牛顿迭代应用.ppt

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1、牛顿迭代应用现在学习的是第1页，共18页211nnnxCxx 例例1 平方根算法平方根算法 收敛性分析收敛性分析21111)(2121CxxCxCxCxnnnnn 21111)(2121CxxCxCxCxnnnnn 211)(CxCxCxCxnnnn nqCxCxnn2 nnqqCxn2211 )0(0 xCn)(00CxCxq 令令思考思考:如果迭代初值如果迭代初值 x0 为负数是否也收敛为负数是否也收敛？现在学习的是第2页，共18页例例2*.采用迭代法计算采用迭代法计算 ，取，取x0=7 7)7(211kkkxxx (k=0，1，2，)若若xk具有具有n位有效数字位有效数字，求证求证xk+

2、1具有具有2n位有效数字位有效数字。77)/7(21)/7(2121 kkkkkxxxxx221|7|721)7(21|7|kkkkxxxxnkkxx22211041721|7|721|7|nkx2111021|7|Ex2：对对 是否都有这是否都有这一性质一性质?C现在学习的是第3页，共18页 例例3 应用牛顿迭代法于方程应用牛顿迭代法于方程 x3 a=0,导出求立方根的迭代公式导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶并讨论其收敛阶。解解：令令 f(x)=x3 a，则牛顿迭代公式则牛顿迭代公式 22313323nnnnnnxaxxaxxx 2332)(xaxx 33232)(xax 42)(xa

3、x 0)(*x 故立方根迭代算法二阶收敛故立方根迭代算法二阶收敛0)(*x 现在学习的是第4页，共18页例例4.设设a 为正实数为正实数,试建立求试建立求1/a 的牛顿迭代公式的牛顿迭代公式,要要求在迭代公式中不含除法运算求在迭代公式中不含除法运算,并考虑迭代公式的收并考虑迭代公式的收敛。敛。xn+1=xn(2 a xn)，(n=0，1，2)kaxaxk20)1(1 )1(1 120kaxaxk 所以所以,当当|1 a x0|1 时，迭代公式收敛时，迭代公式收敛。01)(axxf解解:建立方程建立方程利用牛顿迭代法，得利用牛顿迭代法，得1 a xn+1=(1 a xn)2 整理，得整理，得现在

4、学习的是第5页，共18页应用应用:设设)1|(,1 xxa)1|(,1)1(211 xxxxa取取X0=1,递推公式递推公式21)1(1nnaXaX xaaX 110kkxaXaXk220)1(1 kxaXk212 )1(21kxXXkk nknkxX021)1(牛顿迭代牛顿迭代)2(1kkkaXXX )1(1xX )1)(1()1(2212xxxXX 设设 nknkxX02)1(1)1(21nxXXnn nkkx02)1(现在学习的是第6页，共18页例例5 用牛顿迭代法求解非线性方程组用牛顿迭代法求解非线性方程组 01)5.0()2(01222yxyx1),(21 yxyxf1)5.0()2

5、(),(222 yxyxf 1242122211yxxyfxfyfxfG),(10),(1000110000)()(),(),(yxyxyfyyxfxxyxfyxf ),(20),(2000210000)()(),(),(yxyxyfyyxfxxyxfyxf 现在学习的是第7页，共18页),(211),(11nnnnyxyxnnnnffGyxyx 分别取初值分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下牛顿迭代法计算数据如下 nxn yn xn yn01 0 2 211.06250.12501.64581.583321.06730.13911.55701.416331.06730.1

6、3921.54651.391741.06730.13921.54631.3912现在学习的是第8页，共18页手机位置的三点定位法手机位置的三点定位法已知三个基站的位置已知三个基站的位置 P1(x1,y1)P2(x2,y2)P3(x3,y3)手机位置手机位置 Q(x,y)？已测得已测得Q到点到点P1、P2以及以及 P3 的距离的距离d1,d2和和 d3 232323222222212121)()()()()()(dyyxxdyyxxdyyxx d1d2d3Q现在学习的是第9页，共18页数学模型数学模型 232332233222222222222121122112222222dyyyyxxxxdy

7、yyyxxxxdyyyyxxxx 2131311212)()()()(byyyxxxbyyyxxx2/)()(2222212121221yxyxddb 2/)()(2323212121232yxyxddb 其中其中，2113131212bbyxyyxxyyxx矩阵表示矩阵表示 现在学习的是第10页，共18页例例1 已知三个接收站位置数据及手机距离数据已知三个接收站位置数据及手机距离数据Pk xk yk dP1 10 40 33.5P2 50 10 40P3 100 50 60 x=40.9500 y=47.5625 直接法定位直接法定位现在学习的是第11页，共18页 0)()(0)()(0)(

8、)(323232222212121 YyXxYyXxYyXx 0),(0),(0),(321yxfyxfyxf非线性超定方程组非线性超定方程组方程组局部线化方程组局部线化 0)()(),(0)()(),(0)()(),(320310003220210002120110001gyygxxyxfgyygxxyxfgyygxxyxf202001)()(kkkkYyXxXxg 202002)()(kkkkYyXxYyg ),(100yxkkxfg ),(200yxkkyfg 现在学习的是第12页，共18页线性超定方程组线性超定方程组 ),(),(),(00300200100323122211211yx

9、fyxfyxfyyxxgggggg0000FyyxxG 超定方程组最小二乘解超定方程组最小二乘解0010000)(FGGGyyxxTT 初值修正初值修正001000011)(FGGGyxyxTT 高斯高斯-牛顿迭代牛顿迭代kTkkTkkkkkFGGGyxyx111)(),2,1,0(k现在学习的是第13页，共18页05.33)40()10(22 yx040)10()50(22 yx060)50()100(22 yx2211)40()10(10 yxxg2221)10()50(50 yxxg2231)50()100(100 yxxg2212)40()10(40 yxyg2222)10()50(1

10、0 yxyg2232)50()100(50 yxyg非线性方程组非线性方程组初值选取初值选取:3/)1005010(0 x3/)501040(0 y现在学习的是第14页，共18页高斯高斯-牛顿迭代法牛顿迭代法53.3333 41.2921 41.0806 41.0823 41.0824 41.0824 33.3333 49.4713 49.3049 49.2986 49.2983 49.2983 x=40.824 y=49.2983 比较直接法结果比较直接法结果x=40.9500 y=47.5625 现在学习的是第15页，共18页牛顿迭代法的收敛域问题牛顿迭代法的收敛域问题:用牛顿迭代法求解复

11、数方程用牛顿迭代法求解复数方程 z3 1=0，该方程在复平该方程在复平面上三个根分别是面上三个根分别是iz23212 iz23213 z1=1选择中心位于坐标原点，边长为选择中心位于坐标原点，边长为2 2的正的正方形内的任意点作初始值，进行迭代方形内的任意点作初始值，进行迭代，把收敛到三个根的初值分为三类，把收敛到三个根的初值分为三类，并分别标上不同颜色（例如红、黄、并分别标上不同颜色（例如红、黄、蓝）。对充分多的初始点进行实验，蓝）。对充分多的初始点进行实验，绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩绘出牛顿迭代法对该方程的收敛域彩色图色图。现在学习的是第16页，共18页收敛到收敛到 z1 的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合收敛到收敛到 z2 的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合收敛到收敛到 z3 的牛顿迭代初值点集合的牛顿迭代初值点集合现在学习的是第17页，共18页在复平面内在复平面内,有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初值点有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初值点.这些例外点构成了茹利亚集这些例外点构成了茹利亚集(为纪念法国女数学家为纪念法国女数学家Julia).现在学习的是第18页，共18页