2022年中考数学第二部分题型研究拓展题型二次函数综合题试题 .pdf

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1、1 拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题针对演练1.(2016 贺州 10 分)如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为(6，8)，抛物线yax2bxc经过O，A，E三点(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标第 1 题图2.(2016大连 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx214与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称(1)填空，点B的坐标是 _；(2)过点B的直线ykxb(其中k0)与x轴

2、相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PBPC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标第 2 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 33 页 -2 3.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求ACR的周长；(3)设G(4，5)

3、在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由第 3 题图备用图【答案】1解：(1)四边形OABC是矩形，B(10，8)，A(10，0).(1 分)又抛物线yax2bxc经过点A(10，0)、E(6，8)和O(0，0)，22101006680abcabcc，解得131030abc，抛物线的解析式为y13x2103x；(3分)(2)由题意可知：ADED，BE1064，AB8，(4 分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 33 页 -3 设AD为x，则EDx，BDABAD8x

4、，在 RtBDE中，ED2EB2BD2，即x242(8 x)2，(5 分)解得x5，即AD5；(6 分)(3)由(2)可知，D点的坐标是(10，5)，PAD的周长lPAPDADPAPD5，(7 分)抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，POPA，lPAPD5POPD5，当POPD最小时，PAD的周长l最小，即 当 点P移 动 到 直 线OD与 抛 物 线 对 称 轴 的 交 点 处 时POPD最小，(8分)设直线OD的解析式为ykx，将D点坐标(10，5)代入得：510k，解得k12，直线OD的解析式为y12x，(9 分)当x5 时，y52，P点的坐标是(5，52

5、)(10 分)2解：(1)(0，12)；(2分)【解法提示】由yx214得：A(0，14)，点B、O关于点A对称，B(0，12)(2)直线BC过点B(0，12)，直线BC解析式为ykx12，(3 分)C(12k，0)，又P是直线l上一点，可设P(12k，a)如解图，过点P作PNy轴，垂足为N，连接PB，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 33 页 -4 第 2 题解图则在 RtPNB中，由勾股定理得：PB2PN2NB2，PBPCa，a2(12k)2(a12)2，(5 分)解得a21144k，PB21144k，P点坐标为(12k，21144k)，(6 分)当x12k时，

6、y21144k，点P在抛物线上；(7 分)(3)如解图，由C在y轴上，可知CBPCBP，第 2 题解图PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CB PCBPABC60，PBC为等边三角形，OB12，BC1，OC32，PC1，P(32，1)(12 分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 33 页 -5 3解：(1)四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，C(0，3)，E(2，3)，将C(0，3)，E(2，3)代入抛物线解析式yx2bxc得，3423cbc，解得23bc，抛物线的解析式为yx22x3；(2)由(1)得yx22x3，令y0，得x22x30，解得x11

7、，x23，A(1，0)，B(3，0)，AO1，BO3，又C(0，3)，OC3，在 RtAOC中，由勾股定理，得AC2210AOOC，COBO3，OF2，OBCOCB45，AF3，BF1，MFBF1，ROMF，AROAMF，ROAOMFAF，113RO，解得RO13，CR31383，在 RtAOR中，AR221101()33，ACR的周长为108310384103；(3)存在点P，使得APPHHG的值最小如解图，取OF中点A，连接AG交直线EF的延长线于点H，过点H作HPy轴于点P，连接AP，此时，APPHHG的值最小，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 33 页 -6

8、 第 3 题解图设直线AG的解析式为ykxa，将A(1，0)，G(4，5)代入得，045kaka，解得5353ka，直线AG的解析式为y53x53，令x2，得y1035353，点H的坐标为(2，53)，符合题意的点P的坐标为(0，53)拓展二二次函数与三角形面积问题针对演练1.(2016永州 12 分)已知抛物线yax2bx3 经过(1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线ykx与抛物线交于A，B两点(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 33 页 -7(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是

9、否存在实数k使得ABC的面积为3102？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由第 1 题图2.(2015攀枝花)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求该抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理

10、-第 7 页，共 33 页 -8 3.(2015 桂林)如图，已知抛物线y12x2bxc与坐标轴分别交于点A(0，8)、B(8，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1 个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1 个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动(1)直接写出抛物线的解析式：_；(2)求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？(3)当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使PCD的面积等于CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图4.(

