合肥168中学2011年自主招生数学试题(含答案).doc

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1、答案一、选择题3、已知：y=1/2(x的平方-100x+196+|x的平方-100x+196|),当x=1，2，到100，求这100个自然数的和的函数值解法一：对于函数x2-100x+196，它可因式分解为(x-2)(x-98)，所以当x=2 x=98时，这个函数为0当2x98时，这个函数的x轴的下面，而对于|x的平方-100x+196|，它在x轴的上面，且两者离x轴的距离都相等。所以当x=2、3、4、98时，y都为0当x=0时，y=1/2*(196+196)=196该函数的抛物线为x=50，所以x=1和x=99的值相等，当x=1时，y=12-100+196=97所以这100个自然数的值为 1

2、96+97*2=390解法二：当2x98时，因为 x2-100x+196=(x-2)*(x-98)0， 所以恒有 y=x2-100x+196-(x2-100x+196)/2=0, 当x=1,99,100时，y=x2-100x+196+(x2-100x+196)/2=x2-100x+196。 y(1)=y(99)=97，y(100)=196。 所以：y(1)+y(2)+y(3)+y(4)+y(97)+y(98)+y(99)+y(100) =97+0+0+0+0+0+97+196=390。5、设 a平方+1=3a，b平方+1=3b,且a不等于b，则代数式1/a平方+1/b平方的值是解：a1=3a，

3、b1=3b，则：a、b是方程x1=3x即x3x1=0的两个根，则：ab=3且ab=11/a1/b=ab/(ab)=(ab)2ab/(ab)=76、如图，一个等边三角形的边长及它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）解：小球周长和三角形边长相等，因此在每条边转动了360（即转1圈）三条边一共 3圈。每经过一个顶点，需要转120： 180-60=120三个顶点一共多转了120*3=360，即1圈因此，一共转了4圈，(或者1440)7、如图，等边ABC的边长为10cm,以AB为直径的O分别于,CA,CB于DE两

4、点，则图中阴影部分的面积为解：解：ABC为等边三角形， A=B=60 又AB是O的直径， AO=AD=DO=BO=BE=EO=1/2AB=5 DOE=60 SADO+SBEO=2(1/2)5(5/2)3=(25/2)3 S扇形ODE=（60/360)5=（25/6) 又SABC=（1/2）1053=253 阴影部分的面积为：SABCSADOSBEOS扇形ODE =253-（25/2)3（25/6) =（25/2)3（25/6)8、如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D点的任一点，且NMB=MBC,求tanABM的值解：过点N作直线NO平行于MB，交BC于点ONMB=MBC,

5、 NOMB四边形BMNO为等腰梯形 BO = MNN是DC的中点BO=MN=DM+DN=(AB-AM)+(AB/2)NOMB, ADBCAMB=MBC=NOCAMBCONOC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)BO=AB-AM/2得到方程式(AB-AM)+(AB/2)=(AB-AM/2)解方程得：AB-2*AB*AM+ AM+AB/4=AB-AB*AM+AM/4AB/4- AB*AM+3/4 * AM=0(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0AB=AM或AB=3AMAB=AM时M重合于D，不合题意。AB=3AMtanABM=AM/AB=1/3二、填空题10. 若关于x

6、的不等式组 只有4个整数解，求a的取值范围解不等式1得x2-3a结合两解得2-3ax21而x有四个整数解，观察上式可知，这四个整数解为20、19、18、17，所以16=2-3a17-5a1，以A 为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x。 （1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：ABC的最大面积？答案（找作业答案-上魔方格）解：（1）在ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x，解得1x2；（2）若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解；若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得

7、x=，满足1x2；若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=，满足1x2，x=或x=；（3）在ABC中，作CDAB于D，设CD=h，ABC的面积为S，则S=xh，如图甲所示，若点D在线段AB上，则，（3-x）2-h2=x2-2x+1-h2，即x=3x-4，x2（1-h2）=9x2-24x+16，即x2h2=-8x2+24x-16，S2=x2h2=-2x2+6x-4=-2，当x=时（满足x2），S2取最大值，从而S取最大值，如图乙所示，若点D在线段MA上，则，同理可得，S2=-2x2+6x-4=-2（x-）2+，易知此时S，综合得，ABC的最大面积为。17、如图所示,AB是圆O的直径,AB

8、=d,过A作圆O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接OC交圆O于点D,BD的延长线交AC于E，求AE的长3218、（2008杭州）在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：顶点为Q；及x轴相交于B，C两点（|OB|OC|）连接AB（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|OC|？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且tanABO= ，求抛物线F对应的二次函数的解析式考点：二次函数综合题专题：压轴题分析：（1）平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F，则抛物线的二次项系数不变，顶点为Q，则函数的解析式就可以直接写出是y=-t（x-t）2+b|OB|OC|就是一元二次方程-t（x-t）2+b=0的两根的积得绝对值，因而可以用根据韦达定理，利用t表示出来而OA=t，根据|OA|2=|OB|OC|就可以得到一个关于t的方程从而把问题转化为判断方程的解得问题（2）AQBC即Q得纵坐标是b=t，得到抛物线F是：y=-t（x-t）2+t就可以求出B，C的坐标已知tanABO= 32，就是已知OA及OB得比值，即t的关系就可以转化为方程问题解决解答：解：（1）存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|OC|第 7 页