第五章5.5函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（word含答案解析）.DOC

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1、5.5函数yA sin (x)的图象及三角函数模型的简单应用(教师独具内容)1体会从函数ysin x的图象到函数yA sin (x)的图象的变换过程：先分别考察参数，A对函数图象的影响，然后对yA sin (x)的图象整体考察这样借助具体函数图象的变化，领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归数学思想，培养学生观察、归纳、类比、联想等数学思想方法通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用2了解函数yA sin (x)的物理意义；能画出yA sin (x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型

2、，会用三角函数解决一些简单实际问题3重点提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析素养(教师独具内容)1本考点是历年高考命题常考的内容，属于中档题，主要以选择题或填空题的形式考查命题的重点是考查三角函数的图象和最值的相关问题，考查函数图象的变换，根据给出的两个函数图象确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题2考查方向主要是：(1)根据函数的图象确定函数的解析式，难点在于的确定，掌握两种方法，熟练应用；(2)三角函数模型的简单应用与实际问题相结合，对于生活中出现周期性的函数模型想到采用三角函数模型来描述(教师独具内容)(教师独具内容)1yA sin (x)的有关概

3、念yA sin (x)(A0，0，x0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相ATfx2用五点法画yA sin (x)(A0，0)一个周期内的简图用五点法画yA sin (x)(A0，0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x02xyA sin (x)0A0A0注：五点法作图的步骤：用“五点法”作函数yA sin (x)的简图，精髄是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.3由函数ysin x的图象变换得到yA sin (x)(A0，0)的图象的两种方法注：(1)两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸

4、缩变换)，平移的量是|个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位长度(2)变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“x”的变化(3)函数yA sin (x)k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)把ysin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为ysin x.()(2)将ysin 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin 的图象()(3)函数f(x)A sin (x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(4)如果

5、yA cos (x)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)2已知函数f(x)sin 2x，要得到函数g(x)sin 的图象，只需将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度答案B3函数y2sin 的振幅、频率和初相分别为()A2，4， B2，C2， D2，4，答案C解析由题意知A2，f，初相为.4如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yA sin (x)b，则这段曲线的函数解析式为 答案y10sin 20，x6，14解析从图中可以看出，从614时的是函数yA sin (

6、x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又102k，kZ，取，所以y10sin 20，x6，14.5已知简谐运动f(x)2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相为 答案解析将点(0，1)代入函数表达式可得2sin 1，即sin .因为|0)个单位，得到函数g(x)2sin 的图象，则m的最小值是()A B C D答案B解析把函数f(x)2cos 的图象向左平移m(m0)个单位，得到g(x)2cos 2cos 的图象，g(x)2sin 2cos 2cos 2cos ，由2m2k，kZ，得mk，kZ，m0，当k1时，m最小，此时m.例2已知函数f(

7、x)4cos x sin a的最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在0，上的图象解(1)f(x)4cos x sin a4cos xasin 2x2cos2xasin2xcos 2x1a2sin 1a的最大值为2，所以a1，最小正周期T.(2)由(1)知f(x)2sin ，列表：2x2x0f(x)2sin 120201图象如图所示：1.(2021广州测试)由y2sin 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为()Ay2sin By2sin Cy2sin Dy2sin 答案A解析由y2sin 的图象向左平移

8、个单位长度，可得y2sin 2sin 2sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin 的图象，故所得图象对应的函数解析式为y2sin ，故选A.2(多选)已知曲线C1：y3sin x，C2：y3sin ，则下列结论正确的是()A把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的

9、，纵坐标不变，得到曲线C2答案AC解析由C1：y3sin x变换到C2：y3sin ，若先伸缩后平移，则把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2.若先平移后伸缩，则把C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2.故选AC.1yA sin (x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标2由函数ysin x的图象通过变换得到yA sin (x)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”注意：(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数(2)要弄

10、清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数yA sin x到yA sin (x)的变换量是|个单位，而函数yA sin x到yA sin (x)时，变换量是个单位考点由图象确定yA sin (x)的解析式例3(2022蓉城名校联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)A sin (x)的部分图象如图所示，则()Ag(x)sin Bg(x)sin Cg(x)sin 2xDg(x)sin 答案C解析根据题图有A1，TT2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)s

11、in (2x)，由fsin 1sin 12k，kZ2k，kZ.因为|0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A.f(x)2sin Bf(x)2sin Cf(x)2sin Df(x)2sin 答案D解析由题图得，A2，T26(2)16，所以.所以f(x)2sin .由函数的对称性得f(2)2，即f(2)2sin 2，即sin 1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ).因为|，所以k0，.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin .4(多选)已知函数f(x)A sin (x4)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度

12、，得到函数g(x)的图象，则下列命题正确的是()A.函数f(x)的解析式为f(x)2sin B.函数g(x)的解析式为g(x)2sin C函数f(x)图象的一条对称轴是直线xD函数g(x)在区间上单调递增答案ABD解析由题图可知，A2，所以T4，解得，故f(x)2sin .因为图象过点C(0，1)，所以12sin 4，即sin 4.因为0，所以040)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为 答案解析因为f(0)f，且f(x)在上有且只有一个零点，所以直线x是f(x)图象的一条对称轴，所以k，kZ，所以6k2，kZ，所以T(kZ).由f(x)在上有且只有一个零点，得

