西安电子科技大学讲义-随过程.docx

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1、西安电子科技大学讲义-随过程 第一章 随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念 随机过程的数字特征 随机过程的微分和积分计算 随机过程的平稳性和遍历性 随机过程的相关函数及其性质 复随机过程 正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。例如，骰子的 6 面，点数总是 16，假设 A 面点数为 1，那么无论你何时投掷成 A 面，它的点数都是 1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。但生活中，很多参量是随时间改变的，如测量接收机的电压，它是一个随时间改变的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度改变，所以有个频率稳定度的范围的概念（

2、即偏离标称频率的最大范围）。这些随时间改变的随机变量就称为随机过程。明显，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。1.1 随机过程的基本概念及统计特性 1.1.1随机过程的 定义 现在我们进一步论述随机过程的概念。当对接收机的噪声电压作单次视察时，可以得到波形 ) (1t x ，也可能得到波形 ) (2t x ，) (3t x 等等，每次观测的波形的详细形态，虽然事先不知道，但确定为全部可能的波形中的一个。而这些全部可能的波形集合 ) (1t x ，) (2t x ， ) (3t x ， ) (t x n ，.，就构成了随机过程 ) (t X 。 图 1.1噪声电压的起伏波形 1 样本函数：)

3、 (1t x ， ) (2t x ， ) (3t x ， ) (t x n ，都是时间的函数，称为样本函数。2 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间 t 的函数，还是可能结果 z z 的函数，记为 ) , ( z z t X ，简写成 ) (t X 。3 随机过程的定义： 定义 1 把随机过程看成一族样本函数。 4 定义的理解 上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。详细的说，作观测时，常用定义 1，这样通过观测的试验样原来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义 2，这样可以把随机过程看成为 n 维随机变量

4、，n 越大，采样时间越小，所得到的统计特性越精确。因此，可从以下 4 个方面对定义进行理解。 1.1.2 随机过程的分类 随机过程的分类方法有多种，可以按是否连续来分类，也可以按样本函数的形式来分类，还可以按概率分布的特性来分类。1、 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻 t 1 的取值 ) (1t X 都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻 t 1 的取值 ) (1t X 都是离散型随机变量。 连续随机序列：随机过程的时间 t 只能取某些时刻，如 t D D ，2 t D D ，.，n t D D ，且这时得到的随机变量 ) ( t n X D

5、D 是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间 t 只能取某些时刻，如 t D D ，2 t D D ，.，n t D D ，且这时得到的随机变量 ) ( t n X D D 是离散型随机变量，即时间和状态都离散。相当于采样后再量化。2、 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的随意样本函数的值不能被预料。例如接收机噪声电压波形。 确定的随机过程。随机过程的随意样本函数的值能被预料。例如，样本函数为正弦信号。3、 按概率分布的特性来分类 这是一种更为本质的分类方法，可分为：平稳随机过程，正态随机过程，马尔可夫过程，独立增量过程，独

6、立随机过程和瑞利随机过程等等。 1.1.3随机过程的概率分布 前面说过，用定义 2 分析随机过程便利，也就是说，把随机过程) (t X 看成 n 维随机变量 ),. ( ),., ( ), (2 1 nt X t X t X 的集合（n 趋向无穷，且1 - - - = = D Di it t t 相当小）。这样，就把多维随机变量的探讨代替随机过程的探讨，这样的代替足够精细。1、一维概率分布 定义： 由于 t 1 是任一时刻，因此，常把 ) , (1 1t x F X 简写成 ) , ( t x F X 。假如 ) , ( t x F X 的偏倒数存在，则：xt x Ft x fXX = =)