11、2016常州 10 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx与二次函数yx2bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式；(2)长度为 22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOFSAOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 33 页 -9【答案】1解：(1)令x0，得y 3，C(0，3)，把(1，0)和(3

12、，0)代入yax2bx3 中，得309330abab，解得12ab，抛物线的解析式为yx22x3；(3 分)(2)联立方程组223yxxykx，解得212212416224162kkkxkkk kky，222222416224162kkkxkkkkky，O是AB的中点，x1x20，即2224162416022kkkkkk解得k 2，1132 3xy或2232 3xy，A(3，23)，B(3，23)；(7 分)；(3)不存在实数k使得ABC的面积为3102.理由如下：假设存在实数k使得ABC的面积为3102，联立方程组223yxxykx，解得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9

13、页，共 33 页 -10 212212416224162kkkxkkk kky，222222416224162kkkxkkkkky，则A(22224162416,22kkkkkkkk)，B(22224162416,22kkkkkkkk)，SABC12OC(xBxA)3102，123 332416kk3102，k24k1610，即k24k60，b24ac16240，此方程无解，不存在实数k使得ABC的面积为3102.(12 分)2解：(1)把点A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc，得10930bcbc，解得23bc，yx22x3；【一题多解】由题意可知点A(1，0)，点B(3，0)是抛物线

14、与x轴的两个交点，抛物线解析式为y(x1)(x3)x22x3.(2)存在点D，使得BCD的面积最大设D(t，t22t3)，如解图，作DHx轴于点H，C点坐标为(0，3)，第 2 题解图则SBCDS四边形 DCOHSBDHSBOC12t(t22t33)12(3 t)(t22t3)123 33332t292t，32 0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 33 页 -11 当t9223（32）32时，SBCD323(32)292332278，即点D的坐标为(32，154)时，SBCD有最大值，且最大面积为278；(3)存在点Q，使

15、得QMB与PMB的面积相等如解图，P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，第 2 题解图直线BC为yx3，过点P作BC的平行直线l1，设l1为yxb，将P(1，4)代入即可得到直线l1的解析式为yx5，联立方程组2523yxyxx，解得1123xy，2214xy，Q1(2，3)；直线PM为x1，直线BC为yx3，M(1，2)，设PM与x轴交于点E，PMEM2，过点E作BC的平行直线l2，则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一，即将直线BC向下平移 2 个单位得到直线l2，解析式为yx1，联立方程组2123yxyxx，解得1131721172x

16、y，2231721172xy，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 33 页 -12 Q2(317117,22)，Q3(317117,22)，满足条件的Q点为Q1(2，3)，Q2(317117,22)，Q3(317117,22)3解：(1)y12x23x8；【解法提示】把点A(0，8)、B(8，0)代入y12x2bxc可得，83280cbc，解得38bc，抛物线解析式为y12x23x8.(2)在y12x23x8 中，当y0 时，12x23x80，解得x12，x28，E(2，0)，BE10，SCED12DE2OC，S12t(10 t)12t25t，S与t的函数关系式为：

17、S12t25t，S12t25t12(t5)2252，当t5 时，CED的面积最大，最大面积为252；(3)存在，当CED的面积最大时，t5，即BDDE5，此时，要使SPCDSCED，CD为公共边，故只需求出过点B、E且平行于CD的直线即可，如解图第 3 题解图设直线CD的解析式为ykxb，由(2)可知OC5，OD3，C(0，5)，D(3，0)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 33 页 -13 把C(0，5)、D(3，0)代入ykxb，得530bkb，解得535kb，直线CD的解析式为y53x5，DEDB5，过点B且平行于CD的直线解析式为y53(x5)5，过点E

18、且平行于CD的直线解析式为y53(x5)5，分别与抛物线解析式联立得：方程：12x23x853(x5)5，解得x18，x243，方程：12x23x853(x5)5，解得x3343，x4 2(舍去)，分别将x值代入抛物线解析式，得y10，y21009，y32009，又P点不与E点重合，满足题意的P点坐标有 3 个，分别是P1(8，0)，P2(43，1009)，P3(343，2009)4解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数yx2bx的图象上，将x3，y3 代入得 93b3，解得b 2，二次函数表达式为yx22x；(2 分)(2)如解图所示，过点P作PBQQ1于点B，第 4 题解图PQ22，且

