2022年八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题 .pdf

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1、反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式xky（k 为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数2能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数xky（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题4对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型5进一步理解

2、常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法（三）重点难点1重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用2难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握二、基础知识名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -（一）反比例函数的概念1xky（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2xky（）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数xky的自变量，故函数图象与 x 轴

3、、y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数xky的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为 0，且 x 应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式：xky（）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在

4、双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图1，设点 P（a，b）是双曲线xky上任意一点，作PAx 轴于 A 点，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -PBy 轴于 B 点，则矩形 PBOA 的面积是k（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是k21）如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作 QCPA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为k2图1 图2 5说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，

5、不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题三、例题分析1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -Ay=3x By-3=2xC3xy=1 Dy=x2（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）ABCD答案：

6、（1）C；（2）A2图象和性质（1）已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k=_ 若 y 随 x 的增大而减小，那么k=_（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数xaby的图象位于第 _ 象限（3）若反比例函数xky经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第 _象限（4）已知 a b0，点 P（a，b）在反比例函数xay的图象上，则直线不经过的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（5）若 P（2，2）和 Q（m，）是反比例函数xky图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象

7、限D第二、三、四象限（6）已知函数和xky（k 0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）ABCD答案：（1）1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B3函数的增减性（1）在反比例函数xky(k0 所以当 x0时，这个反比例函数值y 随 x 的增大而减小4解析式的确定（1）若与x1成反比例，与z1成正比例，则 y 是 z 的（）A正比例函数B反比例函数C一次函数D不能确定名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -（2）若正比例函数 y=2x 与反比例函数xky的图象有一个交点为（2，m），则m=_，k=_，它们的另一个交点为 _（3）已知反比例函数x

8、my2的图象经过点，反比例函数xmy的图象在第二、四象限，求的值（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数xmy1（）的图象在第一象限内的交点为 P（x 0，3）求 x 0的值；求一次函数和反比例函数的解析式（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 _，自变量 x 的取值范围是_；药物燃烧后 y 关于 x 的函

9、数关系式为 _ 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_ 分钟后，学生才能回到教室；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得（4）依题意，解得一次函数解析式为，反比例函数解析式为（5），；30；消毒时间为（分钟），所以消毒有效5面积计算（1）如图，在函数xy3的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、y 轴

10、作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -分别为、，则（）ABCD第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B 是函数xy1的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC/y 轴，BC/x 轴，ABC 的面积 S，则（）AS=1 B1S2 CS=2 DS2（3）如图，RtAOB 的顶点 A 在双曲线xmy上，且 SAOB=3，求 m 的值第（3）题图第（4）题图（4）已知函数xy4的图象和两条直线y=x，y=2x 在第一象限内分别相交于P1和 P2两点，过 P1分别作 x 轴、y 轴的垂线 P1Q1，P1R

11、1，垂足分别为Q1，R1，过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小（5）如图，正比例函数y=kx（k0）和反比例函数xy1的图象相交于A、C两点，过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连接 BC，若ABC 面积为 S，则S=_ 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -第（5）题图第（6）题图（6）如图在 RtABO 中，顶点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，ABx 轴于 B 且 SABO=求这两个函数的解析式；求直线与双

12、曲线的两个交点A、C 的坐标和 AOC 的面积（7）如图，已知正方形OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点 A、C 分别在x 轴、y 轴上，点 B 在函数xky（k0，x0）的图象上，点 P（m，n）是函数xky（k0，x0）的图象上任意一点，过P 分别作 x 轴、y 轴的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -垂线，垂足为 E、F，设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以外的部分的面积为S 求 B 点坐标和 k 的值；当时，求点 P 的坐标；写出 S 关于 m 的函数关系式答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），矩形 O Q 1P1 R 1 的周

13、长为 8，O Q 2P2 R 2 的周长为，前者大（5）1（6）双曲线为，直线为；直线与两轴的交点分别为（0，）和(，0)，且 A(1，)和 C（，1），因此面积为 4（7）B（3，3），；时，E（6，0），；6综合应用（1）若函数 y=k1x（k1 0）和函数xky2（k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则 k1和 k2（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -A互为倒数B符号相同C绝对值相等D符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数xmy的图象交于 A、B 两点：A（，1），B（1，n）求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出使一次函数的

14、值大于反比例函数的值的x 的取值范围（3）如图所示，已知一次函数（k 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数xmy（m 0）的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于 x 轴，垂足为 D，若 OA=OB=OD=1 求点 A、B、D 的坐标；求一次函数和反比例函数的解析式（4）如图，一次函数的图象与反比例函数xky的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于A、B 两点，连结 OC，OD（O 是坐标原点）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -双曲线上是否存在一点P，使得POC 和POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由（5）不解方程，判断下列方程解的个数；答案：（1）D（2）反比例函数为xy2，一次函数为；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -范围是或（3）A（0，），B（0，1），D（1，0）；一次函数为，反比例函数为xy2（4）反比例函数为xy4，；存在（2，2）（5）构造双曲线xy1和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；构造双曲线xy1和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -