逻辑函数及其简化.ppt

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1、关于逻辑函数及其简关于逻辑函数及其简化化现在学习的是第1页，共71页本章第一次课本章第一次课 逻辑代数及运算逻辑代数及运算 小问题小问题什么是与？写出表达式，符号，真值表。什么是或？写出表达式，符号，真值表。什么是非？写出表达式，符号，真值表。什么是异或？写出表达式，符号，真值表。什么是同或？写出表达式，符号，真值表什么是真值表？什么时候逻辑函数相等？如何检验一个逻辑公式是否正确？掌握逻辑运算的优先级。掌握逻辑运算的优先级。根据基本概念理解并记忆常用公式。根据基本概念理解并记忆常用公式。理解原函数、对偶函数、反函数概念。理解原函数、对偶函数、反函数概念。何为对偶规则？何为对偶规则？何为反演规则

2、？何为反演规则？现在学习的是第2页，共71页2.1 逻辑代数逻辑代数 英国数学家乔治布尔(George Boole)：1849年 布尔代数（Boolean Algebra）研究逻辑变量间的相互关系，分析和设计逻辑电路 逻辑变量：两种取值，真或假、高或低、1或0 逻辑代数（逻辑代数（Logic Algebra）现在学习的是第3页，共71页 2.1.1基本逻辑基本逻辑S1S2FS1 S2F0 00 11 01 10001与逻辑的真值表F=S12或F=S1S2函数表达式：最基本的逻辑关系有：与、或、非 1.逻辑与 全部条件同时具备时，该事件才发生：逻辑乘100FAAFAFA AA 现在学习的是第4页

3、，共71页 2.逻辑或逻辑或FS1S2F=S1+S2一个或一个以上具备时，该事件都会发生：逻辑加。S1 S2F0 00 11 01 10111或逻辑的真值表 函数表达式：F=A+11F=A+0AFA+AA现在学习的是第5页，共71页3.逻辑非逻辑非SFFS 条件具备时，该事件不发生；不具备时，事件发生，逻辑反。SF0110非逻辑的真值表0110AA现在学习的是第6页，共71页逻辑符号图形逻辑符号图形国家标准现在学习的是第7页，共71页 2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算1、逻辑加（或）P=A+B（A、B中只要有1个为1，则P为1）A+0=0A+1=1A+A=A现在学习的是第8页，共71页2、逻

4、辑乘（与）、逻辑乘（与）PAB（A、B均为1，则P才为1）A1=AA0=0AA=A现在学习的是第9页，共71页3、逻辑非（非）、逻辑非（非）10PAAAAAA A现在学习的是第10页，共71页4、复合逻辑运算、复合逻辑运算 B B+CD ABABB ABAB ABPAPAPAP或非与或非同或异或A BP（同或）P（异或）0 00 11 01 110010110同或/异或逻辑的真值表 现在学习的是第11页，共71页A0AA0AA1A1AAA 0AA 1AA 1AA0ABABABABABABAB=AB=ABA同或、异或的性质同或、异或的性质现在学习的是第12页，共71页门电路门电路 输出和输入之间

5、具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路逻辑门电路，简称门电路门电路。现在学习的是第13页，共71页小结小结基本逻辑：与或非复合逻辑与非 或非异或同或含义符号简单公式真值表现在学习的是第14页，共71页2.1.3 真值表与逻辑函数真值表与逻辑函数真值表：左边：所有输入信号的全部组合。右边：相应的输出由真值表获得逻辑函数。与或表达式或与表达式现在学习的是第15页，共71页ABCP00000010010001111000101111011 111真值表与或式或与式PABCABCABCABC()()()()PABCABCABCABCP=1的对应组合：1为原变量，0为反变量P=0的对应组合：0为原变量，1

6、为反变量输入输出现在学习的是第16页，共71页2.1.4 逻辑函数相等逻辑函数相等逻辑函数相等逻辑函数相等：所有输入变量的全部组合情况下，若两个函数是所有输出都相同，则认为这两个函数相同。例2-2F(A,B,C)=A(B+C)G(A,B,C)=AB+ACABCFG0000000100010000110010000101111101111111现在学习的是第17页，共71页01110000011001AAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 1、变量和常量现在学习的是第18页，共71页2、交换率、结合律、分配率交换率结合律分配率ABBAA BBAABBAABBA()()()()ABCABC

7、A B CA BCABCABCABCABC()()()()()()()A BCABACABCAB ACA BCABACABCABAC()()()()()()()A BCABACABCAB ACA BCABACABCABAC现在学习的是第19页，共71页3、逻辑代数的特殊规律、逻辑代数的特殊规律重叠率反演率0AAAA AAAAAAAABA BABABABABABAB调换率A,ACBBCAA,ACBBCABCBC若则，若则，ABA()BAB 由调换率可得现在学习的是第20页，共71页2.1.5 三个规则三个规则A B=A+B A(BC)=A+(BC)=A+B+C 1.代入规则 在一个逻辑等式两边出

8、现某个变量（或表示式）的所有位置都代入另一个变量（或表达式），则等式仍然成立。例如:已知 ，在等式两边出现B的所有位置都代入BC，则等式仍然成立，即现在学习的是第21页，共71页逻辑运算优先级规则逻辑运算优先级规则非非与与或或异或、同或异或、同或高低优先级优先级现在学习的是第22页，共71页2.反演规则反演规则例如:则 ZA BA CDZ(AB)AC D将所有的“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量得到函数F的反函数F要注意:保持原函数中逻辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。现在学习的是第23页，共71页3.对偶规则对偶规

9、则将所有的“”换成“”，“”换成“”“0”换成“1”，“1”换成“0”，函数F的对偶函数F。例如:F1=A (B+C)，F1*=A+B C F2=A B+A C，F2*=(A+B)(A+C)如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。这就是对偶规则。例如:已知 A (B+C)=A B+A C 则 A+BC=(A+B)(A+C)现在学习的是第24页，共71页课后作业课后作业P47 (P51)1、（2）（3）2、（1）（3）3、（2）（4）5、（1）（3）（5）现在学习的是第25页，共71页本章第本章第2次课（公式法化简）次课（公式法化简）基本要求基本要求掌握3个常用公式。可利用常用公式对简单的函数

10、进行化简。何为最小项表达式？如何根据原函数的最小项表达式来求其对偶函数、反函数的最小项表达式？何为最大项表达式？如何根据原函数的最大项表达式来求其对偶函数、反函数的最大项表达式？从最小（大）项理解原函数、对偶函数、反函数概念。现在学习的是第26页，共71页2.1.6 常用公式（本章第常用公式（本章第2次课开始）次课开始）下面列出一些常用的逻辑代数公式，利用前面介绍的基本公式可以对它们加以证明。（1）ABABAABABA(BB)A 1A 证明：现在学习的是第27页，共71页（2）A+AB=A 证明:A+AB=A1+AB=A(1+B)=A1=A在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子

11、，则另一个与项可以不要。这一公式称为吸收律。例如:(AB)(AB)C DAB吸收律现在学习的是第28页，共71页（3）AA BABAB(AA)(AB)AAABAAABAAB0ABA(1+B)ABA+AB 证明:在一个与或表达式中，如果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。例如:A+B+(A B)C=A+B+A+B C=A+B+C现在学习的是第29页，共71页（4）证明:A B+A C+B C=A B+A CA B+A C+B C=A B+A C+B C(A+A)=A B+A C+A B C+A B C=(A B+A B C)+(A C+A C B)=A B+A C 公式的含义

12、是:在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的。4A B+A C+BC DEFG.=A B+A C公式 扩展：现在学习的是第30页，共71页（5）证明:A B+A C=(AC)(A+B)(AC)(A+B)=AAAB+CACB=0+AB+AC+BC=AB+AC5)A+B)(AC)ACAB对(式的两边取对偶可得：（现在学习的是第31页，共71页2.1.7 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式最小项表达式（标准与或表达式）标准与或表达式是一种特殊的与或表达式，其中的每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变

13、量出现一次且仅出现一次，这样的与项称为标准与项，又称最小项。例如：675(5,6,7)FABACABCABCABCABCABCABCABCmmmm现在学习的是第32页，共71页最小项的主要性质(1)每个最小项都与变量的惟一的一个取值组合相对应，只有该组合使这个最小项取值为1，其余任何组合均使该最小项为0。(2)所有不同的最小项相或，结果一定为1。(3)任意两个不同的最小项相与，结果一定为0。求最小项对应的变量取值组合时，如果变量为原变量，则对应组合中变量取值为1；如果变量为反变量，则对应组合中变量取值为0。现在学习的是第33页，共71页F=A+BC+ABC F=A+BC+ABC =A(B+B)

14、(C+C)+(A+A)BC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC124567F(A,B,C)=m+m+m+m+m+m F(A,B,C)=m(1,2,4,5,6,7)F(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7)或 或 法22F(A,B,C)=m(100,101,110,111,001,101,010)F(A,B,C)=m(4,5,6,7,1,5,2)m(1,2,4,5,6,7)现在学习的是第34页，共71页1247 F(A,B,C)=A BC+ABC+ABC+ABC=m+m+m+m=m(1,2,4,7)=(1,2,4,

15、7)A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101001当变量A、B、C取001、010、100、111时，函数F的值为1。对应于：所以：A BC+ABC+ABC+ABC现在学习的是第35页，共71页原函数、反函数、对偶函数关系原函数、反函数、对偶函数关系*Fm(0,1,2,3,7)Fm(4,5,6)ABCABCABCFm(74,75,76)m(1,2,3)ABCABCA BC总结：反函数原函数中没有的最小项之和 对偶函数（2n1原函数中没有的最小项编号）的最小项之和从最小项的形式看变量取反现在学习的是第36页，共71页2)最大项表达式（

16、标准或与表达式）最大项表达式（标准或与表达式）每个或项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量以原变量或反变量出现一次且仅出现一次。这样的或项称为标准或项，又称最大项。102()()()(0,1,2)FABCABCABCMMMM现在学习的是第37页，共71页最大项的主要性质最大项的主要性质(1)每个最大项都与变量的惟一的一个取值组合相对应，只有该组合使这个最大项取值为0，其余任何组合均使该最大项为1。(2)所有不同的最大项相与，结果一定为0。(3)任意两个不同的最大项相或，结果一定为1。求最大项对应的变量取值组合时，如果变量为原变量，则对应组合中变量取值为0；如果变量为反变量，则对应组合中变量取值

17、为1。现在学习的是第38页，共71页F=A(B+C)*F=A(B+C)F=A+BC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABCF=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M(6,3,2,1,0)写出函数的最大项表达式解：现在学习的是第39页，共71页A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110010110F(A,B,C)=m(0,3,5,6)F(A,B,C)=M(1,2,4,7)解：根据真值表写出函数的最小项、最大项表达式。现在学习的是第40页，共71页3)标准与或表

18、达式标准与或表达式和和标准或与表达式标准或与表达式之间的转之间的转换换同一函数,其最小项表达式中最小项的编号和其最大项表达式中最大项的编号是互为补充的。2F=A(B+C)=M(6,3,2,1,0)=AB+ACm(100,101,101,111)m(4,5,7)最大项表达式与最小项表达式之间的关系：现在学习的是第41页，共71页4)标准异或表达式标准异或表达式nnnnnnn21iiiiijji=02121ii00iii=0i=1212100ii00iii=1i=12100iii=12100iii=1F=a ma01 a ma m0ijF=a ma ma mA+BABA BFa ma ma ma

19、ma ma m0a ma ma（其中 或），则：（）所以：因为：（）P22 公式2-1-42则：（）n2100iii=1ma m由数学归纳法：1ii001111Fa ma ma mamnnn222i=0同理：1ii001111F(aM)(aM)(aM)(aM)nnn222i=0现在学习的是第42页，共71页例例2-7将将 转化为异或标准形式转化为异或标准形式F=AB+BC解：F=AB+BCABCABCABCABCABCABCABCABC可将其化为只包含原变量的形式：F=ABCABCABCABCA(1B)(1C)A(1B)C(1A)B(1C)AB(1C)(AAB)(1C)(AAB)C(BAB)(

