2022年自动控制 .pdf

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1、-1-2 控制系统的状态空间描述内容提要要想分析和综合控制系统，首先要建立它的数学模型，系统的数学描述就是反映系统中各变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。选取不同的变量组间的因果关系来表征系统的动态过程可得到两种不同模式的系统数学模型，即输入输出模式的数学模型和状态变量模式的数学模型。在本章中，介绍了系统在状态空间中的数学模型状态空间描述及其建立。讲述了用状态空间法来分析研究控制系统的基本概念、理论和方法：包括由系统物理机理的直接求取和由系统的微分方程、传递函数、结构图等求取状态空间描述的一般方法。其次介绍了从状态空间描述求取传递函数，并引进了多变量系统的传递函数矩阵的概念，分析了由子系统

2、组合而成大系统的状态空间描述。介绍了离散系统的状态空间描述。最后介绍了控制系统数学模型到MATLAB工作空间的输入方法，为后面应用MATLAB仿真软件进行控制系统的分析与设计打下基础。习题与解答2.1 有电路图如图2.1P所示，设输入为1u，输出为2u，试自选状态变量并列写出其状态变量表达式。解系统如图u2R1RuC1C2u12u图2.1P设1C两端电压为1cu，2C两端的电压为2cu，则212221cccduuCRuudt(1)112121cccduuduCCdtRdt(2)设状态变量为11cxu，22cxu，由式(1）和(2）得：112121121212111cccduRRuuudtR R

3、 CR CR C2121222222111cccduuuudtR CR CR C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 25 页 -2-状态空间表达式为：1211211212121212122222221111111RRxxxuR R CR CR CxxxuR CR CR Cyuux&即:1221121211112222222211111RRR CR R CR CxxuxxR CR CR C&11210 xyux2.2 建立图2.2P所示系统的状态空间表达式。1B2BK1M2M)(tf图2.2P解令输入()f t为输入量，1M，2M的位移量1y，2y为输出量，选取状态变量

4、1x1y，2x=2y，3x=11vdydt，242vdyxdt。根据牛顿定律对1M有：121111v()dd yyMKyBdtdt对2M有：2212212v()()dd yydyMf tBBdtdtdt把11xy，22xy，13dyxdt，24dyxdt及uf代入上面两个式子经整理得：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 25 页 -3-状态方程为：132411313411111243422221()xxxxBBKxxxxMMMBBBxxxuMMMM&输出方程为：1122yxyx写成矩阵形式为：11221111133441122222112234001000001000

5、100()10000100 xxxxBBKuMMMxxxxBBBMMMMxyxyxx&2.3 对图2.3.2所示电枢控制直流电动机在电枢控制电压u和外力矩同时作用下，以转角为输出的状态空间表达式。解选取状态变量1axi，2x，3x，则有：1adidxdtdt，2dxddtdt。由电枢回路的电路方程有：aaa aadiLR iEudt；由动力学方程有：m adJC idt，由电磁感应关系有：aeEC。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 25 页 -4-式中：aE反电动势；mC转矩常数；eC电动势常数。将1axi，2x，3x，3yx代入上面式子，经整理得：11221323

6、1aeaaamRCxxxuLLLCxxJxxyx&写成矩阵形式得：112233123010000010001aeaaamRCLLLxxCxxuJxxxyxx&2.4 如图2.3P所示的水槽系统。设水槽1 的横截面积为1c，水位为1x；水槽 2 的横截面积为2c，水位为2x；设1R、2R、3R为各水管的阻抗时，推导以水位1x、2x作为状态变量的系统微分方程式。但是，输入u是单位时间的流入量，1y、2y为输出，是单位时间由水槽的流出量。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 25 页 -5-uc1R1y1c2x1x2y2R3R2图2.3P水槽系统解在水槽1，考虑时间增量t内水

7、量的进出。因为单位时间的流入量是输入u和有两个水槽的水位差决定的水量213()/xxR，流出量是111/yxR，所以，设水位的增量为1x，则水量的增量是11cx，为111211311()cxxxxutRR同样，得到水槽2 的水位增量2x的如下关系。222122322211()1cxxxxtRRyxR，因此，设0t，则11(/)xtx&，22(/)xtx&11211131312122322231111()111()xxxuc Rc Rc Rcxxxc Rc Rc R&即，设12Txxx，12Tyyy，则名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 25 页 -6-11131312

8、32223111()1111()0c Rc Rc Rcxxuc Rc Rc R&121010RyxR2.5 如图2.4P所示系统的结构图。以图中所标记的1x、2x、3x作为状态变量，推导其微分方程式。u、y分别为输入、输出，1、2、3是标量。+1/s1/s1/sd123321uy3x2x1x3x2x1x图2.4P系统结构图解着眼于求和点、，则有：2111xxx：3222xxx：uxx333输出y为1yxdu，得111222333100010001xaxxaxuxax&123100 xyxdux名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 25 页 -7-2.6 以恒压源u驱动的

