大学课件 概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率.ppt

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1、概率论与数理统计,据说有个人很怕坐飞机，说是飞机上有恐怖分子放炸弹。他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一。百万分之一虽然很小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从不坐飞机。 可是有一天有朋友看到他在飞机场，感到很奇怪，就问他，你不是说飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能性是百万分之一，有两颗炸弹的可能性是百万的平方分之一，也就是说只有万亿分之一，这已经小到可以忽略不计了。朋友说这数字没错，但两颗炸弹与你坐不坐飞机有什么关系？ 他得意的说：当然有关系了，不是说同时有两颗炸弹的可能性很小吗？我现在自带一颗，如果飞机上另外再有一颗的话，这飞机上就同时有两颗炸

2、弹，而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心的去坐飞机了。,坐飞机的故事,Monty Hall problem,你面前有三扇关闭的门（1、2、3），其中一个门后面有一辆轿车，另两个门后面是山羊。 主持人让你任选一扇你认为后面是轿车的门，假设你选择1号门。 你选择1号门之后，主持人打开了一扇有山羊的门，假设这是3号门。 这时，主持人给你一个机会：你可以改选2号门，也可以坚持原来的选择1号门。 请问：你是否改选2号门？说明原因。,Monty Hall problem,概率的起源,概率的历史源于中世纪的赌博问题。 意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为“ problem of poi

3、nts”的赌博问题。 1654年，帕斯卡Pascal的朋友， 一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人 们所知道的“ 德美尔”问题，帕斯卡与 朋友费尔马书信交流，成为概率论的实 质性出发点。,概率的起源,“ 德美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押32个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这时赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？,概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的专门学科。,概率论：对随机现象有基本认知的前提下，进行演绎推理；,数理统计：试图通过实验来认知随机现象。处理问题的思路往往来自概率论的有关结果

4、。,用确定的数学研究非确定的现象。,以确定的数学为工具：排列组合，高等数学（单变量微积分，多变量微积分），线性代数；,研究非确定的现象：例如天气预报，数理金融，控制论，质量检测与管理，寿险精算，甚至赌博，有着非常大的应用价值。,广泛应用于日常生活和工业生产,第一章 随机事件与概率,随机现象与随机事件 概率的定义 条件概率与独立性,试验：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面向上。 试验：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。观察所出现的点数 试验：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命,这些试验具有如下特点： 1）试验可以在相同的条件下重复进行 2）试验可能出现的所有结果种类已

5、知 3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试验结果必是所有可能结果中的某一个 具有这些特点的试验称为随机试验。,随机现象与随机试验,1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。 3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性。,说明：,！,概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性,每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。,样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用表示。,样本点：样本空间的元素称为样本点，常用表示。,样本空间与随机事件,试验：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的 点数。 1，2，3，4，5，6,试验1和试验2的样

6、本空间只含有有限个元素，称为有限样本空间。 试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样本空间。,试验：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命 0，+)=xR0 x +,试验：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规定带有国徽图案的是正面。 正面，反面,随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。 在一次试验中，当试验结果事件A时，称这次试验中事件A发生。 否则，当试验结果事件A时，称这次试验中事件A不发生。,两种特殊的随机事件：,必然事件：样本空间在每次试验中均会发生，故称为必然事件。,不可能事件：空集在每次试验中均不会发生，故称为不可能事件。,不能再分解的

7、事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。 注意：基本事件是相对的，不是绝对的。,也可这样定义：,基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或简单事件。,例：,在下列试验中，试用集合表示下列事件。,解：,出现偶数点=2，4，6。,1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。,出现偶数点是一个复合事件。它可分解为更简单的事件， 出现偶数点 =出现点出现点出现点 但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。,2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。灯泡寿命大于100小时的事件。,解:灯泡寿命大于100小时100,1、事件的包含,如果事件A发生，

