存贮轮(20页).doc

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1、-存贮轮-第 158 页第七章 存储论【教学内容】存储论的基本概念，确定性的库存模型，随机性的库存模型，确定性的库存模型的参数分析。【教学要求】要求学生理解存储论的基本概念，掌握确定性的库存模型的求解；理解随机性的库存模型的求解过程；了解确定性的库存模型的参数分析。【教学重点】存储论的基本概念，确定性的库存模型，随机性的库存模型。【教学难点】随机性的库存模型。【教材内容及教学过程】存储论也称库存论（Inventory Theory），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。生产实践中由于种种原因，需求与供应、消费与存储之间存在着不协调性，其结果将会产生两种情况：一种情况是供过于求，由于原料、产

2、品或者商品的积压，造成资金周转的缓慢和成本的提高而带来经济损失；另一种情况是供不应求，由于原料或者商品短缺，引起生产停工或者无货销售，使经营单位因利润降低而带来经济损失。为了使经营活动的经济损失达到最小或者收益实现最大，于是人们在供应和需求之间对于存储这个环节，开始研究如何寻求原料、产品或者商品合理的存储量以及它们合适的存贮时间，来协调供应和需求的关系。存贮论研究的基本问题是，对于特定的需求类型，讨论用怎样的方式进行原料的供应、商品的订货或者产品的生产，以求最好地实现存贮的经济管理目标。因此，存贮论是研究如何根据生产或者销售活动的实际存贮问题建立起数学模型，然后通过费用分析求出产品、商品的最佳

3、供应量和供应周期这些数量指标。存储论的早期研究可追朔到上世纪20年代，最优批量公式的提出标志着存储论的发展进入一个新阶段。随着存储问题的日趋复杂，所运用的数学方法日趋多样。其不仅包含了常见的数学方法，概率统计、数值计算方法，而且也包括运筹学的其它分支，如排队论、动态规划、马尔科夫决策规划等。随着企业管理水平的提高，存储论将得到更广泛的应用。本章先介绍存储论的基本概念，然后分别介绍确定性的存贮模型和随机性存贮模型，供需完全可以预测的模型称为确定型模型，否则就是随机型模型。模型虽然各异，但基本思路都是从目标函数达到最优来确定最优的库存策略。 还介绍确定性的库存模型的参数分析，目的是让学生通过学习，

4、了解存储论的方法与原理，用来解决实际中的问题。 第一节 存储论基础存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。物资的存储是经济生活中的常见现象。例如，为了保证正常生产，工厂不可避免地要存储一些原材料和半成品。当销售不畅时，工厂也会形成一定的产成品存储（积压）；商品流通企业为了其经营活动，必须购进商品存储起来；但对企业来说，如果物资存储过多，不但占用流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管成本，甚至还会因库存时间延长而使存货出现变质和失效带来损失。反之，若物资存储过少，企业就会由于缺少原材料而被迫停产，或失去销售机会而减少利润，或由于缺货需要临时增加人力和成本。因此寻求合理的存储量、

5、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。存储问题通常包括以下几个要素：1）需求 存储的目的是为了满足需求。因为未来的需求，必须有一定的存储。从存储中取出一定数量，这将使存储数量减少，这就是存储的输出。有的需求是间断的，例如铸造车间每隔一段时间提供一定数量的铸件给加工车间 ；有的需求是均匀连续的，例如在自动装配线上每分钟装配若干件产品或部件；有的需求是确定的，如公交公司每天开出数量确定的公交车；有的需求是随机的，如商场每天卖出商品的品种和数量；有的需求是常量，有的需求是非平稳的。总之存储量因需求的满足而减少。2）补充存储因需求而减少，必须进行补充，否则会终因存储不足无法满足需求。补充可选择外部订

6、货的方式 ，这里订货一词具有广义的含义，不仅从外单位组织货源，有时由本单位组织生产或是车间之间、班组之间甚至前后工序之间的产品交接，都可称为订货。订货时要考虑从订货起到货物运到之间的滞后时间。滞后时间分为两部分，从开始订货到货物达到为止的时间称为拖后时间，另一部分时间为开始补充到补充完毕为止的时间。滞后的出现使库存问题变得复杂，但存储量总会因补充而增加。3）缺货的处理由于需求或供货滞后可能具有随机性，因此缺货可能发生。对缺货的处理：在订货达到后不足部分立即补上或订货到达后其不足部分不再补充。4）存储策略存储论要研究的基本问题是货物何时补充及补充多少数量，任何一个满足上述要求的方案都称为一个存储