7、, () , ( 为随机过程 ) (t X 的一维概率密度函数。留意：在此定义中，首先固定了时间 t，这样就得到了 t 时刻的随机变量 ) (t X （t 可以是随意时刻），这种分析方法后面常常用到。明显，随机过程的一维概率密度是时间 t 的函数，其性质与一维随机变量的性质一样。2 2 、二维概率分布 随机过程的二维概率分布反映了随机过程 X(t)随意两个时刻状态之间的联系。通过求边沿分布可以分别求出两个一维边沿分布) , (1 1t x f X 和 ) , (2 2t x f X 。 3 3、 、 n n 维概率分布 同 理 ， 它 具 有 多 维 随 机 变 量 的 性 质 。1.1.4

8、随机过程的数字特征随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数，因此，对随机过程的数字特征可以采纳信号与系统中学习的各种对确定性信号的处理方法。对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间 t 固定，然后用随机变量的分析方法来计算（这时随机过程可以理解为：) (t X 为随机变量（t 为随意时刻）1 1 、数学期望图 1.2 随机过程 ) (t X 的数学期望 物理意义：假如随机过程 ) (t X 表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。2 2、 、 均方值和方差定义：随机过程 ) (t X 在任一时刻 t 的取值是一个随机变量) (t X 。我

9、们把 ) (t X 二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即： 留意：) ( 2t X E 和 ) ( t X D 都是确定性函数， ) ( t X D 描述了随机过程偏离其数学期望的程度。比较方差与均方值的关系，明显有： 物理意义：假如 ) (t X 表示噪声电压，则均方值 ) ( 2t X E 和方差 ) ( t X D 分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时沟通功率统计平均值。标准差或均方差：) ( ) ( t t X DXs s 3 3、 、 自相关函数先比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。图 1.3具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程

10、 定义：自相关函数用来描述随机过程随意两个时刻的状态之间的内在联系， 通常用 ) , (2 1t t R X 描述。 当 t 1 =t 2 时，自相关函数就是均方值。a) 自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用 ) , (2 1t t K X 表示，它反映了随意两个时刻的起伏值之间相关程度。2 1 2 1 1) 2 ( ) ( dx dx t m x t m xX X - - - - b) 比较自协方差和自相关函数的关系c) 比较自协方差和方差的关系 4、 随机过程的特征函数 a) 一维特征函数 随机过程 ) (t X 在任一特定时刻

11、 t 的取值 ) (t X 是一维随机变量，其特征函数为: - -= = = = dx t x f e e E t u CXjux t juXX) ; ( ) ( ) ; () (其反变换为： - - -= = du e t u C t x fjuxX X) ; (21) ; (p p 这里， ) ; ( t x f X 为随机过程 ) (t X 的一维概率密度。b) 二维特征函数 c) n 维特征函数 1.2 时间连续随机过程微分和积分随机过程的微分和积分运算类似于一般的函数的微积分运算，但由于涉及极限和收敛问题，因而略有不同。1 1.2.1 随机 过程的连续型 1、 预备学问：对于确定性函

12、数 ) (x f ，若 0 ) ( ) ( lim00 - - D D + + D Dx f x x fx，则 ) (x f 在0x 处连续。2、 随机过程 ) (t X 连续性定义3、 随机过程 ) (t X 的相关函数连续，则 ) (t X 连续4、 随机过程 ) (t X 均方连续，则其数学期望连续由均方连续的定义， 0 D Dt ，则不等式左端趋于 0，那么不等式的右端也必趋于 0（均值的平方不行能小于 0）。即 ：0 ) ( ) ( ) ( ) ( - - D D + + = = - - D D + + t X E t t X E t X t t X E留意 ) ( t X E 为确

13、定性函数，由预备学问，可知 ) ( t X E 连续。 1.2.2 随机过程的导数 预备学问：对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：一阶可导：假如tt f t t ft D D- - D D + + D D) ( ) (lim0存在，则 ) (t f 在 t 处可导，记为 ) (tf 。二 阶 可 导 ：hkt s f k t s f t h s f k t h s fkh) , ( ) , ( ) , ( ) , (lim00+ + + + - - + + - - + + + +存在，则 ) , ( t s f 二阶可导，记为t st s f ) , (2 1、 随机过程可导的定义

