求出的)(xF的定义域至少要与)(xf的定义域一样。 基本积分表（略） 注：从不定积分表中可看出，求出不定积分形式可以不一样，如何验证所求不定积分的 正确性，只要把所求的不定积分求导看是否为被积函数即可. 不定积分性质 性质 1 =dxxfdxxfdxfdxxf dx d )()()()(或. 性质 2 +=Cxfxdf)()(或+=.)()(cxfdxxf 性质 3 若)(),(xgxf的原函数都存在，则 （i） =dxxgdxxfdxxgxf)()(

3、)()(； =0,)()()(为常数dxxfdxxfii. 注 1：从性质 2 可知不定积分是导数的逆运算，正是利用这一性质，寻找哪个函数的导 数为)(xf，则这个函数就是)(xf的一个原函数 注 2: 性质 2 告诉我们求不定积分的一个方法， 即如何把 )()(xdFdxxf表示成形 式，实际上就是),()(xdFdxxf=这正是微分的逆过程，从而可以利用我们所学的微分基本 公 式 ， 微 分 的 四 则 运 算 ， 尤 其 是 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ， 把 )(,)()(xfxdFdxxf从而求出了形式写成的不定积分。 1.凑微分（第一换元法） 利用一阶微分变性 存在的原函数

4、若 设 )()( )()()()()()( uFuf duufuxxdxfdxxxf= )()()(),()(xxfxFxdFudF=是知的一个原函数，由分析过程可知 定理（凑微分）设则可导,)(),()(xuufuF= =)()()()(xdxfdxxxfux =)(令 CxFcuFduuf+=+= )()()( 注：给一个不定积分dxxg )(，要想运用凑微分，关键是能否把被积表达式 dxxxfdxxg)()()(表示成的形式，并且要求 f(u)的原函数能求出来，在具体运用此 定理时，一般不引入中间变量 u)(就需要引入中间变量的原函数直接求不出来如果uf，而直接写出结果，即 +=cxFx

5、fdxxxfdxxg)()()()()(. 为了熟练运用凑微分，记住下列微分关系是必要的（其实就是求原函数）. 1.)0)( 1 +=abaxd a dx 6.)( 2 1 22 axdxdx= 2.)( 2 1 22 xadxdx= 7.xddx x ln 1 = 3.xddx x 2 1 = 8. xx dedxe= 4.xdxdxcossin= 9.xdxdxsincos= 5.xddx x arcsin 1 1 2 = 10.xddx x arctan 1 1 2 = + 2变量代换法 由一阶微形式的不变性知 )()()()()()()()()(tFttfdtttftdtftxdxxf

6、有原函数若可微若= )()()( 1 xdFtxtdF =严格单调若， t=)( 1 x 知由此得的一个原函数是,)()( 1 xfxF 定理（变量代换法）若)(tx=严格单调，可微，且)()()(ttftF=，则 cxFdxxf+= )()( 1 用变量代换求不定积分的具体步骤是 =)()(txdxxf令可导 )()(tdtfdtttf)()( cxFxtCtFtFttf+=+ )()()( )()()( 11 有原函数 变量代换适合被积函数中含有根式且不能直接求出， 也不能用线性运算法则或凑微分求 出时，则需用变量代换，目的是为了去掉根号，一般来说，当被积函数中含有 )(),(, 2 (

7、2 , 0,sec, ) 2 , 2 (,tan, 2 , 2 ,sin, 22 2222 txtxt dcx bax dcx bax Uttaxax ttaxxattaxxa nn = + + + + = =+= 令解得令令 令令 变量代换不仅适合于去根号，只要通过变量代换能求出原函数都可以用。 3分部积分 定理（分部积分法）若 =且也存在则存在且均可导,)()(,)()(,)(),(dxxvxudxxvxuxvvxuu .)()()()()()( =vduuvudvdxxvxuxvxudxxvxu，常写成 在具体运用这个公式时，关键是把被积函数表示成)()(xvxu的形式，而且目的是要把

8、)(xu转化，从而转化为求不定积分.)()( dxxuxv 分部积分适合下列情形，当xxpn是)(的 n 次多项式时， 1. = )0( 1 )( )( ae a dxpdx v e u xp ax n ax n . 2. +=+)0)(sin( 1 )()cos()(abax a dxpdxbaxxp nn . 3 . +=+)0)(cos( 1 )()sin()(abax a dxpdxbaxxp nn . 上面需要用 n 次分部积分. 在下列情形中，xxp是)(的多项式或其它x的表达式，当不能凑微分求出时，常常要用 分部积分 4.=)(,)(ln,)(ln)(xpvuxfdxxfxp令.