7、策略。显然存储策略依赖于当时的库存量。下面是一些比较常见的存储策略.常见的策略有下面三种：循环策略 :补充过程是每隔时段补充一次，每次补充一个批量，且每次补充可以瞬时完成，或补充过程极短，补充时间可不考虑。这就是循环策略。策略:每隔一个时间盘点一次，并及时补充，每次补充到库存水平，因此每次补充量为一变量，即,式中为库存量。策略：每隔一个时间盘点一次，当发现库存量小于保险库存量时，就补充到库存水平。即当时，补充，当时，不予补充。除此之外，还有策略：连续盘点，一旦库存水平小于，立即发出订单，其定货量为常数；若库存水平大于等于，则不订货。称为订货点库存水平；策略：连续盘点，一旦库存水平小于，立即发出

8、一个订单，其订货量为，即使得订货时刻的库存水平达到，否则，就不予订货。 5）费用存储策略的衡量标准是考虑费用的问题，所以必须对有关的费用进行详细分析，存储统中的费用通常包括买价 (生产费)、订货费、存储费、缺货费及另外相关的费用 买价(生产费): 如果库存不足需要补充，可选外购或自行生产。外购时需支付买价（当有折扣时更要考虑买价）；自行生产时，这里的生产费用专指与生产产品的数量有关的费用如直接材料、直接人工、变动的制造费用。订货费（生产准备费）：当补充库存外购时，订货费是订购一次货物所需的订购费(如手续费、差旅费、最低起运费等)，它是仅与订货次数有关的一种固定费用；当由本厂自行生产时，这时需要

9、支出的是装配费用(属固定费用)，如更换模、夹具需要工时，添置某些专用设备等。存储费：包括仓库保管费(如用仓库的租金或仓库设施的运行费、维修费、管理人员工资等)、货物维修费、保险费、积压资金所造成的损失(利息、资金占用费等)、存储物资变坏、陈旧、变质、损耗及降价等造成的损失费。缺货费：指当存储不能满足需求而造成的损失费如停工待料造成的生产损失、因货物脱销而造成的机会损失(少得的收益)、延期付货所支付的罚金以及因商誉降低所造成的无形损失等在有些情况下是不允许缺货的。如战争中缺少军械、弹药等将造成人员重大伤亡乃至战败，血库缺血将造成生命危害等，这时的缺货费可视为无穷大。当商品的价格及需求量完全由市场

10、决定，在确定最优策略时可以忽略不计销售收入。但当商品的库存量不能满足需求时，由此导致的损失(或延付)的销售收入应考虑包含在缺货费中；当商品的库存量超过需求量时，剩余商品通过降价出售(或退货)的方式得到的收入其损失应考虑包含在存储费中，此时应考虑货币的时间价值等费用。确定存储策略时，首先是把实际问题抽象为数学模型在形成模型过程中，对一些复杂的条件尽量加以简化，只要模型能反映问题的本质就可以了然后用数学的方法对模型进行求解，得出数量的结论这结论是否正确，还要到实践中加以检验如结论不符合实际，则要对模型加以修改，重新建立、求解、检验，直到满意为止。在存储模型中，目标函数是选择最优策略的准则常见的目标

11、函数是关于总费用或平均费用或折扣费用(或利润)的最优策略的选择应使费用最小或利润最大。综上所述，一个存储系统的完整描述需要知道需求、供货滞后时间、缺货处理方式、费用结构、目标函数以及所采用的存储策略决策者通过何时订货、订多少货来对系统实施控制 第二节 确定性库存模型本节假定在单位时间内(或称计划期)的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成等分的时间区间，在每个区间开始订购或生产货物量，形成循环存储策略。存储问题是确定何时需要补充和确定应当补充多少量，因为需求率是常数，可采用当库存水平下降到某一订购点时订购固定批量的策略。为此先要建立一个数学模型，将目标函