14、 2、 判别方法 由于上面的 ) (tX 是未知的，推断一个随机过程是否均方可微的方法是采纳柯西准则。即下面式子成立，则随机过程均方可微（书上证明中 t 的下标有错）。0 ) ( ) ( ) ( ) ( lim222 2 211 1 10 ,2 1= =D D- - D D + +- -D D- - D D + + D D D Dtt X t t Xtt X t t XEt t证明： ) ( ) ( ) ( ) (222 2 211 1 1tt X t t Xtt X t t XED D- - D D + +- -D D- - D D + + ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1

15、) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 1) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 12 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 12 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2221 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 121t t t R t t t R t t R t t t t Rt tt t t R t t t R t t R t t t t Rtt t t R t t t R t t R t t t t RtX X X XX X X XX X X XD D + + - - D D + + - - D D + + D D + +D D D D- -D D +

16、+ - - D D + + - - D D + + D D + +D D+ +D D + + - - D D + + - - D D + + D D + +D D= = 留意上式右端已经不含有随机变量，由预备学问中的确定性函数可导定义， ) ( ) ( ) ( ) ( lim222 2 211 1 10 ,2 1 tt X t t Xtt X t t XEt tD- D +-D- D + D D3、 数字特征 （1）随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数证明：) ( ) (lim ) (0 tt X t t XEdtt dXEt D D- - D D + += = D D交换极限和数学期望

17、依次，得 tt m t t mtt X t t XEX Xt t D D- - D D + += =D D- - D D + + D D D D) ( ) (lim ) ( ) ( lim0 0 由确定性函数可导定义得 dtt dmt mXX) () ( = = （2）随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数即：2 12 122 1) , () ( ) ( t tt t Rt X t X EX = = 证明：) ( ) (.) ( ) (lim ) ( ) ( 22 2 211 1 1002 121 tt X t t Xtt X t t XE t X t X EttD D-

18、 - D D + +D D- - D D + += = D D D D ) ( ) (.) ( ) ( lim22 2 211 1 10021 tt X t t Xtt X t t XEtt D D- - D D + +D D- - D D + + D D D D 2 12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 100) , ( ) , ( ) , ( ) , (lim21 t tt t R t t t R t t t R t t t t RX X X XttD D D D+ + D D + + - - D D + + - - D D + + D D + + D D D D2 12 12)

19、, (t tt t R X （由确定性函数二阶可导定义）1.2.3 随机过程的积分 1 1 、预备学问对于确定性函数 ) (x f ， = =D D = =banii ix f dx x f10) ( lim ) ( d dl l，其中，1 - - - = = D Di i ix x x ， n i x i ,., 2 , 1 , max = = D D = = l l2 2、 、 随机过程积分的定义若 过程。3 3、 、 随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。 即： （留意 Y 为随机变量）a) 随机过程积分的均方值和方差 随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其

20、方差为随机过程协方差的二重积分。过程的积分的平方可以写成二重定积分的形式：b) 随机过程积分的相关函数：等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（现对 t 1 ,后对 t 2 积分） 留意，此处定义的积分是变上限的，与前面的不同，因此) ( ), (2 1t Y t Y 是随机过程。1.3 平稳随机过程和遍历性过程在通信中，经常把稳定状态下的随机过程，当作平稳随机过程来处理，这样，对这个随机过程任何时候来测量，都会得到同样的结果，从而大大简化了数学模型。对一些非平稳的随机过程，在较短的时间内，经常把它作为平稳随机过程来处理。然而，对于一个平稳过程，计算其一阶和二阶统计特性是很困难的，而计算其肯

