高三数学寒假作业12.docx

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1、高三数学寒假作业12一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|ylg（x+1），By|y2x，xR，则AB（）A（1，0）B（1，+）CRD（，0）2已知i是虚数单位，i1是关于x的方程x2+px+q0（p，qR）的一个根，则p+q（）A4B4C2D23“cos0”是“为第二或第三象限角”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件42013年5月，华人数学家张益唐的论文素数间的有界距离在数学年刊上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小

2、于7000万的素数对，这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（）A110B421C415D155已知函数f（x）sin（2x-3），则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于点（3，0）对称Cf（x）在（2，1112）上单调递增D512是f（x）的一个极值点6已知ab0，若logab+logba=52，abba，则ab=（）A2B2C22D47函数f

3、（x）=6cosx2x-sinx的图象大致为（）ABCD8已知点P（m，n）是函数y=-x2-2x图象上的动点，则|4m+3n21|的最小值是（）A25B21C20D4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分92019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（）A第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B第一季度居民人均收入为4900元C第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多D第一季度居民在居住项目的人均消费

4、支出为1029元10如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）A没有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH为定值11已知P为双曲线C：x23-y21上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则（）A若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k23Bmn=12C4m+n的最小值为3D|AB|的最小值为3212对xR，x表示不超过x的

5、最大整数十八世纪，yx被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）AxR，xx+1Bx，yR，x+yx+yC函数yxx（xR）的值域为0，1）D若tR，使得t31，t42，t53，tnn2同时成立，则正整数n的最大值是5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（x-1x）6的展开式中二项式系数最大的项的系数为 （用数字作答）14在平行四边形ABCD中，AB3，AD2，点M满足DM=2MC，点N满足CN=12DA，则AMMN= 15已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，直线3xy+43=0过点F

6、1且与C在第二象限的交点为P，若POF160（O为原点），则F2的坐标为 ，C的离心率为 16三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA14，ABC是边长为23的正三角形，D1是线段B1C1的中点，点D是线段A1D1上的动点，则三棱锥DABC外接球的表面积的取值集合为 （用区间表示）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在S4是a2与a21的等差中项；a7是S33与a22的等比中项；数列a2n的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题已知an是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，_（1）求an；（2）设bn（3

7、4）nan；是否存在kN，使得bk278？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abcosC=3csinB（1）求B；（2）若a2，且ABC为锐角三角形，求ABC的面积S的取值范围19（12分）如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AM=2MA1，CN=2NC1（1）求证：AN平面MB1D1；（2）若AB2AD2，BAD60，AA13，求NB1与平面MB1D1所成角的大小高三数学寒假作业12（答案解析）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

8、是符合题目要求的1已知集合Ax|ylg（x+1），By|y2x，xR，则AB（）A（1，0）B（1，+）CRD（，0）【解答】解：Ax|x1，By|y0，ABR故选：C2已知i是虚数单位，i1是关于x的方程x2+px+q0（p，qR）的一个根，则p+q（）A4B4C2D2【解答】解：i1是关于x的方程x2+px+q0（p，qR）的一个根，根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：i1也是原方程的一个虚根i1+（i1）p，（i1）（i1）q，解得：p2，q2则p+q4故选：A3“cos0”是“为第二或第三象限角”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：

9、cos02+2k32+2k，kZ“为第二或第三象限角或x轴的负半轴上的角”“cos0”是“为第二或第三象限角”的必要不充分条件故选：B42013年5月，华人数学家张益唐的论文素数间的有界距离在数学年刊上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对，这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（）A110B421C

10、415D15【解答】解：不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，共6个，在不超过16的素数中任意取出不同的两个，基本事件总数n=C62=15，可组成孪生素数包含的基本事件有：（3，5），（5，7），（11，13），共3个，可组成孪生素数的概率P=315=15故选：D5已知函数f（x）sin（2x-3），则下列结论正确的是（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于点（3，0）对称Cf（x）在（2，1112）上单调递增D512是f（x）的一个极值点【解答】解：函数f（x）sin（2x-3），所以：函数的最小正值周期为22=，故选项A错误当x=3时f（3）sin（23-3）=320，故

11、选项B错误当x（2，1112）时，2x-3(23，32)，满足单调递减区间，故选项C错误当x=512时，f（512）=sin2=1，函数取得最大值，在图象的两侧单调性相反，故选项D正确故选：D6已知ab0，若logab+logba=52，abba，则ab=（）A2B2C22D4【解答】解：对abba两边取以a为底的对数，得logaab=logaba，即balogab，同理有：ablogba，代入logab+logba=52，得ba+ab=52，因为ab0，所以ab1，所以ab=2，ba=12，故选：B7函数f（x）=6cosx2x-sinx的图象大致为（）ABCD【解答】解：f（x）=6cos

