ppt3-轴向径向摆.pdf

《ppt3-轴向径向摆.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ppt3-轴向径向摆.pdf（24页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1/题目介绍2/初步实验3/理论分析4/实验验证5/总结6/参考文献 目录 / CONTENTS Part 1.题目介绍 11. Azimuthal-Radial Pendulum 3 11.Azimuthal-Radial Pendulum Fix one end of a horizontal elastic rod to a rigid stand. Support the other end of the rod with a taut string to avoid vertical deflection and suspend a bob from it on another s

2、tring. In the resulting pendulum the radial oscillations (parallel to the rod) can spontaneously convert into azimuthal oscillations (perpendicular to the rod) and vice versa. Investigate the phenomenon. 11. 轴向径向摆 一将水平弹性杆的一端固定在刚性支架上。用拉紧的绳子来支撑 杆的另一端以避免垂直的偏转，然后在线的另一端悬挂一个物体 （如图）。在生成的摆动上，径向振荡（平行于杆）可以自发的

3、转 化为轴向振荡（垂直于杆），反之亦然。研究这一现象 关键词：弹性杆；避免垂直的偏转；径向振荡; 自发地转化 Part 2.初步实验 4 实验装置图 铁架台 拉紧的绳子 弹性杆 悬线 摆球 图1.径向摆实验装置图 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 2.初步实验 5 实验现象 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 2.初步实验 6 定性现象： （1）径向释放摆球不久会有横向运动参量 （2）弹性杆会出现横向振动 （3）摆球的运动轨迹具有混沌的特点 主要探究内容： （1）摆球混沌运动构成的轨迹 （2）微小改变实验参数得到的轨迹变化

4、（3）各方向上摆球的运动规律 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 3.理论分析 7 参数说明： 参数对应的物理意义 摆线长度(23.46cm) 摆球质量(36g) 动能 势能 弹性杆有效长度(30.50cm) 摆球横向坐标 摆球径向坐标 摆球竖直坐标 杆悬点横向坐标 切变模量(0.44N/m） l m T V a x y z q 11. Azimuthal-Radial Pendulum n 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 8 求解杆的能量 任意时刻杆的动能： 设杆的线密度为，取微元线积分： 任意时刻杆的势能： 由弹性杆的伯努利-欧拉定律

5、： 得到切变弹性势能密度： 2 0 2 1 6 )( 2 1 q a dmq a r T a R YIM 1 2 2 1 a q nU (1) (2) (3) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 9 其中n为切变模量： 表征切胁量与切变角的比值。 从而得到杆的势能： 求解摆球的能量： 任意时刻摆球的动能： 任意时刻摆球的势能： )1(2 Y n a q nSV 2 1 2 1 2 2 2 1 mvT mgzV 2 (4) (5) (6) (7) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示

6、意图 x y z Part 3.理论分析 10 从上述分析建立直角坐标系，得到： 摆球位置矢量： 杆悬点位置矢量： 从而得到悬线长度对z的约束方程： 求时间一阶导，得到摆球速度表达式： ),( 1 zyxr )0 ,0 ,( 2 qr 2222 )(lzyqx zyxv, (8) (9) (11) (12) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 11 联立上式得拉格朗日函数： 应用主动力均为保守力的拉格朗 日方程，列写三个自由度下的动力学方 程： 其中的拉格朗日函数表达式为： VTL (13) (14) 11. Azi

7、muthal-Radial Pendulum q L q L dt d (15) 图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 12 11. Azimuthal-Radial Pendulum 利用拉格朗日乘子法代入约束条件： 得到摆球的三个方向的运动方程和 杆的自由度方程描述如下： (16) (17) (18) (19) (20) 下面将对上述分析结果进行数值计 算仿真。图2.模型示意图 x y z Part 3.理论分析 13 由于该非线性方程中自由度x的变 化非常大，不再适宜用微扰法进 行线性近似。此处利用 MATHEMATICA对上述公式进行 数值作图如图1。 T:运行时间 k

8、:弹性杆切变模量 :摆线长度 :初始释放位置 :初始释放速度（置零） 下面对其图像性质进行分析。 0 l )0(),0( r )0(),0( , r 图3.径向摆的理论图像 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 3.理论分析 14 将该不可积系统的哈密顿函数 表示为如下形式之后： 联立上式，利用KAM定理得到： 在0c1时的弱扰动下，系统 的运动轨道是稳定的。若要使之出 现完全不可预测的随机运动，需要 破坏以下两个条件： （1）不可积的扰动较小 （2）H中可积的H0满足非共振条件： 代入可解谐振子的H0得条件(2) 恒成立，从而图案是稳定的。 ),()( 10