21、定时间内的算术平均值相对简单。假如其统计特性与算术平均特性在概率意义下相等，我们称之为遍历性，也叫各态历经性。1 1.3.1 平稳随机过程 平稳随机过程可以分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程两种。1、 严平稳随机过程（侠义平稳过程）（1 1 ）定义设有随机过程 ) (t X ，若它的 n（2 2 ）特点 （3 3 ）严平稳随机过程的数字特征 因 为 ：) ( ) 0 , ( ) , ( ) , (1 1 1 1 1 11x f x f t x f t x fX XtX X= = = = + + = =- - = = e ee e令与时间无关。 解 ：由 严 平 稳 定 义 ， 对 二 维 概

22、率 密 度 ，（4 4 ）严平稳的推断根据严平稳的定义，推断一个随机过程是否为严平稳，须要知道其 n 维概率密度，可是求 n 维概率密度是比较困难的。不过，假如有一个反例，就可以推断某随机过程不是严平稳的，详细方法有两个：i. 若 ) (t X 为严平稳，k 为随意正整数，则 ) ( t X Ek与时间 t 无关。ii. 若 ) (t X 为严平稳，则对于任一时刻 t 0 ， ) (0t X 具有相同的统计特性。用随机过程 ) (t X 的 3 阶矩与 t 有关来推断 ) (t X 不是严平稳，此时也可采纳方法是：分别令 t=0，t=02 w wp p，带入 t B t A t X0 0sin

23、 cos ) ( w w w w + + = = ，得两个随机变量 A 和 B，因为它们的概率密度不同，一般来说) 2 ( ) ( ) ( k B E A Ek k（例题假设两者均值和方差相等），因此 ) (t X 不是严平稳的。2、 宽平稳随机过程（广义平稳过程，平稳过程）由求 n 维概率密度比较困难，有时只用到一、二阶矩，例如功率（均方值和方差）和功率谱密度（自相关函数），因此，平稳性的定义不须要那么严格。 严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等价。由宽平稳的三个条件可知，此为（宽）平稳过程。 3 3 、平稳随机过程的性

24、质性质 1：指平稳随机过程的平均功率。性质 2：， 平稳过程的自相关函数（协方差）为偶函数。性质 3：， 平稳过程的自相关函数（协方差）在 0 t 时有最大值。 性 质 4 ：对 周 期 性 平 稳 过 程 ， X(t)=X(t+T) ， T 为 周 期 ， 有) ( ) ( T R R + + = = t t t t 。性质 5：若平稳过程 ) (t X 含有一个周期重量，则 ) ( t tXR 含有同一个周期重量。（证略）性质 6：若平稳随机过程 ) (t X 不含有任何周期重量，则 ，性质 7：若平稳过程含有平均重量（均值）Xm ，则相关函数也含有平均重量，且等于2Xm 。即2) ( )

25、 (X X Xm K R + + = = t t t t ；若 ) (t X 是非周期的，则 ) ( ) 0 (2 - - = =X X XR R s s 。性质 8：平稳随机过程必需满意 - - 0 ) ( t t t twt de RjX对全部 t 均成立。自相关函数的付氏变换非负，这要求相关函数连续（平顶，垂直边均是非连续）。相关函数（协方差）的典型曲线如下：图 1.4 相关函数的典型曲线 性质 9：平稳过程的相关系数和相关时间 a)相关系数：定义：称为随机过程X(t)的相关系数。明显，此值在1，1之间。0 ) ( = = t tXr 表示不相关，1 ) ( = = t tXr 表示完全

26、相关。0 ) ( t tXr 表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量均值）之间符号相同可能性大。b)相关时间 定义：当相关系数中的时间间隔 t t 大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。通常把相关系数的肯定值小于0.05的时间间隔 t t ，记做相关时间，即：05 . 0 ) (0 t tXr 时的时间间隔0t t 为相关时间。 图 1.5 相关时间0t （或0t ）的定义 相关时间的物理意义： ( 01= =Xm )2 1.3.2 遍历性或各态历经性 随机过程时一族样本函数的集合，因此，要得到随机过程的统计特性，就须要对大量的样本函数进行统计平均或综合

