1.3.1.2 凸集及其定理-凸集的概念.pdf

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1、1 (a) (b) (c) (d)(e) 定义定义2：设：设S为为n维欧氏空间维欧氏空间En中一个集合中一个集合，若对若对S中任意中任意 两点的凸组合仍属于两点的凸组合仍属于S，即即 则称则称S为凸集为凸集。 n SE 12 ,XS XS 12 (1)(01)XXXS （2 2）凸集的概念凸集的概念 上图中（上图中（a）（）（b）是凸集）是凸集,（c）（）（d）不是凸集，任何两个凸集的）不是凸集，任何两个凸集的 交集是凸集，如图（交集是凸集，如图（e）。从直观上说，凸集是没有凹入部分、其）。从直观上说，凸集是没有凹入部分、其 内部也没有空洞的区域。内部也没有空洞的区域。 2 例3.1 证明集合

2、为凸集，其中p为n维列 向量，a为实数。 122 TTT p xp xp x 12 (1)xxH故： H T x p xa 例3.1 中的H称为En中的超平面，由此可知，超平面是 凸集。 解：在H中任取两点x1,x2H以及实数 0,1 12 (1) T pxxa 12 (1)? T pxx考察: 由凸集的定义知H是凸集。 3 例3.2 证明集合为凸集，其中p为n维列 向量，a为实数。 12 (1) T pxx 12 (1)xxH 故： H T x p xa - 例3.2 中的H-称为En中的超维半空间，由此可知，半空间 也是凸集。 解：同理在中任取两点以及实数 0,1， 考察: H 12- ,Hx x 12 (1)? T pxx 12 TT p xp x（1）(1)aaa 由凸集的定义知H-是凸集。 4 例3.3 证明集合为凸集，其中d为 给定的非零向量，x0为定点。 12 00 12 (1)()()xxxdxd（1） 12 (1)Lxx故： 0 L ,0 x xxd 例3.3 中的L称为En中的超维射线，x0为射线的顶点，由此 可知，射线也是凸集。 解：同理在L中任取两点以及实数10，20， 及0,1，必有: 12 ,Lx x 1020 12 ,xxd xxd 0 12 xd（1） 12 0（1）