12、数通过决策变量表示出来，然后确定订购量和订购间隔时间，使费用最小。2.1 瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型为进行存储状态分析，特作如下假定：需求是连续均匀的，设需求速率为；当存储量降至零时，可立即补充，不会造成缺货（即认为供应速率为无穷）；每次订货费为，单位货物的存储费为，都为常数；每次订货量都相同，均为。存储状态的变化图t图7.2.1设表示一个运行周期开始后经时间后的库存量，为一个运行周期， , ), 在一个周期内的平均库存量为上述公式也可由求三角型面积得到。由于，所以一个周期长度为。设货物的单价或生产成本为，所以一个运行周期内（订货一次）货物存储费用为，货物的买价为，储存费用为（为一个周

13、期内单位货物的储存费）。由于不存在缺货，所以一个运行周期的总成本为存储费用、买价、储存费用之和。设在计划期内共订货次，由知计划期内总费用最小的储存模型为 (7.2.1)由微分学知识，在处有极值的必要条件为，因此有 解之并舍去负根，得 (7.2.2) 易于验证在此点，故为模型(7.2.1)的最优解。模型(7.2.1)求的是总费用最小的订货批量，通常称为经济订货批量（EconomicOrdering Quantity),缩写其为EOQ模型。此模型还可由初等数学求解，利用，等式仅当时成立，也得(7.2.2) 。当采用最佳批量时，计划期应采购的次数为 (7.2.3) 当(7.2.3) 非整时，采购次数

14、可选用或+1两个整数中使采购费用较少者作为最优选择，其理论基础来自于下面的几何解释。在(7.2.1) 中略去常数项后，记下降上升图7.2.2从上图看出：在处，。当；当。这说明左侧，成本递减，在右侧，成本递增，处成本最小。例7.2.1 设大华工厂全年需甲料1200吨，每次订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算经济批量及全年最小总成本。 已知=1200 =800 =100 =150 经济批量=40（吨） 全年共采购30次，总成本为1200800+20150+30100=966000（元）2.2 瞬时供货，允许缺货的经济批量模型本模型允许缺货，但缺货

15、损失可以定量计算，其余条件和模型(7.2.1) 相同。缺货时存储量为零，由于允许缺货，所以可以减少订货和存储费用；但缺货会影响生产与销售，造成直接与间接损失。因此当本模型确定最优存储策略时，应综合这两方面的损失，使总费用达到最小。此时的存储状态如图7.2.3所示。图7.2.3假设周期，为周期内的最大存储量，为周期内的最大缺货量，并设单位时间缺货费用为，则为存储量为正的时间周期，为存储量为负的时间周期（缺货周期）。采用缺货预约存储策略，所以在一个周期内的订货量仍为，在内有存量，需求为，在内缺货量为，不难看出 (7.2.4)与模型(7.2.1) 的推导类似，在一个周期内的平均存量为，平均缺货量为，

16、或者表示为。在一个周期内的费用为存储费 ， 缺货费，订货费，买价得计划期内总费用最小的存储模型为 (7.2.5) 将其视为和的函数，式(7.2.5) 变为 (7.2.6) 由极值必要条件 (7.2.7) 解之得： (7.2.8) 可验证此为最优解。与不允许缺货的模型(7.2.1) 相比，可以看出此模型有如下特点： 订货周期延长，订货次数在减少。 订货量在增加。总费用在减少。此时 如让，此相当于不允许缺货，则两模型最优解一致。例7.2.2 设某工厂全年按合同向外单位供货10000件，每次生产的准备结束费用为1000元，每件产品年存储费用为4元，每件产品的生产成本40元，如不按期交货每件产品每月罚

17、款0.5元,试求总费用最小的生产方案。 解：以一年为计划期，=10000，=40，=1000，=4，=120.5=6，由公式(7.2.8) 得 0.2886(年)103.92(天) 2886.75(件)1732.05(件)1154.70(件)0.1732(年) 62.35(天)=406928.20(元) 即工厂每隔104天组织一次生产，产量为2887件，最大存储量为1732件，最大缺货量为1155件。如果不允许缺货，总费用为=408944.27(元)比允许缺货 多了2016.07(元)2.3 供应速度有限的不缺货库存问题这种模型的特征是：物货的供应不是不是瞬时完成的，也不是成批的，而是以速率

