曲线最小二乘拟合.ppt

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1、曲线最小二乘拟合现在学习的是第1页，共35页n插值法是用多项式近似的表示函数,并要求在他们的某些点处的值相拟合.n最佳逼近（或者曲线拟和）也是用简单函数逼近复杂函数（或未知函数），但是，逼近的原则和插值的原则不一样。现在学习的是第2页，共35页n最小二乘拟合直线n最小二乘拟合多项式n线性拟合n非线性拟合现在学习的是第3页，共35页最小二乘拟合直线使得求一直线处的函数值在点给定函数,.,.)(11bxayyyxxxfynnmin)(12niiiybxa现在学习的是第4页，共35页niiiiniiiniiixybxabbaSybxaabaSybxabaS11120)(2),(0)(2),(min)

2、(),(到由微积分基本知识，得设现在学习的是第5页，共35页niiiniiniiniiniiyxbxaxybxna112111整理：现在学习的是第6页，共35页2112111211211121niiniiniiniiniiiniiniiniiiniiniiniixxnyxyxnbxxnyxxxya现在学习的是第7页，共35页00,/4 100,1,.,10,sinsin0,/4iixxih iyxxyx例。将区间等分，给定函数在 处的函数值，求在区间的最小二乘拟合直线。现在学习的是第8页，共35页现在学习的是第9页，共35页现在学习的是第10页，共35页最小二乘拟合多项式1101(),.,.,

3、().(1),nnmmmyf xxxyyp xaa xa xmn 给定函数在点处的函数值求一多项式21()minniiip xy使得）现在学习的是第11页，共35页0),(2),(min),(),(11010121010nijiimimijmniimimimxyxaxaaaaaaSyxaxaaaaaS则设现在学习的是第12页，共35页011112101111112011111().()()().()()().()nnnmiimiiiinnnnmiiimiiiiiinnnnmmmmiiimiiiiiinax axayx axaxax yxaxaxax y将方程整理，得到.现在学习的是第13页，共

4、35页01,.,maaa求解法方程组，得到，01()().mmf xp xaa xa x从而得到的最小二乘拟合多项式现在学习的是第14页，共35页例题k12345x00.250.500.751y11.2841.64872.1172.7183求最小二乘拟和二次多项式，拟和如下数求最小二乘拟和二次多项式，拟和如下数据表。据表。现在学习的是第15页，共35页212555201211155552301211115555234201211115()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiia xa xax axayx axaxax yxaxaxax y0解：设最小二乘拟

5、和二次多项式为y=a该问题的正规方程组为现在学习的是第16页，共35页现在学习的是第17页，共35页所以，最小二乘拟和二次多项式为所以，最小二乘拟和二次多项式为p=1.0051+0.8642x+0.8437x2现在学习的是第18页，共35页线性最小二乘拟合否则，线性无关。上线性相关。在集合称使得存在不全为零的实数满足上，函数定义：在实数集合XxxxkxkkkxxXnnnnn)(,),(0)()(,:)(,),(11111现在学习的是第19页，共35页线性最小二乘拟合11(),.,.,nnyf xxxyy给定函数在点处的函数值1SS(),.()(),mxx mn给定子空间，设 的基函数为11()

6、().(),mmp xcxcxS求21()minniiip xy使得现在学习的是第20页，共35页0)()(,)(2),()(,)(),(111112111niijiimmijmniiimmimxyxcxcaaaSyxcxcaaS现在学习的是第21页，共35页11111111211221111111()().()()()()().()()()()().()()()nnniiimimiiiiinnniiimimiiiiinnmiimimimmmiiixxcxxcyxxxcxxcyxxxcxxcyx.1ni现在学习的是第22页，共35页1,.,mcc解法方程组，得到11()().()mmp xcx

7、cx从而得到最小二乘拟合：现在学习的是第23页，共35页2 yabx192531384419.032.349.073.397.8xy例 用最小二乘拟合如下数据：22 S1,x,abx解 子空间 的基函数为拟合函数为，现在学习的是第24页，共35页552115552421115()()()kkkkkkkkkkkaxbyxaxbx y则法方程组为：=现在学习的是第25页，共35页 现在学习的是第26页，共35页非线性拟和n在求最小二乘逼近时，拟合函数一般是未知的，一般根据数据点进行描图，然后依据经验大概估计未知函数的图形，做为拟和函数，再进行数据拟和。现在学习的是第27页，共35页x01234y1

8、.52.53.557.5如下数据表格如下数据表格通过描图，得到近似估计函数通过描图，得到近似估计函数y=aebx其中，其中，a,b 待定。待定。现在学习的是第28页，共35页现在学习的是第29页，共35页2121(,)(,)min;(,)()min;iniiinbxiiabS a byf a b xS a byae由最小二乘拟和原理：取 和现在学习的是第30页，共35页112()02()0iiiinbxbxiinbxbxiiiSyaeeaSyaee axb所以有现在学习的是第31页，共35页21121100iiiinnbxbxiiinnbxbxiiiiiSaey eaSaxex y ebab从

9、而得到正规方程组：这是关于 和 的非线性方程，求解比较困难。这种拟和称为非线性拟和。现在学习的是第32页，共35页n实际运用中，通常将非线性函数线性化，然后利用线性拟和。n如y=aebx,则ln(y)=ln(a)+bx,令=ln(y),A=ln(a),原函数变为：YA+bx,称为线性函数，然后做线性拟和，求A，b,最后得到a,b.现在学习的是第33页，共35页x01234Y=ln(y)0.4055 0.9163 1.2528 1.6094 2.0149然后用直线然后用直线YAbx拟和上面的数据表。拟和上面的数据表。现在学习的是第34页，共35页所以，所求的最小二乘拟和函数为所以，所求的最小二乘拟和函数为y=1.5799a 0.3912x现在学习的是第35页，共35页