8、事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为：,B,A,文氏图,例如：B出现偶数点，A出现点,一、事件的关系,2、事件的相等,如果事件A与事件B互相包含，即 则称事件A等于事件B。记为：AB,B,3、事件的互斥,如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。记为：AB,如事件A1，A2,，An任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的,简称互斥。即有 AiAj= ，1ijn,A,4、事件的对立,所谓事件与事件为对立事件，就是指与不同时发生，但必发生一个。 由定义AB AB 记BA，则BA,例如：出现偶数点，出现奇数点；与互为对立事件。,1、事件的

9、积,事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。记为AB或AB。,当A、B互为对立事件时，有：AB，AB 。,可列多个事件的积事件,例如：出现点或点，出现点或点；则出现2点,二、事件的运算,2、事件的和,事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有一个发生。记为AB。 例如：出现点或点，出现点或点；则AB 出现偶数点,当A、B互斥时，AB可记为AB。 n个事件A1，An的和 是指这n个事件中至少有一个发生。 如果事件A1，A2，An两两互斥,则 如果事件A1，A2，An两两互斥,且A1+A2+An，则称这n个事件构成互斥完备群。,可列多个事件的和事件,解: (1) (2) (3),例：设、为

10、任意三个事件，写出下列事件的表达式： （例1.1.6） 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。,或,或,某射手向目标射击三次，用 表示第 次击中目标， 试用 及其运算符表示下列事件：,（1）三次都击中目标：,（2）至少有一次击中目标：,（3）恰好有两次击中目标：,（4）最多击中一次：,（5）至少有一次没有击中目标：,（6）三次都没有击中目标：,例：,3、事件的差 事件与事件的差，是指发生，不发生。 由定义AB，AA 例如：出现点或点，出现点或点；则出现点,对于任意三个事件、，满足下列运算： 1)、交换律AB=BA AB=BA 2)、 结合律 (AB)C= A

11、(BC) (AB)C=A(BC) 3)、分配律 A (BC)= ABAC A(BC)= (AB)(AC) 4)、 对偶律,三、事件的运算法则,1.2 概率的定义,概率的统计定义 概率的古典定义 概率的几何定义 概率的公理化定义,频率的定义,设事件在次试验中出现了次，则比值r/n称为事件在次试验中出现的频率。,概率的统计定义,概率的统计定义,在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件出现的频率总是在区间0，1上的一个确定的常数附近摆动，并且稳定于，则称为事件的概率，记作P(A)。,古典概型的随机试验要求满足下两条件： 有限性。只有有限多个不同的基本事件。 等可能性。每基本事件出现的可能性相等。,概

12、率的古典定义,在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总数为，事件所包含的基本事件（样本点）个数为r(rn)，则定义事件的概率P(A)为r/n。即,古典概率,例 袋中有3只白球2只红球，先从袋中任取两只球，试求以下各事件的概率.,A=取得的两只球都是白球 B=取得的两只球都是红球 C=取得的球1只为白球一只为红球,P(A)=3/10, P(B)=1/10, P(C)=6/10,概率的几何定义,向某一区域随机投点，则点M落入的某一部分A的概率,注意：随机投点是指M落入内任一处均是等可能的。,A,M,几何概率,例(约会问题) 两人相约在7点到8点间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时即离去.

13、试求这两人会面的概率.,解： 两人都在7点到8点间的任意时刻到达，亦即在0,60的任意点到达，设x和y分别为两人到达的时刻，则两人到达的时刻为二维区域0,60 0,60内的所有点，而两人能会面当且仅当 x-y20 所以 P两人能会面=,古典概率：试验结果要求有限、互不相容、等可能,几何概率：落入区域G内任一点是等可能的。,统计概率：要求作大量重复试验。,前面学了三种概率定义，各有其局限性。,概率的公理化定义,事件域,事件域,由样本空间的一些子集构成的集合F，如果满足如下条件：,则称F为一个事件域。,F中的元素称为随机事件，为必然事件， 为不可能事件.,概率的公理化定义,设是样本空间，AF，P(