18、()均匀连续地逐渐补充，不允许缺货。在生产过程中的在制品流动就属于这种存储模型，这类模型也称为生产批量模型。存储量变化情况可用下图描述。图7.2.4 设为一个供货周期，为其内生产时间，设货物供应速度为，消耗速度为，在内货物消耗（需要量）为，显然，即生产量与需求量相等。当存量为零时开始生产，库存量以速率增加，库存量达到最大时停止生产，然后库存量以速率减少，直到库存量为零时又开始下个周期的生产内的生产。在一个周期内最高存储量为，平均存储量为，订货量为，存储费为（为一个周期单位存货存储费），订货手续费为，货物的生产成本（购置费）为，则在计划期内的总费用最小的存储模型为： (7.2.9) 由极值的必要

19、条件：解之得 (7.2.10)由于而当，此最优解与瞬时供货无缺货模型的最优解相同。例7.2.3 某机加工车间计划加工一种零件，这种零件需先在车床上加工，然后在铣床上加工。每月车床上可加工500件，每件生产成本10元.铣床上每月要耗用100件，组织一次车加工的准备费用为5元，车加工后的在制品保管费为0.5元月一件，要求铣加工连续生产，试求车加工的最优生产计划?解:此为连续加工不允许缺货的模型,以一个月为计划期。已知=500,=100,=10,=5,=0.5=50(件)=0.5(月)=0.1(月)=1020(元)车床上加工15天组织一次(一个周期),每次生产3天生产50件,够铣床上15天加工.2.

20、4 供应速度有限允许缺货的库存问题此模型与模型(7.2.5)的区别是供应速度有限，而模型(7.2.5)供应速度可认为为无限；与模型(7.2.9)的区别在于允许缺货，其他的假设同模型(7.2.1)。存储量变化如图所示图7.2.5斜率=-D斜率=V-DD在周期内，长度为+的时期是生产期。在的生产时期内，储存量的增量为，刚好弥补最大缺货量，最大缺货量为；在的生产时期内的生产量为内的消耗量；故最高存储量为。由此得 ： = (7.2.11)在一个周期内， 平均储存量：；平均缺货量：。计划期内有关的总费用有储存费、缺货费、订货费（生产准备费）、货物的买价（生产成本）。 仍采用以前的符号得模型：将 (7.2

21、.11)代入得 (7.2.12) 利用极值的必要条件：，解之，并得最优解 (7.2.13)此最大存储量及最大缺货量的计算： 若令 ，退化为模型 (7.2.5)（瞬时供货，允许缺货）；若，退化为模型(7.2.9)（供应速度有限，不允许缺货）；若令 ，同时，退化为模型 (7.2.1)。所以，前面模型为模型(7.2.12)的特例。例7.2.4 在前面加工中，允许选铣加工中断，但造成每件每月1.5元损失费，求其最优方案。 57.73(件) =0.5773(月)17.32(天) =0.4330(月) 12.99(天) +1000=1017.32(元)=34.641(件) , =11.547(件)即17天

22、组织一次生产,批量为58件,有库存为13天,最大库存为35件,最大缺货为12件,费用较前减少.第三节 确定性库存模型的参数分析确定性模型的最优解是在给定条件下取得的，当这些参数发生变化时，将会影响原最优解。3.1 灵敏度分析灵敏度分析主要分析模型中主要因素的变动对订货批量及总成本的影响，为方便起见，仅以模型(7.2.1)为例分析其影响。1.需求量的影响根据下面公式：可以看出的变动将会使得经济批量及总成本发生变动，如果扩大倍，经济批量、订货次数将扩大倍，而费用中（除购货成本外）也将扩大倍。如在例6.1中当需求量为1800吨，经济批量为48.989吨，采购次数约37次，总成本约为1447348.4

23、7元。2.各种费用变化的影响订货成本的增加将导致经济批量的增加，使订货次数减少，总成本增加；单位储存费用的增加将导致经济批量的减少，将增加订货次数，总成本增加。弹性分析是经济学常用的分析方法，经常用来分析变量对其他因素变化的敏感程度，如商品的需求量对价格变化是否敏感，可用需求的价格弹性系数表示，其定义为负号的含义是因为需求与价格反向变动，为使弹性系数为正所作调整。因为经济批量决策与货物价格联系不大，在总费用中略去货物的买价（生产成本）后，记其余成本为，则这说明订货费或存储费增加1%,将会使相关成本上升0.5%，如果考虑总成本，则其上升幅度更小，低于0.5%。如果在执行的过程中，各费用已发生变化