19、在直线yx上，PBQB2，(3 分)设P(a，a)，则Q(a2，a2)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 33 页 -14 P1(a，a22a)，Q1(a2，(a2)22(a2)，即Q1(a2，a22a)，四边形PQQ1P1的面积为：22(2)(22)22aaaaaaS 2a22a22(a12)252，(4 分)当Q运动到点A时，OPOQPQ2，a1，a的取值范围为0a1，当a12时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为52；(5 分)(3)存在，点E的坐标为E1(43，43)，E2(143，143)，如解图所示，连接OM，第 4 题解图点M为抛物线顶点，M(1

20、，1)，又OA所在直线为yx，OMOA，即AOM90，在AOF和AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又OMOA，且OM2，可作两条与OA互相平行且距离为2的直线，(6 分)如解图所示，在直线HD、MC上的点F均满足SAOFS AOM，只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可如解图，过点A作ACMC于点C，易得四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O，过O作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA32，2222(3 2)(2)2 5AMOAOM，AO5，AO E1AOM，(7 分)11AEAOOEAOAOAMAM，名师资料总结-精品资料欢迎下

21、载-名师精心整理-第 14 页，共 33 页 -15 13 253 22 5OE，解得OE1423，点E1在yx上，E1(43，43)，(8 分)同理可得HF2GE2423，又OG2OA62，OE2624231423，E2(143，143)综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(43，43)、E2(143，143)(10 分)拓展三二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1.(2016茂名 8 分)如图，抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线

22、段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标第 1 题图备用图2.(2016安顺 14 分)如图，抛物线经过A(1，0)，B(5，0)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 33 页 -16 C(0，52)三点(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在

23、，求点N的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 33 页 -17 3.(2016 南充 10 分)如图，抛物线与x轴交于点A(5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式；(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果 sin AMF1010，求点Q的坐标；(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标第 3 题图4.(2016

24、成都 12 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)23 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，83)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧(1)求a的值及点A、B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为37 的两部分时，求直线l的函数表达式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由第 4 题图备用图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 33 页 -18【答案】1解：

25、(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，10930bcbc，解得23bc，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为yx22x3；(2 分)(2)如解图，连接PC、PE，第 1 题解图2122(1)ba，当x1 时，y1234，点D坐标为(1，4)，设直线BD为：ymxn，将点B、D坐标分别代入表达式，得304mnmn，解得26mn，y 2x6，设点P坐标为(x，2x6)，由勾股定理可得PC2x2(3 2x6)2，PE2(x1)2(2x6)2，PCPE，x2(32x6)2(x1)2(2x6)2，解得x2，则y23262，P(2，2)；(5 分)(3)依题意可设点M坐标为(a，

26、0)，则G坐标为(a，a22a3)如解图，以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，必有FMMG，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 33 页 -19 第 1 题解图即|2 a|a22a3|，2 a(a22a3)，解得a1212，2 aa22a3，解得a3132，综上所述，M点的坐标为(1212，0)，(1212，0)，(3132，0)，(3132，0)(8 分)2解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，将点A(1，0)，B(5，0)，C(0，52)代入得，0255052abcabcc，解得12252abc，抛物线的解析式为y12x22x52；(4 分)

27、(2)由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，如解图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求，第 2 题解图设直线BC的解析式为ykxb1(k0)，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 33 页 -20 由题意得115052kbb，解得11252kb，直线BC的解析式为y12x52，抛物线y12x22x52的对称轴是x2，当x2 时，y12x52123 25232，点P的坐标是(2，32)；(9 分)(3)存在(10 分)(i)当存在的点N在x轴的下方时，如解图所示，第 2 题解图四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x2 对称，C点

28、的坐标为(0，52)，点N的坐标为(4，52)；(11 分)(ii)当存在的点N在x轴上方时，如解图所示，作NHx轴于点H，四边形ACM N是平行四边形，ACM N，N M HCAO，AOCM HN，RtCAORtN M H(AAS)，N HOC，点C的坐标为(0，52)，N H52，即N 点的纵坐标为52，12x22x5252，解得x1214，x2214.点N 的坐标为(2 14，52)或(2 14，52)(13 分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 33 页 -21 综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4，52)，(2 14，52)，(2 14，52