14、A)是A的实值函数，且满足如下三条公理，则称P(A)是A的概率。,公理1,公理2,公理3,对任一事件有：0P(A)1,P()=1,对于n个两两互斥的事件A1，A2，An，有 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An),1)、非负性 对任一事件有：0P(A)1 2)、规范性 P()=1 3)、可加性 若事件与互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B),概率的性质,对于n个两两互斥的事件A1，A2，An，有 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) 如果构成互斥完备群，则P(A1)+P(A2)+P(An)1,对一列两两互斥的事件A1，A2，An，有,4)、P()0,

15、证明：对任一事件A，AA 则P(A)=P(A)=P(A)P()P()=0,证明：,（单调性）,证明：,7)、对于任意事件、，有P(AB)=P(A)P(AB),证明：,8)、对于任意事件、，有P(AB)=P(A)P(B)P(AB) （加法公式）,证明：AB=A+(BAB) P(AB)=P(A+(BAB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB),9)、上下连续性,(I),(II),例 一个箱子中装有36只灯泡，其中32只为一等品，4只为二等品，现从中任取3只，试求取出的3只灯泡中至少有1只为二等品的概率.,解：,1.3 条件概率与独立性,条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式

16、事件独立性 独立试验概型,条件概率也是概率 条件概率满足概率性质,说明：,对事件A、B，若P(B)0，则称,为事件A在事件B发生下的条件概率。,条件概率,思考：利用条件概率的定义，推出P(AB)与P(A) 的大小关系。,乘法公式,定理1,类似地：,一般地：,证明:,例 盒子中装有10只晶体管，4只坏的6只好的.现从盒中任取两次，一次取出一只，第一次取出的不放回. 若已知第一次取出的是好的，试求第二只也是好晶体管的概率. 试求两次取出的都是好晶体管的概率.,解：,例 在一副扑克牌中无放回地任取4张扑克牌，试求以下事件的概率. 取出的扑克依次为黑桃，红桃，梅花和方块. 取出的扑克各花色恰有一个.

17、取出的扑克全是黑桃.,解：,全概率公式,定理 设B1，B2，Bn 是一组两两互斥的事件，且,则对任一事件A都有,(2) P(Bi)0 i=1,2,，n；,注意：） P(Bi)0(i=1,2,n) 条件哪里用到？ ）没有此条件，行吗？,根据两两互斥事件的加法性质，得,证明：,定理可以推广到可列多个的情况,例 袋中有大小相同的a个白球、b个黄球。现做不放回地摸球两次，问第2次摸得黄球的概率?,解: 设A表示“第2次摸得黄球” B1=第1次摸得的是黄球 B2=第1次摸得的是白球,例 某工厂有四条生产线制造同一种产品，已知各生产线的产量占总产量的15%，20%，30%和35%，并且已知各生产线的产品不

18、合格率分别为0.05，0.04，0.03和0.02.现从该工厂的这一产品中任取一件，试求取得的产品为不合格品的概率.,解：,贝叶斯公式,则 对任一具有正概率的事件A，有,定理,(2) P(Bi)0 i=1,2,，n；,设B1，B2，Bn是一组两两互斥的事件，且,证明：,定理可以推广到可列多个的情况。,例(系统维护人员配置问题) 某无线电话运营商同时担负3种制式的通话网络. 通过市场调查知，无线电话使用者中用各种网络电话卡的百分比分别为30%，45%和25%，且各种网络出现故障的概率分别为0.3%，0.2%和0.4%. 为最大限度地保证网络出现故障时有维护人员及时抢修，问该如何配置维护人员的百分

