第四章 习题课　分组求和、倒序相加求和、并项求和.docx

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1、习题课 分组求和、倒序相加求和、并项求和学习目标 L熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式2掌握分组求和、倒序相加法求和、 并项求和等数列求和的方法.一、分组求和例1已知数列的前项和为= K点(S，斯+i)在直线y=3x+l上.(1)当实数，为何值时，数列%是等比数列？(2)在的结论下，设在=10g4斯+i，cn=an+bn9。是数列6的前项和，求解(1)因为点,即+D在直线y=3x+l上，所以 q+i = 3S+1,当22时，Cln 3S-1 + 1.于是 斯+1q=3(S?S-i)=Q+i 。=3斯=斯+i =4斯.又当=1时，他=3Si +1 =。2=3。 +1=3/+1,所以当1=1时,

2、。2=4。1,此时,数列斯是等比数列.(2)由(1),可得斯=4 I 斯+1=4,所以瓦= log4 斯+1 =，。 = 4那么 = Cl+c2+ c=(4。+1)+(41 + 2) + + (4+ )= (40+4NF4i) + (l+2Hn)4- 1 _/(+1)=3 + -2反思感悟 分组求和的适用题型一般情况下形如。=。乩，其中数列斯与勿 一个是等差数列，另一个是等比数列，求数 列金的前项和，分别利用等差数列和等比数列前项和公式求和即可.跟踪训练1已知数列满足。1 = 1,且斯+1。=2.求数列斯的通项公式；已知数列瓦满足=一；,岳=一日，设金=斯+勿，若数列的为等比数列，求数列为 的

3、前n项和S.解(1)数列满足1 = 1,且斯+1斯=2,所以数列斯是等差数列，且首项为1,公差为2,因此，a= 1 +2(1) = 2- 1.令，=JX,贝6+x=l 得到,火。+八1一%)=6, , =犬0)+$) + +/()+巾)，。=黄1)+心/)+0+次。), 倒序相加可得2斯=6(+1),即斯=3(+1).14.已知数列斯：12312345671222 22 22 23 23 23 23 23 23 23 2* 24的前项和为S,贝！J 5120=.答案60解析将此数列分组，第一组：玄共2一项；第二组：抖:+奈=|=亭士共221第组:项的和;共231项的和；12 3 4 5 6吩+

4、吩+硬+m H2一1 (2一 1)X2 2一 1-2义2共2一 1项的和;由(21 1)+(221) + (231)+ + (2-1)=2乂(2-1)一=120,解得 =6,因此前120项之和正好等于前6组之和,因此前120项之和正好等于前6组之和,21-1 ( 22-1 11 26-1 21 + 22HF26-6- nr - =2X(26l) 622X(26l) 62= 60.L拓广探究15.在数列。中，0 = 1,。2 = 2,且 斯+ 2一1+(1)(/2N) 贝 |J。|+。2+。51 =答案676解析 当为偶数时，斯+2斯=2,斯= 2+(g1)X2=；当为奇数时，斯+2一。=0,

5、an= 1;所以。1+。2+Q5i=26X 1+Q+4+6+50)=26义 l+1x25X(2+50) = 676.16.65, 为奇数, 已知数列3的通项公式为为偶数， 求数列以的前项和s.解当为大于或等于3的奇数时，S=1 + 13Hb(6n-5) + (42+44H4一】)1 +6n-5 n+1 42(14,? *) (n+ l)(6n4) 4w+1 16=2丁+ -42 =4+15(+ )(3-2)“J 16=2+15-当 =1时，Si=ai = l9上式同样成立.当为偶数时，_5) 4+?16S=l+ 13 + (6- 11) + (42+44+4-2+平)=-+-.乙1 J综上,综

6、上,+1)(33一2) 4| 1一162+15几为奇数,S=04 2 16+15, 为偶数(2)由 已知可得 c =a +Z?i = 1 2=2,。2=。2+人2=3 一丁=不所以等比数列的的公比为q=i所以 anbn = cn=ciqn 1 所以 bfl=Cnan=(2n 1),因此，*=(11)+售3)+售一5)HF -(2n1)+&-1+3+5 + (2-1)(1 +2- 1) 22 x2=，则数列伏斯)的各 o -X9 1L 2小二、倒序相加法求和 例2已知数列为的通项公式为=一2(N)设/(x)=x+log 项之和为()A. 36 B. 33 C. 30 D. 27答案D._t ,2