9、如图2.5P那样的电网络。选择电感L上的支电流1x，电容C上的支电压2x作为状态变量时，求它的状态空间表达式。又，输出是图中所示电容C的支电压1y和电阻R的支电压2y。uLCR1R2y2y1x2x1图2.5P解这题可以根据克希荷夫定理求解，而在这里采用的方法是将电感以恒流源加以置换，电容以恒压源加以置换，由分析阻抗网络直接得到状态方程式。关于1x、2x的电网络状态方程式以包含常数11R、12M、11P、21N、22G、21Q的形式表现出来。uPxMxRxLvL112121111uQxGxNxCiC212221212这里，Lv是以与1x相同的方向为正的L的支电压，Ci是以与2x相同的方向为正的C

10、的支电流。这时，求出以L置换电流1x的恒流源，以C置换电压2x的恒压源所得的如下图所示的阻抗网络，就可以决定各个系数。uR1R2y2x2=y1x11xLvL2xCiC阻抗电网络按照叠加原理各个系数很容易决定。例如要决定11R，让02x、0u，也就是说，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 25 页 -8-使电源2x、u短路，求由电流1x所产生的Lv、1x与Lv之比就行了。就这样决定212111RRRRR，21112RRRM，21211RRRP21121RRRN，21221RRG，21211RRQ因此，得到121212121211221121212()()()11()()

11、()R RRRL RRL RRL RRxxuxxRC RRC RRC RR&其次考虑输出1y、2y。因为1y与2x相等，直接得到112010 xyux另一方面，2y由恒定电流1x、恒定电压2x、电源u决定，解阻抗网络求得uRRRxRRRxRRRy21122111212212112121212xRRRuxRRRRRR即1121122121212010yxyuRRRyxRRRRRR2.7 试求图2.6P中所示的电网络中，以电感1L、2L上的支电流1x、2x作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是3R上的支路电压。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 2

12、5 页 -9-uR1R2R3x1x2y图2.6PRL 电网络解133111111223232213320RRRRLLxxLuxxRRRLLxyRRx&2.8 已知系统的微分方程1)uyyyy354；2)uuyy32；3)uuyyyy75532。试列写出它们的状态空间表达式。解1)令1yx，2yx&，3yx&，则有122331231543xxxxxxxxuyx&状态空间表达式为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 25 页 -10-112233123010000105413100 xxxxuxxxyxx&2)采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程取零初试条件下的拉

13、氏变换得3222332()3()()()11()1223()232s y ssy ss u su ssy ssu sssss从而1122330100001031002xxxxuxx&12311022xyxx3)采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程取零初试条件下的拉氏变换得：3)uuyyyy75532323()2()3()5()5()7()s y ss y ssy sy ss u su s323232()571015185()235235y ssssu sssssss于是可知对应状态空间表达式为112233010000105321xxxxuxx&名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整

14、理-第 10 页，共 25 页 -11-1231815105xyxux2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。1)61161)(234ssssssG2)13232)(232ssssssG解1)232()1()()6116Y sssG sU ssss，即12312323()()123sssY sU ssss，令1231()()123E sU ssss，即123123()()2()3()()()()2()3()E sU ss E ss E ss E sY ss E ss E ss E s状态变量图如下：+1xyu2x3x+e+-6-11-6状态空间表达式为：

15、1122330100001061161xxxxuxx&名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 25 页 -12-123xxxy=1112)由已知得：12312323()()123sssY sU ssss，令1231()()123E sU ssss，得：123123()()2()3()()()()2()3()E sU ss E ss E ss E sY ss E ss E ss E s状态变量图如下：3+1xyu2x3x+e+-1-3-22状态表达式如下：112233010000101321xxxxuxx&123321xyxx2.10 用串联分解法建立下列传递函数的状态空

16、间表达式，并画出状态变量图。1)3)(2()1(6)(sssssG2)5612)(2ssssG解1)611()32sG ss ss状态变量图如下：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 25 页 -13-+1xu2x3x-3-26+y-2若指定图中每个积分器的输出为状态变量，则系统的状态空间表达式为：1212323236232xuxxxxxxyxx&即：112233123000612000130012xxxxuxxxyxx&2)12()2()(1)(5)sG sss=12251sss状态变量图如下：-+1x2x+y-1/2u-52若指定图中每个积分器的输出为状态变量，则

17、系统的状态空间表达式为：11212125212xxuxxxyxx&即：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 25 页 -14-112212502110112xxuxxxyx&2.11 用并联分解法重做上题。解1)1061lim123sscss226(1)lim3(3)sscs s336(1)lim4(2)sscs s123134()231()()1()()21()()3G ssssx su ssxsu ssxsu ss134()()()()23y su su su ssss令11()()x su ss，21()()2xsu ss，31()()3xsu ss则有123(

18、)()3()(4)()y tx txtx t同时1xu&，222xxu&，333xxu&因此状态变量图为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 25 页 -15-+3x1xu+y-2+2x3-3+-4状态表达式为：112233000102010031xxxxuxx&123134xyxx2)12()15ccG sss11211lim54sscs，25219lim14sscs1944()15G sss，1944()()()15y su su sss令11()()1x su ss，21()()5x su ss则11()x txu&，22()5xtxu&，1219()()()4