12、(-x)-2x-sin(-x)=-6cosx2x-sinx=-f（x），所以函数为奇函数，排除选项B和C；函数f（x）在右侧的第一个零点是x=2，取x12，则cos10，0sin11，f(1)=6cos12-sin10，排除选项D，故选：A8已知点P（m，n）是函数y=-x2-2x图象上的动点，则|4m+3n21|的最小值是（）A25B21C20D4【解答】解：由y=-x2-2x，得（x+1）2+y21（y0）令x+1cos，ysin，0，得x1+cos，ysin，点P（m，n）是函数y=-x2-2x图象上的动点，则4m+3n214（1+cos）+3sin213sin+4cos255sin（+

13、）25，（tan=43）当5sin（+）5时，|4m+3n21|取最小值20故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分92019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（）A第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B第一季度居民人均收入为4900元C第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多D第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元【解答】解：由2019年第一季度居民人均消费支出的情况饼图，得：对于

14、A，第一季度居民人均消费支出约为4419%31633元，故A正确；对于B，第一季度居民人均支入为4419%=4900元，故B错误；对于C，第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多，占比31%，故C正确；对于D，第一季度居民在居住项目的人均消费支出为：4419%21%=1029元，故D正确故选：ACD10如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（）A没有水的部分始终呈棱柱形B水面EFGH所在四边形的面积为定值C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行D当容器倾斜如图

15、（3）所示时，AEAH为定值【解答】解：因为容器的左侧面与右侧面平行，在容器倾斜的过程中，没有水的部分始终满足棱柱的结构特征，故没有水的部分始终呈棱柱形，A正确；在容器倾斜的过程中，水面成矩形面，长度EF不变，宽度EH变化，则水面EFGH所在四边形的面积变化，故B错误；A1C1AC，在倾斜的过程中，AC与水面相交，则A1C1与水面所在的平面相交，故C错误；因为水的体积是不变的，而高始终是EF也不变，因此底面的面积也不变，即AEAH是定值，故D正确故选：AD11已知P为双曲线C：x23-y21上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B，记线段PA，PB的长分别为m，n，则（）A若PA，PB

16、的斜率分别为k1，k2，则k1k23Bmn=12C4m+n的最小值为3D|AB|的最小值为32【解答】解：如右图所示，设P（x0，y0），则x023-y02=1由题设条件知：双曲线C的两渐近线：l1：y=33x，l2：y=-33x设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1=-3，k2=3，所以k1k23，故A选项正确；由点线距离公式知：|PA|m=|3x0-3y0|23，|PB|n=|3x0+3y0|23，mn=|3x02-9y02|12=912|x023-y02|=34，故B选项错误；4m+n4nm=432=23，所以C不正确；由四边形AOBP中，所以APB120，|AB|=PA2+PB

17、2-2PAPBcosAPB=m2+n2-2mn(-12)3mn=32，所以D正确，故选：AD12对xR，x表示不超过x的最大整数十八世纪，yx被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）AxR，xx+1Bx，yR，x+yx+yC函数yxx（xR）的值域为0，1）D若tR，使得t31，t42，t53，tnn2同时成立，则正整数n的最大值是5【解答】解：当x1时，xx+1，不成立，故A错误；由“取整函数”定义可得，x，yR，xx，yy，由不等式的性质可得x+yx+y，所以x+yx+y，B正确；由定义x1xx，所以0xx1，所以函数f（x）xx的

18、值域是0，1），C正确；若tR，使得t31，t42，t53，tnn2同时成立，则1t32，42t43，53t54，64t65，nn-2tnn-1，因为64=32，若n6，则不存在t同时满足1t32，64t65，只有n5时，存在t53，32）满足题意，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（x-1x）6的展开式中二项式系数最大的项的系数为20（用数字作答）【解答】解：（x-1x）6的展开式中二项式系数最大的项的系数为-C63=-20，故答案为：2014在平行四边形ABCD中，AB3，AD2，点M满足DM=2MC，点N满足CN=12DA，则AMMN=0【解答】解：如图，由

19、题可得AM=AD+DM=AD+23DC，MN=MC+CN=13DC+12DA=13DC-12AD，所以AMMN=（AD+23DC）（13DC-12AD）=13ADDC-12AD2+29CD2-13DCAD=-12AD2+29CD2=-124+2992+20，故答案为：015已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，直线3xy+43=0过点F1且与C在第二象限的交点为P，若POF160（O为原点），则F2的坐标为（4，0），C的离心率为3-1【解答】解：因为直线3xy+43=0过点F1，令y0，可得x4，即F1（4，0），所以右焦点F2（4，0），因为POF160

