ch1-1线性方程组的基本概念.pdf

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1、第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 1 线性方程组的基本概念线性方程组的基本概念 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 引例引例 我国古代数学家张丘建在他的算经我国古代数学家张丘建在他的算经 中提出了著名的“百钱买百鸡问题”：中提出了著名的“百钱买百鸡问题”： 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三， 值钱一值钱一.百钱买百鸡，问母、翁、雏各几何？百钱买百鸡，问母、翁、雏各几何？ 123 123 1 53100 3 100 xxx xxx 解解：不妨设公鸡、母鸡

2、、小鸡各：不妨设公鸡、母鸡、小鸡各x1, x2, x3只，只， 则有：则有： 一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 线性方程线性方程：方程中未知量的次数是一次的多项式方程。方程中未知量的次数是一次的多项式方程。 在该方程中，只有加法和数乘这两种运算。在该方程中，只有加法和数乘这两种运算。 123 532100 xxx 由由m个方程，个方程，n个未知量的个未知量的线性方程线性方程联立在一起，联立在一起， 形成一个形成一个mn线性方程组：线性方程组： 11 112211 21 122222 1 122 (1)

3、nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 如：如： 一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 其中其中称为称为系数系数， 1 21 2 ij ai, ,m; j, ,n 称为第称为第 个方程的个方程的常数项常数项.1 2 i b i, ,mi : ij aij第 个方程第 个 未知量的系数 11 112211 21 122222 1 122 (1) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 一、线性方程组的概念一、线性方

4、程组的概念 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 若常数项均为若常数项均为0，则称方程组为，则称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组， 否则否则 ，称为，称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组 . （Non-homogeneous system) （Homogenous system） 11 112211 21 122222 1 122 (1) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb 一、线性方程组的概念一、线性方程组的概念 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等

5、变换 二、线性方程组的解二、线性方程组的解 方程组的一个方程组的一个解解，指，指n个常数个常数 1122 , nn xc xcxc 带入线性方程组后，带入线性方程组后， 使每一个方程称为恒等式。使每一个方程称为恒等式。 一个方程组的解可能存在，也可能一个方程组的解可能存在，也可能 唯一存在，或唯一存在，或 有无穷多个。有无穷多个。 方程组（方程组（1 1）的所有解的集合，称为它）的所有解的集合，称为它 的的解集合解集合。如果两个方程组有相同的解。如果两个方程组有相同的解 集合，称这两个方程组是集合，称这两个方程组是同解同解的。的。 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消

6、元法和矩阵的初等变换 12 12 3 (I) 1 xx xx 12 12 3 (II) 1 xx xx 12 12 222 (III) 1 xx xx 考察以下三个线性方程组：考察以下三个线性方程组： (2,1) 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 唯一解唯一解无解无解无穷多解无穷多解 二、线性方程组的解二、线性方程组的解 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 三、线性方程组的线性组合三、线性方程组的线性组合 （1）线性方程的加法线性方程的加法 将两个线性方程将两个线性方程 的左右两边相加得到的如下新的线性方程：的左右两边相加得到的如下

7、新的线性方程： 称为原来两个线性方程称为原来两个线性方程(1)和和(2)的和的和. . 11112211 , nn a xa xa xb(1) 21122222nn a xa xaxb(2) 112111222221212nn aaxaaxaaxbb 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 将线性方程将线性方程 1122nn a xa xa xb 两边同乘以已知常数两边同乘以已知常数， 1122 . nn axaxaxb 线性方程与常数相乘，也称为线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘方程的数乘. . (3)(3)线性方程的线性组合线性方程的线性组合

8、将线性方程将线性方程(1)和和(2)分别乘两个已知常数分别乘两个已知常数 再将所得的两个方程相加，得到新方程：再将所得的两个方程相加，得到新方程： 12 , 得到一个新的线性方程：得到一个新的线性方程： (2)(2)线性方程乘常数线性方程乘常数 三、线性方程组的线性组合三、线性方程组的线性组合 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 (3) 11122111122222 aaxaax 11221 122 , nnn aaxbb 称为原来两个方程称为原来两个方程(1)和和(2)的一个的一个线性组合线性组合，1 2 , 称为这个线性组合的系数称为这个线性

9、组合的系数. . 将将(1)和和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一看作一个线性方程组，其任意组解一 定是线性组合定是线性组合(3)的解的解. . 对给定的两个线性方程组对给定的两个线性方程组(I) 和和(II)，如果如果(II)中的每个方程都是中的每个方程都是(I)中方程的线性中方程的线性 组合，就称组合，就称(II)是是(I)的线性组合的线性组合. . 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 若方程组若方程组(I)和和(II)互为线性组合，则称这两个互为线性组合，则称这两个 方程组等价，方程组等价， 等价的线性方程组一定等价的线性方程组一定同解

10、同解. 将方程组将方程组(I)变成方程组变成方程组(II)的过程称为的过程称为同解变换同解变换. 12 12 3 (I) 1 xx xx 12 2 3 (II) 22 xx x 如下两个方程组等价，因此同解。如下两个方程组等价，因此同解。 三、线性方程组的线性组合三、线性方程组的线性组合 第一章第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 四、线性方程组的基本问题四、线性方程组的基本问题 存在性：如何判别一个线性方程组有解？存在性：如何判别一个线性方程组有解？ 唯一性（数量性）：若一个线性方程组唯一性（数量性）：若一个线性方程组 有解，如何判别它有唯一解，还是无穷有解，如何判别它有唯一解，还是无穷 多解？多解？ 求解：求解： 如果一个线性方程组有解，如果一个线性方程组有解， 如何求解、表示出该线性方程组的全部解？如何求解、表示出该线性方程组的全部解？