7、+x2+x斛析 由火 X)=x+10g2Mp 知 解得一2a8.所以一2%1)+2)+-+9)=A-l)+X0) + -+/7).因为 S=/7) +6) 十十大一1)，所以 2s=*1)+穴7) + 区0)+,穴6) + + 区7)+/(1) = 6, + (nl)2+n2Yl= 3+7+11 + 2- 1,共有5项,故 S,z=yX3+zX4=y+,若 n 是奇数，Sn=( l2+22)+(32+42)+(52+62)+(-n2)V 1 =3+7+114I(一层),其中有前j一项是等差数列,故有n (n- 1n1-2 27n2 nSn= X 3 +5X 4一/=-,rn2_|_M丁，为偶数

8、，综上所述，Sn= 9 ,N*.宁，为奇数，反思感悟并项求和法适用的题型一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些 摆动型的数列也可采用分组求和.跟踪训练3若数列斯的通项公式是斯=(一1产(3-2),则2HH2 02i等于()A. -3 027 B. 3 027 C. -3 031 D. 3 031答案D角星析 S202i=(l-4) + (7-10) + - + (6 055-6058)+6061 = 1 010X(-3) + 6061=3 031.课堂小结-.知识清单：分组求和.倒序相加求和.并项求和.1 .方法归纳：公式法、分类讨论.2 .常见误区：

9、并项求和易忽略总项数的奇偶.N随堂演练1.已知数列儿为等比数列，且首项加=1,公比9=2,则数歹U岳 7的前10项的和为()44A-X(49-l)B.tX(410-1)C.|x(49-1)d.1x(410-1)答案D解析 数歹】历-1中的项是数列d中的所有奇数项，已知数列与为等比数列，故其所有1 X (1 4.) 410 - 1的奇数项也构成等比数列，公比为4,首项为1,则其前io项的和为一.1 -4J2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列斯, 已知0 = 1, 42=2,且满足斯+2Q=l+(1)(WN*),则该医院30天入院治疗流感的共有 ()A. 2

10、25 人 B. 255 人 C. 365 人 D. 465 人答案B解析当为奇数时，斯+2 =斯，当为偶数时,奉+2斯=2,所以 4 =6 =。29= 1 ,S, Q4,，60是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 $30=(0 +s+ +29)+ 32+4+ +so)= 15+15X2+X2255.3.设，为数列斯的前项和，斯=1+2+22+2门,则S的值为()C. 2一1答案DC. 2一1答案DA. 2一 1B. 2-1 一 1D. 2十1一一2X (1 2) 解析 .* 诙=1 +2+22+ + 2=一；1,1 z$=(21 1) + (221)+ (2-1)=2义(12) 12-一 =

11、 2一2.4.若汽幻+八1一) = 2, 6z,7=/O)+/Q)+/QH则数列斯的通项公式是.答案。=+1解析出=40）+/）+/（1）+1），公式是.答案。=+1解析出=40）+/）+/（1）+1），an=/（l）+/（q）H，两式相加可得2斯=伏。）+41）+/（）+/（宁伏1）+*）,2斯=2(+1) 9 所以斯=+1.课时对点练L基础巩固1 .若数列斯的通项公式是斯=(1)(3-1),则oi+a2Tlio等于()A. 15 B. 12 C. -12 D. -15答案A解析 因为。=(1)(3-J),所以 4i+2=2+5 = 3, 03+04=8+11=3,05+06= 14+17

12、= 3, 7+。8=20+23 = 3, 49+00=26+29 = 3, 因此。1+2+io= 3X5=15.2 .数列说3；, 5羡,7壶的前项和S为（）A.序 +1 2一1B.层+2乙C.序+1D. C+2答案c解析数列序3:,5a 7卷的通项公式为斯=2-1+（，1+2）+所以Sz = (.已知数列斯中，0 = 1,即+即+i = 3, S?为其前项和，则S2021等于()A. 3 030 B. 3 031 C. 3 032 D. 3 033答案B解析 由题意2 = 2,的=1, 4 = 2，故奇数项为1,偶数项为2,则S2 021=(。1+2)+(43 +。4)+ + (。2 019

13、 +。2 020)+。2 021=3X 1 010+ 1 =3 031.3 .已知数列中，0 = 1,诙+1=2斯+1(&N*), S为其前项和，则S5的值为()A. 63 B. 61 C. 62 D. 57答案D解析 由数列的递推关系可得，。+1 +1 =2(即+1),。1 + 1=2 ,据此可得，数列。+1是首项为2,公比为2的等比数列，则q+1=2X2=q=2一 1 , 分组求和有5 = 2义，125)-5=57.1 225.已知正项数列为是公比不等于1的等比数列，且lg m+lg。202=0,若则加 1) +/(2)H021)等于()A. 2 020 B. 4 036 C. 2 021