19、比.,解：,例 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。一射手用矫正过的枪射击，中靶率为0.9；用未校正过的枪射击，中靶率为0.4。 （1）该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？ （2）若任取一支枪，结果未中靶，求该枪未校正的概率。,解：,定义1 若两事件，满足 P(AB)P(A)P(B) ，则称事件、(或、)相互独立。简称独立。,定义即使在 P(A)=0 或P(B)=0时，仍然适用。 必然事件及不可能事件与任何事件均是独立的。,由定义可得：,事件的独立性,定理 若对事件，；， ； ，； ， 中有一对是相互独立的，则另外三对事件是相互独立的（即这四对事件或者都相互独立，或者都不相互独立）。

20、,证明：,(1) 因为，事件相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),(2),(3),又,(4),所以，A、B事件相互独立。,事件的独立性概念可以推广到有限个事件的情形。,定义 设 是n个事件，若对所有可能的组合 成立,则称,相互独立。,定理 设n个事件A1，A2，An相互独立，那么，把其中任意m(1mn) 个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。,例 一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性；由元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。设构成系统的每个元件的可靠性均为p(01)个元件按图及图所示的两种联接方式构成两个系统，试求它们的可靠性，并比较两个系统可靠性的

21、大小。,图 系统,解： 设,图 系统,计算系统的可靠性： 它有两条通路，在每条通路中，当且仅当该通路上所有元件都能正常工作时，该条通路才能正常工作，因为系统由两条通路并联而成，因此，只要有一条通路能正常工作，则系统就能正常工作。,所求的系统的可靠性为：,因为各元件能否正常工作是相互独立的，得,则系统中每对并联元件所组成的子系统的可靠性为,下面计算系统的可靠性：,系统是由 n 个子系统串联而成，所求系统的可靠性为：,注： 我们可以证明 R2R1,当0f(1)0 即 R2R1,如n重独立试验还满足： 每次试验只有两个结果。 即只有两个可能事件与 , 且 。 则这n重独立试验又称为n重贝努利(Ber

22、noulli)试验或称为贝努利概型。,独立试验概型,做n个完全重复条件的试验，且满足两个条件： (1)每次试验条件相同； 因此各次试验中同一个事件出现概率相等； (2)各次试验结果相互独立； 满足这两个条件的n次重复试验，称为n重独立试验。,n重独立试验,例 某批产品的不合格率为p.现从该批产品中有放回地任意抽取5次，每次取1件.试求以下事件的概率. (1) A=前两次抽得合格品后三次抽得不合格品. (2) B=抽得产品中恰有两件不合格品. (3) C=抽得产品中至少有1件不合格品.,解：,定理 （二项概率公式） 设一次试验中，事件出现的概率为P(A)=p (0p1)，则在n重伯努利试验中，事

23、件出现的次数X的分布律为,也记作 b(k；n，p),当n次试验中事件在指定的k次试验中出现（下式是前k次出现），在其余nk 次试验中不出现的概率为,证明 :,再由试验结果的独立性得,由于n重贝努利试验中出现k 次的方式：就是至n 的n个自然数中取出 k个数的一种组合，即共有 个事件。而这些事件是两两互斥的，故根据概率的可加性可得,注：1)由于上式刚好是二项式(p+q)n的展开式中第k+1项的系数，故我们把它称为二项概率公式。,2),显然：,解: 把每个病人服此药当作一次试验，试验结果只有“治愈”或“未治愈”且是相互独立的，故可用贝努利概型计算，所求概率为：,例 设某种药物对某种疾病的治愈率为0.8，现有10个患这种病的病人同时服用此药，求其中至少有人被治愈的概率。,例 n个人每人携带一件礼品参加联欢会，联欢会开始后， 先把所有的礼物编号，然后每个人各抽一个号码，按号码 领取礼品，求： （1） 所有参加联欢会的人都得到别人的礼品的概率； （2）恰有 r 个人取回自己的礼品 的概率.,解: (1)设A表示“所有参加联欢会的人都得到别人的礼品”，,例 电影院的票价为每张5元，今有m+n个人排队购票，设 有m人持有5元币，其余n 人只有10元币. 若每人限 购一张票，且售票处没有准备零币，求无人等待找钱的概率.,解:,所以，没有人等待找钱的概率为,