9、 5.)(,)(arcsin,)(arcsin)(xpvuxfdxxfxp= 令. 6.=)(,)(arctan,)(arctan)(xpvuxfdxxfxp令. 在求不定积分时，需要基本不定积分表（还有一些重要的不定积结果） ，线性运算法则， 凑微分，变量代换，分部积分综合运用。 重要的不定积分有 = + 222 )0( 1 a a adx xa c a x aa x d a x += + arctan 1 )( )(1 1 2 . .) 11 ( 2 1 )0( 1 .sinlnsin sin 1 sin cos cot .coslncos cos 1 cos sin tan 22 + +

10、 = += += dx xaxaa adx xa cxxd x dx x x xdx cxxd x dx x x xdx c xa xa a cxaxa a xad xa xad xaa + + =+=+ + + = ln 2 1 lnln 2 1 )( 1 )( 1 2 1 . 这些结果都要记住. 例 3.1.1 求xdxcsc. 解法一 =xd x dx x x dx x xdxcos cos1 1 sin sin sin 1 csc 22 .cotcscln sin cos1 ln cos1 )cos1 ( ln 2 1 cos1 cos1 ln 2 1 cos1 cos1 ln 2 1

11、 2 2 cxxc x x c x x c x x c x x +=+ =+ = + + =+ + = 解法二 =dx xx dx x xdx 2 cos 2 sin2 1 sin 1 csc +=c xx d x x d xx 2 tanln 2 tan 2 tan 1 2 2 cos 2 tan 1 2 .cotcscln sin cos1 lncxxc x x +=+ = 同理可求+=cxxxdxtanseclnsec，这两个结果要记住. 注：千万不要忘了加 C，加了 C 是一族原函数，不加 C 只是一个原函数，相差甚远。 例 3.1.2 求 + dx ax 22 1 （a0）. 解 令

12、taxtan=, 原式 = + =dt ta ta tda ata sec sec tan tan 1 2 222 +=.tanseclnsec sec sec ) 2 , 2 ( 2 ctttdtdt t t t ,tan a x t =由作出直角三角形,可知,sec 22 a xa t + =于是 原式acaxxc a x a xa lnlnln 22 22 +=+ + = )ln(ln 11 22 acccaxx=+=. 同理可得+= caxxdx ax 22 22 ln 1 。 这两个结果要记住. 注 1 在利用三角变换时,代换回原变量时,尽管可以三角公式,但有时很麻烦,一般根据 三角

13、变换,画出直角三角形,求出三角形的各边长,然后根据三角函数的定义,非常方便地求 出所需角 t 的三角函数。 注 2 在变量代换时，会遇到去绝对值，若绝对值中的式子，有时正，有时负，被积函 数是初等函数，这时可不妨设绝对值中的式子大于零，不影响求不定积分，一般说，结果是 一样的。 设 )(),(xQxP mn 分别是 n 次和 m 次多项式，称 )( )( xP xQ n m 为有理函数，当 mn 时，称 为有理真分式，当 mn 时，称为有理假分式，利用多项式除法，有理假分式可以化成多项 式与有理真分式之和。由于多项式的不定积分可用幂函数的不定积分与线性运算法则求出， 而有理真分式通过待定系数法

14、或赋值法可化为第一类最简分式与第二类最简分式之和. 第一类最简分式的不定积分 + + =+ = . 1 , )(1( , 1,|ln )( 1 nc axn A ncaxA dx ax A n n 第二类最简分式的不定积分 . 0 4, )( 2 2 + + + = + + 于是, 2 t p x=+ . )( 1 ) 2 ( )()( ) 2 )( 2222222 dt at MP Ndt at t Mdt at N p tM dx qpxx NMx nnnn + + + = + + = + + （ 而=+ + = + )( )( 1 2 1 )( 22 2222 atd at dt at