24、，但预定计划已来不及调整，这样必然不是最优选择，将会是总费用增加，下面予以分析。设预定的存储费为，预定的每次订货费为，实际的存储费为，实际每次订货费为，但计划是按预定来制定并执行的，后来结算按实际付款。事后分析按实际情况决策应该是：比预计费用增加 这时，真实费用是：比预计的费用增加3.2 批量折扣问题以上模型所讨论的货物单价都是常量，得出的存贮策略都与货物单价无关下面考虑货物单价随订购(或生产)数量而变化时的存储问题我们常看到一种商品有所谓零售价、批发价和出厂价，购买同一种商品的数量不同，商品单价也不同一般情况下购买数量越多，商品单价越低在少数情况下，某种商品限额供应，超过限额部分的商品单价要

25、提高现在讨论的模型除去货物单价随订购数量而变化外，其余条件皆与模型(7.2.1)的假设相同，此时应如何制订相应的存贮策略 设订货批量为，对应的货物单价为。为分段常值函数，当时，其中为价格折扣的分界点，且假设；。 在一个库存周期内，批量折扣库存的总费用函数为利用求极值的方法，因在每个开区间内，为常数，可不考虑的变化。由令其为零，得式中为所在区间单价，但此未必为最小费用，由于有批量折扣，还需计算其余区间的总费用，进行比较选择最优解。图7.3.1 上图中，每个函数的区别在于常数项，可以看出，当时，单调减少，当时，单调增加。如，则为在上极小值。当时，在每个分段上最小值为其区间左端点，故的最优解在诸及中

26、选出。例7.3.1某工厂全年需用A零件20 000件，每次订货的成本为36元，每件A零件年平均储存成本为4元。当采购量小于500件时，单价为11元；当采购量大于或等于500件，但小于800件时，单价为10元；当采购量大于或等于800件时，单价为9元。要求计算最优采购批量及全年最小相关总成本。 解：20000，=36，=4由基本模式解出采购批量：件)这一采购量对应于单价为10元，相关总成本为202400（元）;当采购量=800（件），相关总成本为182500（元）。从而，最优解为批量为800件。3.3 价格膨胀模型在社会经济发展过程中，物价往往随时间的变化而变化，即是的函数，并且常见的是的递增函

27、数。 在模型 (7.2.1)的其他假设条件下，物价是时间函数的订货批量模型，称其为单价膨胀模型。下面是两种常见单价膨胀模型。 阶段膨胀模型是指在某一时间阶段上为常数，且，为方便起见，这里只讨论最简单的二阶段情形。价格函数为其中，每个周期上模型为线性膨胀模型线性膨胀模型的单价函数为，为常数，则模型为令对导数为零，得到最优解最优值为 例7.3.2设大华工厂全年需甲料1200吨，每次订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算经济批量及全年最小总成本。已知=1200 =800 =100 =150经济批量=40（吨）全年共采购30次，总成本为1200800+

28、20150+30100=966000（元）第四节 随机型存储模型前面讨论的存储问题属确定型存储问题中，其中涉及到的一些因素如货物的需求是确定的，订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚至缺货的成本都作为常数来考虑。但现实情况常常较为复杂，前面涉及到的许多参数都将成为随机变量，这就产生了随机型存储模型。一般来说，随机型存储问题最重要的特点是需求（速度）量是随机的，这是由于社会现象是复杂的，而引起需求的原因很多，有些可以量化，有些难以量化，这使得货物的需求难以确定。所以需求是一个随机变量。但可假设需求量的分布规律可以通过历史的统计资料来获得；除此之外到货时间也是随机的， 因为从订单发出，到货物送达

29、，必定有一段时间延迟。这段延迟时间由于受生产、运输过程中许多偶然因素的影响、经常表现为一个随机变量。因此到货时间经常也是个随机变量；还有库存量也是随机的，在某些存储问题中，实际库存量确是随机的；而在另一些存储问题中，实际库存量则要通过对库存的定期盘点才能知道。一般企业中，也仅对重要物资才要求随时掌握库存量。随机存储问题中的订货策略较复杂，实际的库存管理中，订货策略多种多样，但分类的依据有两类。一类是按订单发出的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货法。前者是当库存量低于某个警戒水平时就发出订单。后者是每隔一个确定的时间周期发出订单，例如每月25日发出下个月的订单；另一种分类依据是按照订货量来分