19、4y tx tx t可知状态变量图为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 25 页 -16-2x1xuy-59/4-1-1/4选择积分器输出为状态变量，可见状态表达式为1122121010511944xxuxxxyx&2.12 某随动系统的方框图如图2.7P所示，试写其状态空间表达式。Tas111Tmss1-K1x2x3xuy图2.7P解由方框图可知：121()()x sxss，231()()axsxsT s，3121()()()()1mxsu sx skxsT s，1()()y sx s可得：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 25 页

20、-17-31232312111()()()()()1()()()()()()mmmmakkx tx tx tx tu tTTTTx tx tTx tx ty tx t&状态空间表达式为：1122330100100011ammmmxxxxuTxxkkTTTT&123100 xyxx2.13 试写图2.8P所示系统的状态空间表达式。1u2u1y2yascbsd-图2.8P解由图可知：1122211122()()()()()()()()()()cx su sxssadxsusx ssby sx sysxs名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 25 页 -18-1121212

21、21122()()()()()()()()()()()()x tax tcxtcu tx tdx tbx tduty tx ty tx t&状态空间表达式为：1112221122001001xxuaccxxudbdyxyx&2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。1)1122010561xxuxx&2)111222330102330215127671xxuxxuxx&解1)求特征值1(6)5(5)(1)056IA121,5 求特征向量a、对于11：有1111121211015501vvvvb、对于25：有2121222251015105vvvv 构造P，求1P名师资料总结-精品资料欢迎下载-

22、名师精心整理-第 18 页，共 25 页 -19-1511144151144PP1005A,151104441111444BPB11040514xxu&为所求。2)求特征值1032(1)(2)(3)01276IA1231,2,3 求特征向量a、对于11有：1111121213131100131201127501vvvvvvb、对于22有：1111121213132100232204127401vvvvvvc、对于23有：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 25 页 -20-1111121213133100133203127303vvvvvv 构造P，求1P。1951

23、1212214332111353122PP 求A，B1953712710023222020,321151520003537127116222ABP B故37271002020152000327162xxu&为所求。2.15 试将下列状态方程化为约当标准形。11122233412311022711353xxuxxuxx&解1)求特征值：241212(1)(3)0113IA1231,32)求特征向量 对于1有：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 25 页 -21-111112121313312001120211201vvvvvv 对于3有：212122222323112

24、011320111001vvvvvv313132323333112111321011010vvvvvv3)构造P，求1P。1011011210012110112PP4)求A，B。1100031,003011313401227811125352ABPB100340318100352xxu&2.16 已知系统的状态空间表达式为512315124xxuyxu&求其对应的传递函数。解名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 25 页 -22-5131A，25B，12C，4D1()()G sC sIABD15131111()35(5)(1)3ssIAsssIAsss122()()1

25、121124355(2)(4)4369168G sC sIABDssssssss2.17 已知系统的状态空间表达式为11122233210110301401423xxuxxuxx&11223111210 xyxyx求其对应的传递函数矩阵。解21011111030,14,021001423ABCD11()()()G sC sIABDC sIAB210030014ssIAss名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 25 页 -23-11102(2)(3)1()003110(3)(4)4ssssIAssss121102(2)(3)1111()002103110(3)(4)41

26、81412(2)(3)(4)42402(2)(3)sssC sIAsssssssssssssss1271026(3)(4)(2)(3)(4)()()12103(2)(3)sssssssG SC sIABssss2.18 设系统的前向通道传递函数矩阵和反馈通道传递函数矩阵分别为111122ssG ss1001H s求其闭环传递函数矩阵。解100()()()G sIG s HGs011111011()10112222ssssGs Hss名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 25 页 -24-011211011()01132222sssssIGs Hsss221022(1)

27、(3)1(2)(52)52()2(1)(2)5252s ssssssssIG s Hs ss sssss故100()()()G sIG s HGs2222(1)(3)111(2)(52)52112(1)(2)225252s sssssssssss ss ssssss22222394(1)(2)(52)522(1)325252sssssssss ssssss2.19 设离散系统的差分方程为kukukykyky2)1()(3)1(5)2(求系统的状态空间表达式。解用 Z 变换，得：22()5()3()()2()()2()()53Z y zZy zy zZu zu zy zzg zu zzz状态方程

28、式为112212(1)()010()(1)()351()21()x kx ku kx kxkx kyxk2.20 已知离散系统的状态空间表达式为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 25 页 -25-1221212(1)()(1)()3()2()()()()x kx kxkx kx ku ky kx kx k求对应的脉冲传递函数。解由状态空间表达式知：12()()ZXzXZ(1）212()()3()2()ZXzXzXzU z(2）12()()()Y zXzXz(3）(1)式代入(3)式111()()()(1)()Y zXzZXzZXz1()()1Y zXzZ(4）(1)代入(2)2111()()3()2()Z XzXzZXzU z21(31)()2()ZZXzU z2()(31)2()1Y zZZU zZ脉冲传函为2()2(1)()(31)Y zZU zZZ名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 25 页 -