27、平均，很不便利。由于平稳随机过程与时间起点无关，对一个样本函数进行时间平均是否能得到概率意义下的统计平均呢？答案是确定的这样的随机过程称为遍历过程或各态历经过程。这样，由任一样本函数就可以得到随机过程的统计特性。1、遍历性过程的定义 a ） 其中：2 2、 、 遍历过程的实际应用一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间 T 不行能无限长，只要足够长即可。遍历过程的物理意义：若遍历过程代表是噪声电压，则均值就是它的直流重量，令0 t ，则有：明显， ) 0 (XR 代表电压消耗在单位阻抗上的总平均功率

28、。而代表电压消耗在单位阻抗上的沟通平均功率，标准差Xs s 代表电压的有效值。a) 遍历过程和平稳过程的关系 遍历过程必需是平稳的，而平稳过程不肯定是遍历的。（遍历必定平稳由遍历定义即可知）解：先证明平稳性，再证明不是遍历过程。b) 遍历过程的两个判别定理 （）均值遍历判别定理证明：对一般平稳随机过程（不肯定遍历）来说， = Xm t X P ，即均值遍历。带入（1）式， t t t tt td m RT TX XTT) ) ( )(21 (1lim220- - - - 0 的充要条件为 X(t)的均值遍历。（）自相关函数遍历判别定理 平稳随机过程 X(t)的自相关函数 ) ( t tXR 具

29、有遍历性的充要条件是：（由均值遍历的充要条件引申证明：令 ) ( t tX XR m - - ）， 留意：推断一个平稳过程是否遍历的，我们总是先假设其是遍历的，然后看是否满意定义要求（即时间平均以概率 1 等于统计平均），一般不用两个判别定理。推断此随机过程的遍历性。解：已经计算出均值为 0，相关函数 t t w w t t02cos2) (aR X = = ，现在计算时间平均： 明显：所以，X(t)具有遍历性。4 1.4 联合平稳随机过程前面探讨了单个随机过程的统计特性，在实际工作中，经常须要探讨两个或两个以上随机过程的状况，例如接收机的输入为信号噪声。 1 1.4.1 两个随机过程的联合概

30、率分布 1、 分布函数 2、 二维严平稳3、 定义(留意两个随机过程的依次不能互换) 4、 正交5、 不相关推论：(1)假如两个随机过程相互独立，且他们的二阶矩都存在，则必互不相关。 (2)正态过程的不相关与相互独立等价。6、 联合宽平稳 两个随机过程 ) ( ) ( t Y t X 和 ，假如：（1）) ( ) ( t Y t X 和 分别宽平稳（2）相互关函数仅为时间差 t t 的函数，与时间 t 无关，即 7、联合宽平稳的性质证明：按定义即可证明，说明相互关函数既不是偶函数，也不是奇函数。图 1.6 相互关函数的影像关系 证明：由于0 ) ( ) ( (2 + + + + t X t Y

31、 E l l t t ， l l 为随意实数 绽开得：0 ) 0 ( ) ( 2 ) 0 (2 + + + +Y XY XR R R l l t t l l ，这是关于l l 的二阶方程，留意 0 ) 0 ( XR ，要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，则方程的系数应当满意 0 42 - - AC B ，所以有：0 ) 0 ( ) 0 ( 4 ) ( 2 (2 - -Y X XYR R R t t所 以 ) 0 ( ) 0 ( ) (2Y X XYR R R t t ， 同 理 ，) 0 ( ) 0 ( ) (2Y X XYK K K t t 证明：由性质（2），得 ) 0 ( ) 0 (

32、) (2Y X XYR R R t t留意到 0 ) 0 ( XR ， 0 ) 0 ( YR ，因此 ) 0 ( ) 0 ( 21) 0 ( ) 0 ( ) (Y X Y X XYR R R R R + + t t（任何正数的几何平均小于算术平均） （5）遍历性 （6）线性性虽然已知 X(t)和 Y(t)分别平稳，但相互关函数与 t 有关，所以不是联合平稳的。 同样，相互关函数与 t 有关，所以不是联合平稳的。1.5 复随机过程前面我们分析了实随机过程，在现实世界上我们遇到的都是实随机过程，但在某些状况下，用复随机过程来分析问题较为便利。复随机过程的统计特性的分析与实随机过程类似。1 1.5.