13、，所以T，所以(kZ)，所以k0，0)只能同时满足下列三个条件中的两个：函数f(x)的最大值为2；函数f(x)的图象可由ysin 的图象平移得到；函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；(2)求方程f(x)10在区间，上所有解的和解(1)函数f(x)A sin 满足的条件为.理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数f(x)A sin 满足的条件之一，由可知，T，所以2，故不符合题意所以函数f(x)A sin 满足的条件为.由可知A2，所以f(x)2sin .(2)因为f(x)10，所以sin ，所以2x2k(kZ)或2x2k(kZ)，

14、即xk(kZ)或xk(kZ)，又因为x，所以x的取值为，所以方程f(x)10在区间，上所有解的和为.三角函数图象与性质综合问题的求解思路(1)将函数整理成yA sin (x)B(0)的形式；(2)把x看成一个整体；(3)借助正弦函数ysin x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题考点三角函数的实际应用例7摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱

15、离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)A sin (t)B(其中A0，0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值解(1)由题意可知H(t)A sin (t)B(A0，0)，摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，得解得A40，B5

16、0.又函数周期为30，所以H(t)40sin 50(0t30)，又t0时，H(t)10，所以1040sin 50，即sin 1，可取，所以H(t)40sin 5040cos t50(0t30).(2)H(t)40cos t5030，cos t，解得t5或t25，所以游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟后，距离地面的高度恰好为30米(3)由题意知相邻两个座舱到达最低点的时间间隔为分钟，游客甲、乙中间相隔5个座舱，则游客乙在游客甲之后5分钟进入座舱，若甲在摩天轮上坐了t(5t30)分钟，则游客乙在摩天轮上坐了t5分钟，所以高度差为h40cos t50404040cos ，因为5t30，所以t，当t，即

17、t10时，h取得最大值40.例8(2021山东省八所重点中学联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.(1)求t时，A，B两点间的距离；(2)若yy1y2，求y关于时间t(t0)的函数关系式，并求当t时，y的取值范围解(1)连接AB，OA，OB(图略)，当t时，xOA，xOB，所以在AOB中，AOB.又OA1，OB2，所以在AOB中，由余弦定理得AB21222212cos 7

18、，即A，B两点间的距离为.(2)依题意，y1sin ，y22sin 2t，所以ysin 2sin 2tcos 2tsin 2tcos ，即函数关系式为ycos (t0)，当t时，2t，所以cos ，故当t时，y.7.某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10cos tsin t，t0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ，则在哪段时间实验室需要降温？解(1)因为f(t)102102sin ，又0t24，所以t11时实验室需要降温由(1)得f(t)102sin ，故有102sin 11，即sin .又0t24，因此t

19、，所以10t0，函数ycos 的图象向右平移个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则的最小值为()A B C D答案B解析函数ycos 的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为ycos cos ，其图象与函数ysin xcos ，kZ的图象重合，2k，kZ，即6k，kZ，又0，的最小值为，故选B.6.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)A sin (x)的图象已知函数g(x)的部分图象如图所示，则()A函数f(x)的最小正周期为，最大值为2B函数f(x)的最小正周期为，图象关于点中心对称C函数f(x)的最小正

20、周期为，图象关于直线x对称D函数f(x)的最小正周期为，在区间上单调递减答案D解析对于g(x)，由题图可知，A2，T4，所以3，则g(x)2sin (3x)，又由g2，可得32k，kZ，所以2k，kZ，而|0)，若f(0)f0，且f(x)在上有且仅有三个极值点，则()Af(x)的最小正周期为Bf(x)在区间(kZ)上单调递增Cf(x)在区间上的最小值为D将g(x)sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到yf的图象答案ABD解析因为f(0)，f(0)f0，所以fsin ，所以2k1或2k1(k1Z)，所以4k1或24k1(k1Z)，当x时，因为0，所以x，要使f(x)在上有且只有三个极值点，需

21、，即.综上，6，所以f(x)sin ，其最小正周期为，A正确；令2k26x2k2，k2Z，则x，k2Z，所以f(x)在区间(k2Z)上单调递增，B正确；当x时，6x，因为sin ，sin，所以f(x)在区间上的最小值为，C错误；将g(x)sin 2x的图象向右平移个单位长度可得到ysin f的图象，D正确故选ABD.三、填空题13将函数ysin x的图象向右平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 答案ysin 14(2022无锡模拟)若函数ycos (2x)(0)的图象向右平移个单位长度后，与函数ysin 的图象重合，则 答案解析把函数yc

22、os (2x)(0)的图象向右平移个单位长度后，得到ycos (2x)的图象由题意知cos (2x)sin ，即sin sin ，由0知，即.15.已知函数f(x)2sin (x)的部分图象如图所示，则 ，函数f(x)的单调递增区间为 答案2(kZ)解析由图象知，则最小正周期T，即，则2，f(x)2sin (2x).由22k，kZ，又|，所以，则f(x)2sin .令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数f(x)的单调递增区间为(kZ).16一半径为4 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间(1)当t5 s时，点P离水面的高度为 m；(2)将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的