14、 D. 4 038答案C 解析 :正项数列斯是公比不等于1的等比数列，且lg l + lg 42()21=。, /. lg(l-6Z2 021) = 0,即。12021 = 1.函数/U)=令 丁=/31)+加2)1H/3021),贝(J T=ja2021)020)HH/tzi),、2T=fia) +/(2 021)+火。2)+人。2 020)H卜大。2 021) +火。1) = 2 X 2。21,7=2 021.6.(多选)数列如是首项为1的正项数列，斯+1=2%+3, S是数列的前项和，则下列 结论正确的是()A.的=13B.数歹lj斯+3是等比数列C. an=4n3D. S=2+】一2答

15、案AB解析“+i=2斯+3, q+i + 3 = 2(q+3),数列。+3是等比数列, 又i = l, 。+3 = 31 + 3)2门,=2+i 3,/. 3= 13,.S=4(12)1-23n=2,z1 2 * * * *3/14.7 .在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列, 这个常数称为该数列的公和.已知数列斯是等和数列，且0 = 2, 02 022 = 8,则这个数列 的前2 022项的和为.答案6 066解析设等和数列的公和为机因为。=-2,所以。2 =加 + 2,。3=2,。4 =根 + 2,。5=-2, ，、J 2, 为奇数所以加+2, 为

16、偶数，又。2 022 =根 + 2 = 8,所以m=6,所以 2 022 = （。1 +。2）+ （。3 +。4）+ + （。2 021 +。2 022）=1 011 X 6 = 6 066.8 .设数列斯是以2为首项，1为公差的等差数列，与是以1为首项，2为公比的等比数 列，则%。=.答案1 033解析 ：数列是以2为首项，1为公差的等差数列，斯=2+（/21）X1=+1,.勿是以1为首项，2为公比的等比数列，也=1义2=2-1, /. ah =2,?-1 + 1,un由题意,由题意,a +2+3+4=4i +6d= 10,（。i + d） 3+6d） =（4i+2d）2,或,“i = -2

17、, d=3.f 5 41=7, 解得j2、d=0 所以斯=5或 an = -2+3（- 1） = 3-5.（2）当时，乩=。+2，,52（12）,5此时 S=bi+b2+ + b=5+-=2 1 +/?2；z1 zL当 an=3n-5 时，勿=（3一5）+2，t L2 + 3-52（1 2）+ 3 0 7此时 S=/?i+Z?2+/7=彳+-: -=2 +72彳-2.Z1 zZ Z.已知等差数列为的前几项的和为和,且S=5, S3=9.求数列斯的通项公式；%+1、（2）若儿=3 2 1一1,求数列为的前项和八.解（1）设等差数列如的公差为心“1+2d=5,m_2则13X（3-1W 解得 :3i

18、+2=9，=故数列为的通项公式为%=1+2（一 1）,即an=2nl.4+1、（2）由得。 =31 2 11=31,所以 7=（3 + 32+33HF3）一= 一L综合运用10 .已知斯的前项和为S，0 = 1,当22时，斯+2S-1=一则S2021的值为（）A. 1 008 B. 1 009 C. 1 010 D. 1 011答案D解析 由题意，当22时，可得i = Sa，因为斯+25-1=小 所以 o+2（S一斯） = ，即 2S=a+，当 23 时，2s一 1=斯-1+一1,两式相减，可得2斯=斯-i + l,即如+斯1 = 1,所以。2 +。3=1,。4 +。5=1,。6 +。7=1,

19、 ，2 021-15Xl = l 011.所以 S2 021=。1+(。2 +。3)+ (。4 +。5)-|1-(。2 020 +。2 021)= 1 +12.已知数列满足k/r斯=.记数列2一的前项和为S”则B.层 n.2 1z 221S等于() n1 nA. 2,zyyJ JC. 2D.22一一2答案解析解析因为h亍鲁斯= 72, (1)13.已知F(x)=/(x+T) 3是R上的奇函数，斯=五。)+/(：)+川)，N*,所以有0 = 1,当N2, N*时，有。1+32+*43+0L1=- 1, (2) (1)一(2)得，Jg斯=l=a=2-I显然当 =1时，也适合,所以。=2一i(N*)

20、,令2斯一=，所以少=2一，因此有S=(21) + Q22)+033)+ (2一 )= (2+21-2= (2+21-2+2=2/1-2-导9 =2+HF2)一(1+2 + 3H-n)2(L2) (1+加则数列卬的通项公式为()A. q=+1B.斯=3九+1C. 。=3+3D.斯=22+3答案c解析 由题意知(%)=/口+1)3是R上的奇函数，故(一x)=一/幻,函数段)关于点& 3)对称，1 210 c%+旬+旬H-aby）=-p7-+10=l 033.9.已知等差数列斯的前4项和为10,且该，s，s成等比数列.（1）求数列%的通项公式；（2）设小=斯+2,求数列瓦的前项和Sn.解（1）设等差数列斯的公差为d,