29、)(14 分)3解：(1)根据题意得，A(5，0)，B(3，0)是抛物线与x轴的交点，设抛物线的解析式为ya(x5)(x3)，(1 分)抛物线过点C(0，5)，a13，抛物线的解析式为y13(x5)(x3)13x223x5；(2 分)(2)如解图，过点F作FDAC于点D，第 3 题解图OA5，OC5，CAO45.(3 分)设AF的长为m，则DF22m，MEAEm1，sin AMFDFMF，2105 msin210DFMFmAMF，(4 分)在 RtMEF中，FM2ME2EF2，(5m)2(m1)212，解得m11，m212(不符合题意，舍去)，(5 分)AF1，点Q的横坐标为 4.又点Q在抛物

30、线y13x223x5 上，Q(4，73)；(6 分)(3)设直线AC的解析式为ykxn(k0)，由题意得505knn，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 33 页 -22 解得15kn，直线AC的解析式为yx5.(7 分)由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同，设F(t，0)，E(t1，0)，点M，N均在直线yx5 上，N(t，t5)，M(t1，t6)，点P，Q在抛物线y13x223x5 上，Q(t，13t223t5)，P(t1，13t243t4)，(8 分)在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：点Q、P在直线AC的同侧时，QN

31、PM，(13t223t5)(t5)(13t243t4)(t6)，解得t 3，M(2，3)；(9 分)点Q，P在直线AC的异侧时，QNMP，(13t223t5)(t5)(t6)(13t243t4)，解得t136，t2 36，M(26，36)或(26，36)，符合条件的点M是(2，3)，(26，36)或(26，36)(10 分)4解：(1)抛物线与y轴交于点C(0，83)，a383，解得a13，y13(x1)23，当y0 时，有13(x1)230，解得x12，x2 4，A(4，0)，B(2，0)；(3 分)(2)由(1)可知，A(4，0)，B(2，0)，C(0，83)，D(1，3)，S四边形 AB

32、CDSAHDS梯形 OCDHSBOC123 33 3123(833)3 1123 238310，从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：如解图，当直线l与边AD相交于点M1时，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 33 页 -23 第 4 题解图则13=10=310AHMS，123 33(1My)3，1My 2，A(4，0)，D(1，3)，直线AD的解析式为yx4，M1(2，2)，(5 分)过点H(1，0)和M1(2，2)的直线l的解析式为y2x2；如解图，当直线l与边BC相交与点M2时，同理可得点M2(12，2)，第 4 题解图过点H(1，0)和

33、M2(12，2)的直线l的解析式为y43x43，综上所述：直线l的函数表达式为y2x2 或y43x43；(7 分)(3)以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且过点H(1，0)的直线PQ的解析式为ykxb，第 4 题解图kb0，bk，ykxk.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 33 页 -24 由2128333ykxkyxx，13x2(23k)xk830，x1x2 23k，y1y2kx1kkx2k3k2，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式得点M(32k1，32k2)假设存在这样的N点如解图，直线DNPQ，设直线DN的解析式

34、为ykxk3，由23128333ykxkyxx，解得x11(舍去)，x23k1，N(3k1，3k23)，四边形DMPN是菱形，DNDM，DN2DM2，即(3k)2(3k2)222233()(3)22kk，整理得 3k4k240，k210，3k240，解得k233，k0，k233，N(231，1)，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(231，1)(12 分)拓展四二次函数与特殊三角形判定问题针对演练1.(2016枣庄 10 分)如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x 1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过

35、B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x 1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1 上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 33 页 -25 第 1 题图2.(2016新疆 13 分)如图，抛物线yax2bx3(a0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BOOC3AO，直线y13x1 与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求证：DBOEBC；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共

36、33 页 -26(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由第 2 题图3.(2016襄阳 13 分)如图，已知点A的坐标为(2，0)，直线334yx与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线yax2bxc过A，B，C三点(1)请直接写出B，C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F.若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是线段BC上的一动点，过点M作MNAB，交AC于点N.点Q

37、从点B出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t(秒)当t(秒)为何值时，存在QMN为等腰直角三角形？第 3 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 33 页 -27【答案】1解：(1)依题意得1203baabcc，解得123abc，抛物线解析式为yx22x3，对称轴为x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn得，303mnn，解得13mn，直线BC的解析式为yx3；(3 分)(2)设直线BC与对称轴x 1 的交点为M，如解图，连接AM，第 1 题解图MAMB，MAMCMBMCBC，使MAMC最

38、小的点M应为直线BC与对称轴x 1 的交点，把x 1 代入直线yx3，得y2，M(1，2)；(6 分)(3)设P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10，若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即 184t2t26t10，解得t1 2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即 18t26t104t2，解得t24；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 27 页，共 33 页 -28 即 4t2t26t1018，解得t33172，t43172.综上所述，满足条件的点P共有四个