30、，可分为定量订货法与补充订货法。前者每次订货的数量是一常数，后者每次订货量是将实际库存补充到某一预定水平。4.1 单时期的随机模型单时期随机需求问题中最典型的是所谓报童问题，此类问题是将单位时间看作一个时期，在这个时期内只订货一次以满足整个时期的需求量，这种模型我们称之为单时期随机需求模型。这种模型常用来研究易变质产品需求问题，在模型中如果本期的产品没有用完，到下一期该产品就要贬值，价格降低、利润减少，甚至比获得该产品的成本还要低，如果本期产品不能满足需求，则因缺货或失去销售机会而带来损失，无论是供大于求还是供不应求都有损失，模型要求该时期订货量多少可使预期的总损失最少或总盈利最大。这类产品订

31、货问题在现实中大量存在，如商场中秋要订购月饼等食品、书店要订购书刊、商店要购进服装、食品、甚至要经销计算机硬件等产品都可以看成模型的例子。模型假设如下：在周期开始时做一次订货决策，设订货量为瞬时供货一个周期内需求量是非负随机变量，其分布函数及密度函数都已知。初始库存量为零，且固定订购费也为零决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收益最大 。下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论。1.离散型随机模型设在一个时期内，需求量是一个非负的随机变量，假设的取值为，相应的概率已知，最优存储策略是使在内总费用的期望值最小或收益最大。 设为供过于求时单位产品总成本（存储成本及买价）、为供不应求时单位产品总成

32、本（缺货成本）。1)总费用的期望值最小的订货量一个时期内的订货费为零（即使不为零，只要是常数也可），单位产品的获得成本已包括在中。当需求为时，市场上实际卖出产品数量将为，本期的缺货量为，库存量。因此总费用最小的订货模型只包括上述两项费用，模型为 （7.4.1）由于取离散值，所以不能用求导的办法而采用边际分析法求极值。为此最佳订货量应满足 ，当时，当时可设，并且只在中选取，且由及得: （7.4.2）2)总收益期望值最大的订货量 现在考虑总收益最大的模型。仍设需求量是一个非负的随机变量，假设的取值仍为，相应的概率已知。 当订货量时，收益为，式中为货物的卖出价，为货物购买价，为积压品的处理价（），为

33、积压品仓储成本。此时，收益的期望值为当订货量时，收益为，式中为缺货成本，收益的期望值为：总收益期望值为 （7.4.3）仿照总费用的期望值最小模型的解法，求其最优解，与（7.4.2）相同。对总收益期望值最大模型的叙述予以简化。为叙述方便，设当货物售出时，单位货物收益为元；货物未能售出，单位货物损失元。决策时选择每期货物的订货量，使赚钱的期望值最大。让货物因不能及时售出而出现的损失及因缺货失去销售机会而出现的损失两者期望值之和最小当供过于求时，这时货物因不能及时售出而出现损失，其期望值为：当供不应求时，这时因缺货而少赚钱而产生的损失，其期望值为： 所以，当订货量为时，损失的期望值为： （7.4.4

34、）现决定之值，当时，；当时，。作为特例，这就是所谓的报童问题，报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚元，如报纸未能售出，每份赔元。报童每日售出报纸份数的概率根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸? 由于报童订购报纸的份数只能取整数，所以 与 同时成立。经化简后分别得解之最优应满足： （7.4.5）例7.4.1 某货物的需求量在14至21件之间，每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损失2元，问一次性进货多少件，才使赢利期望最大？表7.4.1需求量1415161718192021概率0.100.150.120120.160.180.100.07累积概率0.100.250.

35、370.490.650.830.931.00解：=0.75 可以看出=0.65，=0.83。所以取19最佳。 例7.4.2 某设备上有一关键零件常需更换，更换需要量服从泊松分布，根据以往的经验平均需要量为5件，此零件的价格为100元件，若零件用不完，到期末就完全报废，若备件不足，待零件损坏了再去订购就会造成停工损失180元，问应备多少备件最好？解：由于零件是企业内部使用，并不对外售出。零件被耗用时不构成浪费，故认为这时被“售出”，其收益为未造成的停工损失，少损失180元，可认为收益180元；零件未被耗用，认为出现“积压”造成浪费，损失的是成本100元。 泊松分布函数为=0.6428查泊松分布表

