圆锥曲线之椭圆题库2 含详解 高考必备.doc

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1、51 如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l及x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点P的直线及椭圆相交于不同两点A、B求证：AFM=BFN； （3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。解（1）（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得则综上可知：恒有（3）（理科）当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形ABF面积的最大值是3 52 设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.解：设P（x，y）是所求轨迹上的任

2、一点，当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx3=0， x1+x2=y1+y2=，由 得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：消去k得：4x2+y2y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2y= 053 已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线及椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为，依题意 ， 所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当及轴不垂直时，设直线的方程为由

3、已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述 当最大时，面积取最大值54 已知向量，经过定点且方向向量为的直线及经过定点且方向向量为的直线交于点M，其中R，常数a0.（1）求点M的轨迹方程；（2）若，过点的直线及点M的轨迹交于C、D两点，求的取值范围.设点，又，故，消去参数，整理得点的轨迹方程为（除去点） （2）由得点M轨迹方程为（除去点），若设直线CD的方程为，则由消去y得，显然，于是，设，因此即若直线轴，则，于是，综上可知55如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E. （1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆

4、C的方程； （2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求的值； （3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由.解：（1）易知 （2）设又由同理 （3）先探索，当m=0时，直线Lox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE及BD相交FK中点N，且猜想：当m变化时，AE及BD相交于定点 证明：设当m变化时首先AE过定点NA、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线AE及BD相交于定点56 已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1

5、）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得所以椭圆的标准方程为3分（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知同理 当时，由，得从而有设线段的中点为，由 得线段的中垂线方程为 ，该直线恒过一定点 当时，或线段的中垂线是轴，也过点，线段的中垂线过点 （3）由，得。又，时，点的坐标为57 在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e，左右两个焦分别为过右焦点且及轴垂直的直线及椭圆相交M、N两点，且|MN|=1 () 求椭圆的方程；() 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点

6、P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上. 解：()轴，,由椭圆的定义得： （2分）， （4分）又得 所求椭圆C的方程为 ()由（）知点A(2,0)，点B为（0，1），设点P的坐标为则，,由4得，点P的轨迹方程为. 设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：， 点在椭圆上， ，整理得解得或 点P的轨迹方程为或， 经检验和都符合题设，满足条件的点P的轨迹方程为或 58 椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.（1）求椭圆的方程.（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.解：(1)又（2） 即59 在直角坐标平面内，已知点

7、， 是平面内一动点，直线、斜率之积为. ()求动点的轨迹的方程；()过点作直线及轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.解: ()设点的坐标为，依题意，有化简并整理，得动点的轨迹的方程是. ()解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, 由方程组 消去，并整理得设,则(1)当时，； (2)当时,且 . 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.60 在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1及C2在第一象限的交点，且MF2=（）求C1的方程；（）平面上的点N满足，直线lMN，且及C1交于A，B两

8、点，若，求直线l的方程解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得 ， 解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以及的斜率相同，故的斜率设的方程为由 消去并化简得 设，因为，所以所以此时，故所求直线的方程为，或61 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1, 直线l及y轴交于点P（0，m），及椭圆C交于相异两点A、B，且 （1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设C：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc，故C的方程为：y21 5

9、（2）由，14，3或O点及P点重合= 7当O点及P点重合=时，m=0当3时，直线l及y轴相交，则斜率存在。设l及椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1）0 62 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1

10、)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB及轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为 则- 椭圆方程 （2）直线l平行于OM，且在轴上的截距为m又l的方程为：- 由直线l及椭圆交于A、B两个不同点，m的取值范围是 （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可-9分设可得而k1+k2=0故直线MA、MB及x轴始终围成一个等腰三角形.63设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程；（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值

11、范围.解:(1)依题意知, 所求椭圆的方程为. （2） 点关于直线的对称点为，解得：，. 点在椭圆:上, 则.的取值范围为. 64 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.（1）若点满足，求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得及椭圆的两个交点、满足？令，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.解析：(1) ；(2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又

12、因为，所以，故E为CD的中点；(3) 因为点P在椭圆内且不在x轴上，所以点F在椭圆内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)65 已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线及椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. （）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。由于，故为的中点，由，可知

13、设是的中点，则，由题意可知即即而所以即又因为且所以。所以的取值范围是。66 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线及椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.（）求椭圆的焦距；（）如果,求椭圆的方程.解：（）设焦距为，由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.（）设直线的方程为联立解得因为即得故椭圆的方程为67 设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线及椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得因为，所以.即 得离心率 . （）因为，所以.由得.所以，

14、得a=3，.椭圆C的方程为. 68 设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；（2） 设A（0，b），,又M、N为及不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有 由点在抛物线上，解得：故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。69 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线y=t椭圆C交及不同的两点M，N，以线段为直径

15、作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P及x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。解：（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为（）由题意知由 得所以圆P的半径为解得 所以点P的坐标是（0，）（）由（）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以设，则当，即，且，取最大值2.70 在平面直角坐标系xOy中，点B及点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP及BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别及直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB及PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解

16、：因为点B及A关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积当时，得又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得及的面积相等，此时点的坐标为.70 已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线l及椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.（）解：由e=，得.再由，解得

17、a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.()(i)解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，整理得。故。所以。综上，或71 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、

18、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB及椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标及m无关）。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别及椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN

19、方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，及x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。72 已知点在椭圆上, 以为圆心的圆及轴相切于椭圆的右焦点. (1)若圆及轴相切,求椭圆的离心率； (2)若圆及轴相交于两点,且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.解：(1)设，圆M的半径为. 依题意得将代入椭圆方程得：，所以，又 从而得 ，两边除以得：解得：，因为 ，所以 .(2)因为是边长为2的正三角形，所以圆M的半径， M到圆轴的距离 又由(1)知：，所以， 又因为 ,解得：, 所求椭圆方程是：73 已知点(x, y) 在曲线C上，将此点的纵坐标变为

20、原来的2倍,对应的横坐标不变,得到的点满足方程；定点M(2,1)，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m0),直线及曲线C交于A、B两个不同点.(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.解： (1)在曲线上任取一个动点P(x,y), 则点(x,2y)在圆上. 所以有. 整理得曲线C的方程为.(2)直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,直线的方程为. 由 , 得 直线及椭圆交于A、B两个不同点，解得.m的取值范围是. 74已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点. （1）求P点坐标； （2）求证直线AB的斜

21、率为定值； （3）求PAB面积的最大值。解：（1）由题可得，设则，分，点在曲线上，则，从而，得.则点P的坐标为.（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，. 所以：AB的斜率为定值. （3）设AB的直线方程：.由，得，由，得P到AB的距离为， 则 当且仅当取等号三角形PAB面积的最大值为。75 已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且。（）求椭圆的方程；（）过点的直线l（斜率存在时）及椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m及y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围。解（）过（0，0） 则OCA=90

22、， 即 又将C点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4椭圆m： （）由条件D（0，2） M（0，t）1当k=0时，显然2t0 可得 设则 由 t1 将代入得 1t4t的范围是（1，4） 综上t（2，4） 76 已知椭圆的两焦点为，离心率.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线，若及此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.解：（1）设椭圆方程为，则，所求椭圆方程为. （2）由，消去y，得，则得 （*）设，则，解得.，满足（*） （3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k0），则BC边所在直线的方程为，由，得A用代替上式中的k，得，由，得k0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.第 24 页