高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（湖南卷·理科）（附答案完全word版）.doc

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1、绝密启用前2008年普通高校招生统一考试湖南 (理数)试题与答案一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数（1+）3等于A.8 B.8C.8iD.8i (D)2“|x-1|2成立”是“x（x-3）0成立”的A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（B）3.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是A.2 B.5C.6D.8(C)4.设随机变量服从正态分布N(2,9),若P (c+1)=P(c,则c=A.1B.2C.3D.4(B)5.设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是A.若m,n

2、,则mnB.若m,n,m,n,则C.若，m,则mD.若，m，m,则m（D）6.函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是A.1B.C. D.1+(C)7.设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A)8.若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+) (B)9.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是A.2B.C.D. (C)10.设x表

3、示不超过x的最大整数（如2=2, =1）,对于给定的nN*,定义，x,则当x时，函数的值域是A.B.C.D.(D)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11.12.已知椭圆（ab0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于.13.设函数y=f(x)存在反函数y=f1（x）,且函数y=x-f(x)的图象过点(1,2).则函数y=f1(x)-x的图象一定过点 (-1,2) .14.已知函数f(x)（1）若a1,则f(x)的定义域是;(2)若f(x)在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.15.对有n(n

4、4)个元素的总体1,2,3,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2,，m和m+1、m+2,，n(m是给定的正整数，且2mn-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和f同时出现在样本中的概率，则P1m=;所有Pif(1ij的和等于 6 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：（）至少有1人面试合格的概率

5、;（）签约人数的分布列和数学期望.解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）P（B）P（C）.（）至少有1人面试合格的概率是（）的可能取值为0，1，2，3. = = 所以， 的分布列是0123P的期望17.（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.解 解法一（）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BECD,又A

6、BCD,所以BEAB.又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是解

7、法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），（）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB. ()易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是18.（本小题满分12分） 数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项

8、公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时， 19.（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里

9、/时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解 （I）如图，AB=40，AC=10，由于040=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt中，PE=QEsin=所以船会进入警戒水域.20.（本小题满分13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x02.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（

10、x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解：（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线l上，所以-ym而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是，代入中，

11、整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,l有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-1)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.21.（本小题满分13分）已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(I)求函数f(x) 的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解 （）函数f(x)的定义域是，设则令则当时， 在（-1，0）上为增函数，当x0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x0时，在上为减函数.故函数f(x)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知，设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为