9、JHJHH 1 H 0 ),( ),( 321 321 JJJ fff (21) (22) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 图2.模型示意图 x y z Part 4.实验验证 15 1.摆球运动轨迹的分析 (1)实验方法的阐述 图6.装置图 （参数如前设置) 图7.轨迹追踪截图 （via tracker) 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 4.实验验证 16 1.摆球运动轨迹的分析 (2)摆球在横向和径向的运动轨迹 图8.摆球的方位轨迹 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 4.实验验证 17 1

10、.摆球运动轨迹的分析 (3)摆球轨迹形成的混沌时序图 图9.装置图 （参数如前设置) 图10.摆球的实验轨迹图案 （via excel) 500.00 400.00 300.00 200.00 100.00 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 400.00300.00200.00100.000.00100.00200.00300.00 摆球的实验轨迹图案 从理论轨迹与实验轨迹的对比可以看出在一定条件下摆球的运动轨迹 可以由上述理论很好解释。 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 4.实验验证 18 2.摆球混沌时序图特点的实验验证

11、(1)改变初始释放的侧倾角 图11. 30初始角 （其他参数同前) 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 4002000200400 30初始角的实验轨迹图 500.00 400.00 300.00 200.00 100.00 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 400.00300.00200.00100.000.00100.00200.00300.00 近零角度初始角的实验轨迹图案 图12.极小初始角 （其他参数同前） 改变倾斜角视为对系统的初始状态的微小扰动，可以发现轨迹 图案基本不发生变化，但图案凹陷处形状将由初始释放角

12、度决定。 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 4.实验验证 19 2.摆球混沌时序图特点的实验验证 (2)改变摆球质量 图13.30g摆球轨迹图 （质量的微小改变） 500.00 400.00 300.00 200.00 100.00 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 400.00300.00200.00100.000.00100.00200.00300.00 30g摆球的实验轨迹图案 400 350 300 250 200 150 100 50 0 120100806040200 69g摆球的实验轨迹图案 图14.69g摆球轨

13、迹图 （质量的较大改变） 轻微改变摆球质量只对图案最终衰减的密集程度有影响，而 对整体图案没有影响；大幅改变摆球质量将对轨迹时序图产生较 大破坏，与第二个结论相符合。 11. Azimuthal-Radial Pendulum Part 4.实验验证 20 2.摆球混沌时序图特点的实验验证 (3)改变悬线长度 图15.l=23.46cm的摆球 轨迹图（其他参数同前) 11. Azimuthal-Radial Pendulum 500.00 400.00 300.00 200.00 100.00 0.00 100.00 200.00 300.00 400.00 400.00300.00200.0

14、0100.000.00100.00200.00300.00 近零角度初始角的实验轨迹图案 将摆线长度改为 l=16.50cm且不改变其余参 数时摆球作完全类似单摆的 运动，微小的偏移无法用 tracker进行追踪。 从而说明：大幅改变摆 线长度将对轨迹时序图产生 很大影响，从另一个角度证 明了理论的第二个结论。 Part 5.总结 21 我们利用了分析力学对径向摆的运动轨迹进行了解释。 通过完整的实验设计对比了理论轨迹与实验函数。 通过实验确定了径向摆图案的一些性质。 微小改变运动状态将影响轨迹时序图的细节性质，大幅 改变实验条件将通过破坏方程的适定性大幅改变图案。 11. Azimuthal

15、-Radial Pendulum Part 6.参考文献 22 1.Chaos in a Pendulum with Forced Horizontal Support Motion:a Tutorial.R. Van Dooren.Vol. 7, No. 1, pp. 77-90（1996） 2.A pendulum with a moving support point.Gabriela Gonzalez (2006) 3.Some Problems of the Motion of a Pendulum When There Are Horizental Vibration of The

16、 Point of Suspention.O. V. KHOLOSTOVA.Voi. 59, No. 4, pp. 553-561(1995) 4. 朗道，栗弗席兹.力学（第五版），高等教育出版社（2013）4. 朗道，栗弗席兹.力学（第五版），高等教育出版社（2013） 5. 梁昆淼，数学物理方法（第四版），高等教育出版社（2010）5. 梁昆淼，数学物理方法（第四版），高等教育出版社（2010） 11. Azimuthal-Radial Pendulum 谢谢大家！ 正方总结报告 24 复现了题目要求的摆球运动方向变化的现象 运用了分析力学对其进行了合理的理论解释 径向摆的方向转化呈现混沌现象 该混沌呈现的图案与初始状态有关，但具有一定稳定性 大幅改变实验的参数将对最终轨迹图案的稳定性产生破坏 利用理论与实验结合验证了如下观点 11. Azimuthal-Radial Pendulum