20、1C)(ABABC)AACABABCACABCBBCABABCABABCABABBC现在学习的是第43页，共71页2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。表达式越简单，需用门电路的个数就越少，就越经济可靠。最简表达式有很多种：最简与或表达式 最简或与表达式 不同类型的逻辑函数表达式，最简的定义也不同。现在学习的是第44页，共71页F=AB+AB+AB+ABF=AB+AB+AB+AB=(AB+AB)+(AB+AB)=A+A=1AB+AB=B用公式法化简下式解：现在学习的是第45页，共71页公式法化简公式法化简A+AB=AF=(A+AB+ABC)(A+B+C)F=

21、(A+AB+ABC)(A+B+C)=A(A+B+C)=A+AB+AC=A解：现在学习的是第46页，共71页公式法化简公式法化简A+AB=A+BF=AB+AC+BC+CD+DF=AB+AC+BC+CD+D=AB+AC+BC+C+D=AB+A+B+C+D=B+A+B+C+D=1解：现在学习的是第47页，共71页公式法化简公式法化简AB+AC=AB+AC+BCF=AB+BD+DA+DCE F=AB+BD+DA+DCE =AB+BD+AD+DA+DCE =AB+BD+D+DCE =AB+D解：利用前2项生成AD现在学习的是第48页，共71页公式法化简公式法化简F=AB+BC+BC+ABF=AB+BC+

22、BC+AB =AB+BC+ABC+A BC+ABC+ABC =AB+AC+BCF=AB+BC+BC+AB =AB+BC+ABC+A BC+ABC+ABC =AB+AC+BC解：现在学习的是第49页，共71页例例2-12 化简函数化简函数解：F=AB+AC+BC+BD+BDBCADE(FG)F=AB+AC+BC+BD+BDBCADE(FG)A(BC)+BC+BD+BDBCADE(FG)ABC+BC+BD+BDBCADE(FG)A+BC+BD+BDBCADE(FG)A+BCD+BCD+BD+BCDBC DBCA+BD+BC+CD现在学习的是第50页，共71页例例2-13 化简函数化简函数解：F=A

23、(A+B)(A+C)(B+D)(A+C+E+F)(B+F)*F=A+AB+AC+BD+ACEF+BF=A+C+BD+CEF+BF=A+C+BD+BFF=AC(B+D)(B+F)现在学习的是第51页，共71页课后作业（本章第课后作业（本章第2次）次）P514、（1）（3）（5）6、（2）7、（1）（3）8、（1）（3）（5）现在学习的是第52页，共71页本章第本章第3次课次课 要求要求何为卡诺图？如何根据最小（大）项表达式画卡诺图？如何由卡诺图得到最小（大）项表达式？如何由与或表达式画卡诺图？如何由卡诺图得（最简）与或表达式？什么是任意项？什么是約束项？什么是无关项？与卡诺图化简有什么关系？现在

24、学习的是第53页，共71页2.2.2 图解法（卡诺图图法）图解法（卡诺图图法）已知逻辑函数的真值表，要画出函数的卡诺图，只需找出真值表中函数值为1的变量组合，确定其大小编号，并在卡诺图中具有相应编号的方格中标上1，即得到该函数的卡诺图。卡 诺 图：行、列变 量 按单 位 间 距 码 排 列 现在学习的是第54页，共71页3变量卡诺图的一般形式 m0m2m4m6CAB000101m1m3m7m51110m0m4m8m12ABCD00010001m1m5m13m9111011m3m7m15m1110m2m6m14m104变量卡诺图的一般形式 现在学习的是第55页，共71页1101CAB000101

25、110111102F=ABCBCm(000,001,010,011,010,110,001,101)m(0,1,2,3,5,6)例：例：从上面例子可以看出：一个与项如果缺少与项如果缺少一个变量，对应卡诺图中两个两个方格方格 一个与项如果缺少缺少两个两个变量变量，对应卡诺图中卡诺图中四个四个方格方格 一个与项如果缺少n个变量，则对应卡诺图中2n个方格0123456701232315现在学习的是第56页，共71页1)卡诺图化简法的步骤卡诺图化简法的步骤 画出函数的画出函数的卡诺图卡诺图，将卡诺图中的1方格按逻辑相邻特性进行方格按逻辑相邻特性进行分组划圈分组划圈。每个圈得到一个简化的每个圈得到一个简