20、可得直线PO的方程为：y=-3x，联立y=-3x3x-y+43=0解得x2，y23，即P（2，23），将P代入椭圆可得4a2+12b2=1，c216a2b2，可得a216+83，b283，所以椭圆的离心率e=ca=42(3+1)=3-1故答案分别为：（4，0），3-116三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA14，ABC是边长为23的正三角形，D1是线段B1C1的中点，点D是线段A1D1上的动点，则三棱锥DABC外接球的表面积的取值集合为25，32（用区间表示）【解答】解：由题意可得该三棱锥的外接球的球心在该三棱柱上下底面中心的连线O1O2上，设球心为O，球的半径为R则OAODR，

21、过球心O作DD的垂线交于H，则可得DHOO2为矩形，OOHD，HODO2，由于三角形ABC的边长为23，所以BC边的中线为3223=3，所以底面外接圆的半径为233=2，所以DO20，2，O1O24，在ODH中，OD2OH2+DH2DO22+（4HD）2DO22+（4OO2）2；在AOO2中，OA2OO22+AO22OO22+4，由可得8OO2DO22+1212，16，所以OO232，2，所以R2OA2（OO22+4）254，8，所以三棱锥DABC外接球的表面积S4R225，32，且当D与O1重合时R最小为52，当D与A1重合时R最大为22，故答案为：25，32四、解答题：本题共6小题，共70

22、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在S4是a2与a21的等差中项；a7是S33与a22的等比中项；数列a2n的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题已知an是公差为2的等差数列，其前n项和为Sn，_（1）求an；（2）设bn（34）nan；是否存在kN，使得bk278？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【解答】解：（1）an是公差d为2的等差数列，若选S4是a2与a21的等差中项，可得2S4a2+a21，即有2（4a1+6d）2a1+21d，即为6a19d18，解得a13；若a7是S33与a22的等比中项，可得a72=13S3a22，即（a1

23、+62）2=13（3a1+32）（a1+212），即（a1+12）2（a1+2）（a1+42），解得a13；若选数列a2n的前5项和为65，可得a2+a4+a1065，即5a1+（1+3+5+7+9）d5a1+25d5a1+5065，解得a13；综上可得an3+2（n1）2n+1，nN*；（2）bn（34）nan（2n+1）（34）n，由bn+1bn（2n+3）（34）n+1（2n+1）（34）n=5-2n4（34）n，当n1，2时，可得bn+1bn0，即b3b2b1；当n3，nN*时，可得bn+1bn0，即b3b4b5，则bn的最大项为b3=18964，由18964278，可得不存在kN，使

24、得bk27818（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且abcosC=3csinB（1）求B；（2）若a2，且ABC为锐角三角形，求ABC的面积S的取值范围【解答】解：（1）abcosC=3csinB，由正弦定理可得：sinA=3sinCsinB+sinBcosC，又sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，3sinCsinB+sinBcosCsinBcosC+cosBsinC，可得：3sinCsinBsinCcosB，B，C（0，），sinC0，可得tanB=33，可得B=6（2）ABC为锐角三角形，所以B=60C2056-C2，解得3C2，因为a2，由

25、正弦定理得2sinA=bsinB=csinC，即2sin(56-C)=b12=csinC，b=1sin(56-C)，c=2sinCsin(56-C)，所以S=12bcsinA=12bcsin(56-C)=sinCsin(56-C)=sinC12cosC+32sinC =tanC12+32tanC =112tanC+32，tanCtan3=3，12tanC+32(32，23)，112tanC+32(32，233)ABC的面积S的取值范围为(32，233)19（12分）如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，AM=2MA1，CN=2NC1（1）求证：AN平面

26、MB1D1；（2）若AB2AD2，BAD60，AA13，求NB1与平面MB1D1所成角的大小【解答】（1）证明：取AM的中点F，连接C1F，连接A1C1交B1D1于E，则E为A1C1 的中点，又M为A1F的中点，MEC1F，再由AFC1N，且AFC1N，可得四边形ANC1F为平行四边形，得ANC1F，则ANME，又ME平面MB1D1，AN平面MB1D1，AN平面MB1D1；（2）解：以D为坐标原点，分别以DC、DD1所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系由AB2AD2，BAD60，AA13，得M（32，-12，2），B1（32，32，3），D1（0，0，3），N（0，2，2），MB1=(0，2，1)，MD1=(-32，12，1)，B1N=(-32，12，-1)设平面MB1D1 的一个法向量为n=(x，y，z)由nMB1=2y+z=0nMD1=-32x+12y+z=0，取y1，得n=(3，-1，2)设NB1与平面MB1D1所成角的大小为，则sin|cosn，B1N|=|nB1N|n|B1N|=434+14+13+1+4=1NB1与平面MB1D1所成角的大小为2