§9.5 运气问题.pdf

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1、9.5 运气问题运气问题 一、问题背景 1. 很多人都议论过运气问题。你在抽奖游戏中抽到了奖品，是你的 运气好；你买彩票中奖了，也是你的运气好。这样的运气都是很容易 理解的随机现象，不必深究。 2. 但很多人在打牌时常遇到手气连续好或不好的现象。为了解释这 类现象，文学家发出了这样的感慨：这就是命运，这就是机会，这就 是冥冥中的一只手。 问题：问题：我们可否用概率论的工具与分析、研究一下，牌类游戏中连续 抓到好牌或连续抓到臭牌的概率呢？ 二、模型建立 1. 为方便解释运气现象，在某牌类游戏中，我们用“1”表示抓到了 好牌，用“0”表示抓到了臭牌。进行100局游戏，我们得到一下数据： 00010

2、111010110111010111110010110000001110000101111 11011001111110000010010111010101011100110100010100 000,0,0,0,0,0,0,00,0,000000,0000,0,0,00,00000,00,0,0, 2. 我们把连续的“0”称为“0-游程”，其中“0”的个数称为 “游程长度”。在上述记录中，0-游程依次为： 游程长度分别为：3,1,1,1,1,1,1,2,1,6,4,1,1,2,5,2,1,1 问题问题：计算游程个数和游程长度的概率。 证明证明：我们将盒子连起来，用 1 表示盒子的公共边，用

3、0 表示球， 则每一种放球方法对应于一个长为 + 1 的 01 -数列。因为 我们需从其中选出 个位置放 0 ，故共有 +1 种不同放法。 命题命题1 1. 将 个不可区分的球放入 个可区分的盒子，共有 +1 种不同放法。若保证每个盒子都有球，则有 1 1 种不同放法。 三、游程个数的概率分布 若要求每个盒子里均非空，则此问题等价于将 个不可区分 的球放入 个盒子。不同的放法数为 +1 = 1 1 种。 (0 1 00 1 1 0 1 1 0 1) 证明证明：此问题等价于将 个不可区分的球放入 个可区分的盒子， 使得每个盒子中至少有一个球，共有 1 1 种不同放法。 命题命题2 2. 对于 ,

4、方程 1+ 2+ + = 的正整数解共有 1 1 组。 命题命题3 3. 独立重复投掷一枚硬币 次,得到了 个反面。用 1 和 0 分 别表示正反面，依次记录下由 1 和 0 构成的有限序列。用 表示 0 游程的个数，则 = = 1 1 +1 ,1 . 证明证明：将记录看成是由 0 和 1 构成的有限序列。恰好有 个 0 和 个 1 构成的不同序列共有 个。 用 表示从左至右第 个 0 游程的长度。因为 0 游程有 个,故 再用 表示左至右第 个 0 游程的长度。因为 1 游程穿插于 0 游 程之间共有 + 1 个，故 1+ 2+ + +1= , 2 1,3 1, 1, 1 0,+1 0. 1

5、+ 2+ + = , 1. 由 命题命题2 2 我们知，此方程有 1 1 组不同解。 引入 则有 = = 1 1 +1 , 1 . = + 1, = 1 或 + 1, ,2 . 1+ 2+ + +1= + 2, 1. 由 命题命题2 2 我们知，此方程有 +1 组不同正整数解。所以有 在模型建立之初，我们进行了100场牌类游戏，并记录下了抓到 好牌与抓到臭牌的分布情况。 在这组数据中 = 100, = 47，用 R 表示 0 游程的个数，则经计算 16 1.57 104, 17 21 0.059, 22 29 0.891, 30 34 0.048, 35 1.03 104. 000101110

6、10110111010111110010110000001110000101111 11011001111110000010010111010101011100110100010100 在上述数据中 = 26，还是比较合理的！ 四、游程长度的分布 用 表示 次独立重复投掷硬币时，1 构成游程的最大长度，经推导 = =1 +1 (1)+1 + 2 1 2 +1 . 参考：Sheldon M.Ross, A First Course in Probability, 6thEd. 100 3 0.999 7 100= 3 0.027 0 100 4 0.972 7 100= 4 0.162 6 100 5 0.810 1 100= 5 0.264 0 100 6 0.546 1 100= 6 0.228 6 100 7 0.317 5 100= 7 0.147 3 100 8 0.170 2 100= 8 0.082 6 从这张表格中我们可以看出：进行100局牌类游戏，出现连胜5 局或连败5局的概率是最大的。并且我们可以以81%的概率保证，进 行100局游戏时，会出现连胜5局以上或连败5局以上。 谢 谢！