26、化的与项与项，与项中只包含在圈中取值在圈中取值没有变化没有变化过的变量过的变量，值为1的以的以原变量原变量出现出现，值为0的以的以反变量反变量出现。将所得各个与项与项相或相或，得到该函数的最简与或最简与或表达式表达式。现在学习的是第57页，共71页2）用卡诺图化简法的原则）用卡诺图化简法的原则每个值为每个值为1的方格的方格至少至少被圈一次被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。每个圈中至少有每个圈中至少有一个一个1方格方格是其余所有圈中不包含的。是其余所有圈中不包含的。如果一个圈中的任何一个1方格都出现在别的圈中，则这个圈就是多余多余的。任

27、一圈中都不能包含取值为任一圈中都不能包含取值为0的方格的方格。圈的个数个数越少越好越少越好。圈的个数越少，得到的与项就越少。圈越大越好越大越好。圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的1方格的个数必须是2的整数次方。现在学习的是第58页，共71页F=D(A+B)+B(C+AD)F=D(A+B)+B(C+AD)=AD+BD+BC+ABDCDAB00010001111111101111111011DCBF=D+BC写出函数的最简与或表达式：解:首先将函数F转换为一般与或表达式:现在学习的是第59页，共71页1CDAB000111110110001111011111111(a

28、)D BBCAACDCABDC A1CDAB000111110110001111011111111(b)DCABDD CAC B ACBAF=BD+ABC+ACD+ABC+ACDF=BD+ABC+ACD+ABC+ACD函数化简F（A,B,C,D）m(0,1,2,5,6,7,8,10,11,12,13,15)解：现在学习的是第60页，共71页3）带无关项逻辑函数的化简1.逻辑函数中的无关项 在实际的逻辑关系中，有时会遇到这样一种情况，即变量的某些取值组合是不会发生的，这种加给变量的限制称为变量的约束，而这些不会发生的组合所对应的最小项称为约束项。对变量约束的具体描述叫做约束条件。例如，AB+AC

29、=0，(5,6,7)=0,d(5,6,7)等。在真值表和卡诺图中，约束一般记为“”或“”。现在学习的是第61页，共71页2、任意项、任意项 另外，有时我们只关心变量某些取值组合情况下函数的值，而对变量的其他取值组合所对应的函数值不加限定，取0或者取1都无所谓。函数值取值可0可1的变量组合所对应的最小项常称为任意项。约束项和任意项统称为无关项。现在学习的是第62页，共71页函数化简函数化简F=A BC+A BCD+ABCDACD+ACD=0解:下面分别用公式法和卡诺图法进行求解。（1）公式法。由约束条件得:现在学习的是第63页，共71页ACD=0 ACD=0 F=A BC+A BCD+ABCD

30、=A BC+A(B+B)CD =A BC+ACD =A BC+ACD+ACD =A BC+AC(D+D)=A BC+AC =A(BC+C)=A(B+C)=A B+AC现在学习的是第64页，共71页卡诺图法卡诺图法CDAB00011110X100011110X1X1X1ACD+ACD=0F=AB+ACF=A BC+A BCD+ABCD现在学习的是第65页，共71页【例1.37】求函数的最简与或表达式。F=(0,2,5,9,15)+d(6,7,8,10,12,13)解:1CDAB0001X1110X0X00011110X11X1X0100F=BD+BD+AC现在学习的是第66页，共71页4）例：求

31、函数）例：求函数F（a,b,c,d）m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)的最简或与式的最简或与式1abcd0001001110100000111101011011110解：对0格加圈合并,1为反变量，0为原变量F=(b+d)(a+b+c)(b+c+d)现在学习的是第67页，共71页利用卡诺图将函数化简为最简或与式。利用卡诺图将函数化简为最简或与式。F=ACD+AB+ABCD+ABCD1CDAB0001001110100000111100001111110F=(A+B+C)(B+D)(A+B)解：现在学习的是第68页，共71页例例2-16 求函数的最简或与式求函数的最简或与式F(a,b,c,d)=m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)解：F(a,b,c,d)=(b+c+d)(a+b+c)(b+d)现在学习的是第69页，共71页作业作业P48(P52)9、（1）（2）（4）（6）（8）（10）10、现在学习的是第70页，共71页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第71页，共71页