39、，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，3172)，P4(1，3172)(10 分)2(1)解：当x0 时，yax2bx3 3，C(0，3)，即OC3，OBOC3OA，OB3，OA1，A(1，0)，B(3，0)，将A(1，0)，B(3，0)代入yax2bx3 得：309330abab，解得12ab，抛物线的解析式为yx22x3；(4 分)(2)证明：由抛物线解析式yx22x3(x1)24 可得：E(1，4)，当x0 时，y13x11，D(0，1)，即OD1，2210BDODOB，同理可得CE2，BE25，BC32，在DBO和EBC中，22DBDOBOEBECBC，DBOEBC；(9

40、 分)(3)解：存在，点P的坐标为(1，1)，(1，317)，(1，317)，(1，14)或(1，14)(13 分)【解法提示】如解图，过点P作PGy轴于点G，连接PC，PB，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，设点P(1，a)，第 2 题解图则PG1，GC|a3|，PM|a|，PC21(a3)2，PB2a24，BC218，当P是等腰三角形顶点时，PC2PB2，即 1(a3)24a2，解得a 1，P1(1，1)；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 28 页，共 33 页 -29 当C是等腰三角形顶点时，PC2CB2，即 1(a3)218，解得a1317，a2 317，P2(1，317

41、)，P3(1，317)；当B是等腰三角形顶点时，PB2CB2，即 4a218，解得a114，a214，P4(1，14)，P5(1，14)综上所述，存在点P，使得PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，1)，P2(1，317)，P3(1，317)，P4(1，14)，P5(1，14)3解：(1)B(4，0)，C(0，3)，抛物线的解析式为y38x234x3，D(1，278)；(4 分)【解法提示】令x0，代入y34x3，得y3，C(0，3)，令y0，代入y34x3，得34x30，解得x4，B(4，0)，设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)，把C(0，3)代入ya(x2)(x4)，a38，

42、抛物线的解析式为y38(x2)(x4)38x234x3 38(x1)2278，顶点D的坐标为(1，278)(2)如解图，第 3 题解图四边形DEFP是平行四边形，DPBC，设直线DP的解析式为ymxn，直线BC的解析式为y34x3，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 29 页，共 33 页 -30 m34，y34xn，把D(1，278)代入y34xn，n338，直线DP的解析式为y34x338，联立y38x234x3y34x338，解得x3 或x1(舍去)，把x3 代入y34x338，得y158，P的坐标为(3，158)；(7 分)(3)由题意可知：0t6，设直线AC的解析式为y

43、m1xn1，把A(2，0)和C(0，3)代入ym1xn1，得2m1n10n13，解得m132n13，直线AC的解析式为y32x3，由题意知：QBt，如解图，当NMQ90时，OQ4t，第 3 题解图把x4t代入y34x3，y34t，M(4t，34t)，MNx轴，N的纵坐标为34t，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 30 页，共 33 页 -31 把y34t代入y32x3，x12t2，N(12t2，34t)，MN(4 t)(t22)632t，MNAB，NMQ90，MQ34t，当MNMQ时，632t34t，t83，此时QB83，符合题意；(9 分)如解图，当MNQ90时，第 3 题解

44、图QBt，点Q的坐标为(4 t，0)，把x4t代入y32x3，y932t，N(4t，932t)，MNx轴，点M的纵坐标为932t，把y932t代入y34x3，x2t8，M(2t8，932t)，MN(2t8)(4 t)3t12，MNAB，MNQ90，NQ932t，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 31 页，共 33 页 -32 当NQMN时，932t3t12，t143，此时QB143，符合题意；(10 分)如解图，当NQM90时，过点Q作QEMN于点E，过点M作MFx轴于点F，第 3 题解图设QEa，把ya代入y34x3，x443a，M(443a，a)，把ya代入y32x3，x23a2，N(23a2，a)，MN(4 43a)(23a2)62a，当MN2QE时，62a2a，a32，MFQE32，MFOC，BMFBCO，MFCOBFBO，BF2，QBQFBFMFBF32272，t72，此情况符合题意，(12 分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 32 页，共 33 页 -33 综上所述，当t83或143或72秒时，QMN为等腰直角三角形(13 分)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 33 页，共 33 页 -