33、1 复随机变量 1、 定义2、 分布函数 ) , ( , ) ( y x F y Y x X P z FXY Z= = = = ，即由 X,Y 的联合概率分布描述。3、 数学期望4、 方差 ) )( ( 2* *- - - - = = - - = =Z Z Zm Z m Z E m Z E Z D ) ( ) (2 2Y D X D m Y m X EY X+ + = = - - + + - - = =这里| |表示取模（与实过程不同），为复随机过程与它的复共轭相乘， *表示复共轭，明显，复随机过程的方差是非负实数，且等于实部和虚部的方差和。5、 独立与相关 这里：2 1.5.2 复随机过程

34、1、 概率密度函数 复随机过程Z(t)的统计特性由X (t)和Y(t)的2n维联合概率分布描述，其概率密度为：2、 均值3、 方差 ) ( ) ( )( ( ) ( ( ) ( ) ( ) (2* *- - - - = = - - = = t m t Z t m t Z E t m t Z E t DZ Z Z Z) ( ) ( t D t DY X+ + = =4、 相关函数自协方差为： 5、 平稳性 6、 相互关函数和互协方差函数7、 联合平稳8、 相关和正交小结：求复随机过程的数字特征时要留意，其均值为复数，方差等二阶矩为非负实数，因此，求其二阶矩时（包括方差，相关函数和协方差）采纳一个

35、复随机过程与其共轭相乘，再求数学期望的方法，其它性质和特性与实随机过程类似。 1.6 离散时间随机过程离散时间随机过程的公式概念许多，但均可以从连续随机过程类推出来，一般不要死记公式。离散时间随机过程的定义 前面谈到过随机过程的分类，随机过程可以分为连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列和离散随机序列四种，其中，后两种统称为离散时间随机过程，它们是对连续随机过程以等间隔时间采样得到的，即采样时间是离散的。1 1.6.1 离散时间随机过程的概率分布 离散时间的随机过程的概率分布用随机变量序列的概率分布来描述。1、 一维状况2、 二维状况 3、 n 维状况 4、 相互独立5、 严平稳 推论：

36、（1）平稳离散随机过程的一维概率密度与时间无关，即) ( ) ; (n X n Xx F n x F = =（2）平稳离散随机过程的二维分布函数与时间差有关，即6、 联合分布 定义 统计独立 严平稳 1.6.2数字特征 1 均值 若 (.) g 为 单 值 函 数 ， 则 - -= = dx n x f x g X g EX n) ; ( ) ( ) ( 均值的性质： 2 线性独立和统计独立 若 ，若 ， 线性独立的含义是随机序列X n 和Y m 中的随意两个随机变量都互不相关。推论：统计独立肯定线性独立，反之不肯定。3 均方值和方差 明显有：4 自相关函数和自协方差函数，也可写成5 相互关函

37、数和互协方差 相互关函数描述两个不同的随机过程之间依靠性的一个量度，即6 平稳性 若离散时间随机过程平稳，则其均值、均方值和方差与 n 无关，为常数，即： 若离散时间随机过程平稳，则自相关函数和协方差只与时间差有关，即2) ( ) (X X Xm m R m K - - = = 判别平稳性（宽平稳）的方法7 联合平稳（前提是两个随机过程各自平稳） 1.6.3遍历性 1 1 、遍历性的定义 严遍历： 宽遍历： 设 ) (n X 是一个平稳随机序列，若含义：对于遍历序列，其时间均值和时间自相关（m 固定）均为确定量（非随机量），几乎全部可能的取样序列的时间平均量都是相同的，因此，遍历序列的时间平均