36、， =0.6159，=0.7621，即最好准备6件零件。2.连续型存储模型离散型存储策略的分析方法同样适合连续型。设需求量为连续的随机变量，其概率密度为，此处0。单位货物的购买（生产）成本为，单位货物售价为，计划期单位存储费为元，为方便起见，先假设无缺货成本。设订货数量为，货物需求量为，此时货物的销量应为。需支付存储费，即只有有库存时，才支付存储费。本阶段的盈利=-，盈利的期望为 （7.4.6）上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售机会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价。又记=+ 由于-=可以看出，求盈利最大与求损失期望最小是等价的。利用是的连续、可微函数，要求=0即可得出应满足下面方程：=

37、（7.4.7）并且可验证此为模型最优解。前面讨论模型中期末的存货还可以在下期销售，如果必须处理呢？当时，此时供过于求，货物因不能及时售出而出现损失，其期望值为：当时，供不应求。这时因缺货而少赚钱而产生的损失，其期望值为： 总费用期望为 =+ （7.4.8）由导数为零得：满足 = （7.4.9）前面讨论中缺货时只考虑了失去销售机会，如果缺货时还要付出费用，则的选取应满足 = （7.4.10）例7.4.3 某时装商店计划冬季到来之前订购一批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000元，估计可以获得80的利润，冬季一过则只能按进价的50处理。根据市场需求预测，该皮装的销售量服从参数为160的指数分布

38、，求最佳订货量。 解：已知1000，1800， =500，800， 500 临界值为=0.6154=1-=0.6154=-6057（件）4.2 多时期库存模型多时期库存模型是考虑了时间因素的一种随机动态库存模型，它与单时期库存模型的不同之处在于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然可用。由于多时期随机库存问题更为复杂和更为广泛，在实际应用中，库存系统的管理人员往往要根据不同物资的需求特点及资源情况，本着经济的原则采用不同的库存策略，最常用的是策略。 1需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型该模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在一个阶段的开始时原有库存量为，若供不应求，则需承担缺货损失费

39、；若供大于求，则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用。当本阶段开始时，按订货量 ，使库存水平达到，则本阶段的总费用应是订货费、库存费和缺货费之和。设货物的单位成本为，单位库存费为，缺货损失为，每次订货费为，需求为，概率分布为，为方便可设。此时需支付订货及购货费、库存费或缺货损失费。订购费为；设市场的需求量为，市场上实际卖出产品数量将为，缺货量为，本期的库存量。利用，总费用函数可表为期望总费用函数为 （7.4.11）使上式达到最小的即为最优库存水平.因为是离散的，设，采用边际分析法。由及得出： （7.4.12）称为临界值，据上式可求出，最佳订货量为，实际订货量选择。例7.4.3设某企业对于某种材料

40、每月需求量的资料如下：表7.4.2需求量（吨）556475828890100110概率0.050.100.150.150.200.100.150.10累积概率0.050.150.300.450.650.750.901.00每次订货费为400元，每月每吨保管费为40元，每月每吨缺货费为1400元，每吨材料的购置费为752元，该企业欲采用库存策略来控制库存量，试求出之值。解：由题知=752元 ，=40元，1400元。临界值=0.45。由，=82吨。如=40吨，则需补充42吨货物。此时期望费用为400+42752+40（82-55）0.05+(82-64) 0.10+（82-75）0.15+ 140

41、0（88-82）0.2+（90-82）0。1+（100-82）0.15+（110-82）0.1=42652(元)2.需求是随机连续的多时期()模型设货物的单位成本为，单位库存费为，单位缺货损失费为，每次订货费为，假定滞后时间为零，需求是连续的随机变量，概率密度为，期初库存量为，订货量为。确定订货量，使总费用的期望值最小。现要考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。订货费为；当需求时有剩余货物，而当时无库存。式中为最大库存量（）。库存费的期望值为当需求时，（）的 需付缺货费，缺货费的期望值为总费用的期望值为 （7.4.13）利用含参变量的求导得：令其为零得 （7.4.14） 称为临界值，由上式可定出，再由可确定最佳订货量。例7.4.4某商场经销一种电子产品，根据历史资料，该产品的销售量服从在区间50，100的均匀分布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为40元，若缺货，商店为了维护自己的信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再卖给顾客，每次订购费为400元，设期初无库存，试确定最佳订货量及值。解：由题知=3000， =40， =3400， =400，临界值=0.116350其他由 =0.116356（台）， 56（台）此时，费用期望值为 =235792（元）