15、t nn + + =+ 1, )( 1 )1 ( 2 1 , 1,)ln( 2 1 122 22 nc atn ncat n 对于积分 + n at dt )( 22 可利用后面的例题的结果来计算，然后把 2 P xt+=代入,便可 求出我们还有下面的结果。 定理 一切有理函数的原函数总可以用多项式、有理函数、对数函数及反正切函 数表达出来，即有理函数的原函数一定是初等函数。 三角函数有理式的不定积分 由 )(),.,(),( 21 xuxuxu k 及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于 )(),.,(),( 21 xuxuxu k 的有理式，记作 R).(),.,(),( 21 xu

16、xuxu k 由于三角函数有理式 R（sinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx）=R(sinx,cosx)，所 以，我们只要讨论.)cos,(sindxxxR对于这类积分，我们可以利用变换 t=tan 2 x , x),(把它们转化为 t 的有理函数的积分，从而求得函数。这是因为 sinx=; 1 2 tan1 2 tan2 2 2 2t t x x + = + cosx=, 1 2 ;arctan2; 1 1 tan1 tan1 22 2 2 2 2 2 t dt dxtx t t x x = = + = + 故dt tt t t t RdxxxR 22 2 2 1 2 )

17、 1 1 , 1 2 ()cos,(sin + + = . 显然，上式右端是关于变量 t 的有理函数的积分。求出 t 的原函数后，只需将 t=tan 2 x 代 从理论上讲，对于,)cos,(sindxxxR利用上述变量代换总可以算出它的积分， 然而有时候会导致很复杂的计算。因此，对某些特殊类型的积分，可选择一些更简单 的变量代换，使得积分比较容易计算。 1.,cossinxdxx nm 其中 m,n 中至少有一个奇数（另外一个数可以是任何一个实数） 。 对这类积分，把奇次幂的三角函数，分离出一次幂，用凑微分求出原函数。 2.,cossinxdxx nm 其中 m,n 均是偶数或零 计算这类不

18、定积分主要利用下列三角恒等式： sin; 2 2cos1 2 x x = ; 2 2cos1 cos2 x x + = .2sin 2 1 cossinxxx= 降幂，化成 1 的情况来计算。 3. ,coscos,sinsin,cossinnxdxmxnxdxmxnxdxmx其中 m,n 是常数，且 m. n 计算这类积分，可利用下述积化和差公式 sinmxcosnx= 2 1 ;)sin()sin(xnmxnm+ sinmxsinnx=;)cos()cos( 2 1 xnmxnm+ xnmxnmnxmx)cos()cos( 2 1 coscos+= 4.)cos,cossin,(sin 2

19、2 dxxxxxR 令 tanx=t, 有 x=arctant. dx=dt t 2 1 1 + 2 2 2 1 sin t t x + = 2 1 cossin t t xx + = , 1 1 cos 2 2 t x + =于是 dt ttt t t t RdxxxxxR 2222 2 22 1 1 ) 1 1 , 1 , 1 ()cos,cossin,(sin + = 类型 1.1形如的积分（dx dax bax xR n ), + + 解题策略 令 n n t dcx bax t dcx bax = + + = + + 有,， 经整理得= + + = = dx dcx bax xRt

20、cta bdt x n n n ),(),(于是 。为变量的有理函数积分这样，就化成了以tdttttR,)( ),( 类型 1.2形如 的积分，dxcbxaxxR),( 2 + 解题策略 ：化成如下三种形式之一把cbxax+ 2 , )(,)(,) 222222 xkkxkx+（)0()+=pqpxx（其中的一次多项 式，k 为常数，能用凑微分就用凑微分，否则再用三角变换即可化三角函数有理式的不定积 分 从以上不定积分的计算中可以看出，求不定积分要比 求导数更复杂，更灵活。计算不定积 分的基础是利用基本积分、简单函数的不定积分、凑数分法、变量代换法及分部积分法。这 几种都是将所求的不定积分化成基本积分表中被积函数的形式， 从而求得不定积分， 我们将 一些常用的不定积分公式已在前面例子中给出， 并要求读者记住， 这些公式也是建立在基本 积分方法基础上的。在基本积分方法熟练掌握的基础上，要多做一些练习，才能熟能生巧， 最后还要指出，有些不定积分.