38、可以用任一序列的时间平均来表示，也即可以用遍历序列的任一取样序列的时间平均代替对整个序列求统计平均。对随机序列的遍历性的推断，先假设其遍历，看其时间平均是否几乎到处等于统计平均即可。所以有：（下面的 ) (n x 表示随意一个样本序列） 事实上一般不求极限，工程上运用它们的估计量，只要 N 足够大即可：1 1 计算机仿真 采纳的仿真工具一般为 MATLAB 语言。在通信中经常须要计算接收机接收端输入的信噪比（信号功率/噪声功率）。假如随机序列是遍历的，只要对计算机模拟产生的随意一条信号和噪声的样本序列中每个样点值的平方求时间平均，就可以分别得到信号和噪声的平均功率（估计的统计值），从而求出信噪

39、比。2 2 平稳离散随机过程相关函数的 性质平稳离散随机过程相关函数的性质与连续平稳随机过程的性质类似，此处只给出相应的结论。性质 7 7 相关系数 明显， 1 ) 0 ( = =Xr ， 1 ) ( m r X ；同理，相互关系数为：1.7 正态随机过程正态分布的随机过程（也叫高斯过程）是实际工作中最常遇到的随机过程，中心极限定理告知我们，大量独立的、微小的随机变量的和近似听从正态分布。通信信道中的热噪声和干扰，多听从正态分布。后面我们将谈到，一个宽带信号通过一个窄带滤波器后，听从正态分布，而通信中广泛应用滤波器来滤出有用信号带外的噪声。因此，探讨正态随机过程非常必要。 1 1.7.1 正态

40、随机过程的一般概念 随机过程可以看成一族样本函数的集合，也可看成一族随机变量的集合，这些随机变量可记为：，也1、 正态随机过程的定义 假如随机过程 X(t)的随意 n 维概率分布都是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过程或高斯过程。2、 概率密度函数 正态随机过程的概率密度函数即 n 维随机变量的联合概率密度函数，即 其 中 ， k ik i Xikt t Krs s s s) , (= = ，（留意下面的上画线表示均值，即im ） 性质 1：正态随机过程的概率密度函数由它的一、二阶矩（均值、方差和相关系数完全确定）。推论：若复正态随机过程 Z(t)的 n 个采样时刻得到

41、n 个复随机变量，即 2 1.7.2 平稳正态随机过程 1、 平稳正态随机过程的定义 若正态随机过程满意下列条件，则它是宽平稳（平稳）正态随机过程。理解：由平稳随机过程的三大条件（均值为常数，相关函数只与时间差有关，均方值有界）可知， 那么 ) 0 ( ) ( 2XR t X E = = 为确定值，而 方 差 2) 0 (X Xm R - - 必 为 常 数 ， 显 然 ， 方 差 为 常 数 则2 2 2) ( X Xm t X E + + = = s s 也为常数，物理意义是总平均功率等于交流平均功率与直流平均功率之和。2、 平稳正态过程的 n 维概率密度 依据前面论述，正态随机过程的 n 维概率密度由它的一、二阶矩完全确定，其表达式见 2.7.1 式。对于平稳正态随机过程，其概率密度表达式可以简化。 平稳正态过程一、二维概率密度表达式如下：平稳正态过程 n 维概率密度表达式如下： 回顾：逆矩阵的求法：，设有一矩阵 A，则3、 平稳正态过程的 n 维特征函数一维和二维特征函数： 3 1.7.3 正态随机过程的性质 性质 2：正态过程的严平稳与宽平稳等价 证明：因为严平稳正态过程的均方值有界，严平稳正态过程肯